Tenseur des contraintes de cisaillement









I₁ ≡ σ_xx+σ_yy+σ_zz

I2 ≡ σxx.σyy+σyy.σzz+σxx.σzz−σ_xy² −σ_yz² −σ_zx²

I3 ≡ σxx.σyy.σzz+ 2.σxy.σyz.σzx−σ²_xy.σzz−σ_yz² .σxx−σ_zx² .σyy

(2.26)

On voit queI1=Trace(σ)et que I3=Det(σ). Les dimensions deI1, I2 et I3 sont respectivement Pa, Pa² et Pa³.

La pression hydrostatique p est une grandeur particulièrement utile en mécanique des uides. Elle est construite à partir du premier invariant du tenseur des contraintes (sa trace), ce qui rend sa valeur indépendante du choix du repère. Plus précisément, compte-tenu de la convention "normale sortante" adoptée dans ce document, sa dénition⁵s'énonce :

p≡−Trace(σ)

3 (2.27)

Un matériau en compression est caractérisé par une valeur positive de la pression, identique à la pression dénie en thermodynamique. Notons également qu'un uide est toujours en compression : contrairement à un solide qui peut résister à la traction, un uide ne le peut pas.

2.5.4 Tenseur des contraintes de cisaillement

Le tenseur des contraintes de cisaillement τ est la partie déviatorique du tenseur des contraintes σ. En d'autres termes, il est construit de telle manière que sa trace soit nulle. Vu la dénition de la pression (équation2.27) et de la convention "normale sortante"⁶, on a :

σ≡τ−p.I (2.28)

oùIest le tenseur identité.Le tenseur des contraintes de cisaillement est souvent appelé tenseur des contraintes visqueuses car, comme on le verra dans la section3.2.3en page43, il est directement lié à la viscosité du uide.

Le tenseur des contraintes a été décomposé en σ = τ −p.I. Il s'ensuit que l'équation 2.25 qui donnait l'expression de la forceF~_ext/int s'exerçant sur un élément de surfacedS peut être ré-écrite comme la somme d'une force tangentielle (due au cisaillement) et d'une force normale (due à la pression) :

F~_ext/int = x

τ·~n_out.dS−p.S.~n_out d'où F_ext/int,i= x X³

j=1

τij.n_out,j.dS−p.S.n_out,i (2.29) Le tenseurτdes contraintes de cisaillement possède lui aussi trois invariants, notésJ1,J2,J3. Ils sont dénis de la même manière que pour le tenseur des contraintes, comme coecients du polynôme caractéristique.











J1 ≡ τxx+τyy+τzz

J2 ≡ τxx.τyy+τyy.τzz+τxx.τzz−τ_xy² −τ_yz² −τ_zx²

J₃ ≡ τ_xx.τ_yy.τ_zz+ 2.τ_xy.τ_yz.τ_zx−τ_xy² .τ_zz−τ_yz².τ_xx−τ_zx² .τ_yy

(2.30)

5. Si l'on avait adopté la convention "normale entrante" (voir discussion en page85), il aurait fallu dénir la pression par p≡^Tr(σ)₃ pour garantir sa positivité.

6. Si l'on avait adopté la convention "normale entrante", il aurait fallu écrireσ≡τ+p.I.

32

2.5. Forces et contraintes

Par construction, le premier invariant J1 est nul. Cette condition particulière, et le fait que le tenseur des contraintes de cisaillement τ est symétrique (démonstration en page89), permet d'exprimer les invariants d'une autre manière :

Il est parfois utile de résumer le tenseur des contraintes par un scalaire unique, que l'on nomme contrainte eective. Diérentes propositions ont été formulées : Tresca, Rankine et von Mises. Ci-dessous l'expression de la contrainte eective de von Mises ; c'est probablement la plus utilisée en mécanique des uides.

σ_e^vM≡p 3.J2

Exercice 19. On considère trois situations où le tenseur des contraintes σ est connu. Que peut-on dire dans chacun des cas ?

σa ≡

Exercice 20. On considère l'écoulement stationnaire d'un uide newtonien de masse volumiqueρet de viscosité µ entre deux plans parallèles xes situés eny =±H, entre la section x = 0et x=L. La pression en (x, y, z) = (0,0,0) est notée p1 et celle en(L,0,0) est notée p2. La gravité est notée

~

g=−g.~ey. On peut montrer que le prol de vitesse est parabolique et que le tenseur des contraintes se met sous la forme :

Calculer la force exercée par le uide sur la paroi supérieure. Commenter les diérents termes.

2.6 Solutions des exercices

Exercice 8 La mire se déplace le long de la droitey= 1−xdepuis le point(0,1)vers le bas. Le champ de température est axisymétrique autour de l'axe [Oz) perpendiculaire au plan (Oxy), présente un minimum en (0,0) et croît quand on s'éloigne de l'origine. Qualitativement, on peut s'attendre à ce que la fonction T_M(t) soit décroissante puis croissante. Pour les calculs, on va utiliser la dénition de la dérivée totale (équation 2.1) qui s'énonce ^dT_dt

M = ^∂T_∂t + (~u_M · ∇)T. La vitesse du point de mire s'obtient en dérivant sa position par rapport au temps. On trouve une vitesse de mire croissante ~u_M = 2A.t.(~e_x−~e_y). Comme le système étudié est stationnaire (vitesse du uide et champ de température indépendants du temps), on écrit que la dérivée partielle de la température par rapport au temps est nulle. En utilisant la formule développée de l'opérateur d'advection (équation2.2), on a : ^dT_dt

M = 2A.t.h

Exercice 9 La mire se déplace le long d'un cercle centré à l'origine. Le champ de température est axi-symétrique autour de l'axe [Oz) perpendiculaire au plan (Oxy), présente un minimum en (0,0) et croît quand on s'éloigne de l'origine. Qualitativement, on peut s'attendre à ce que la fonction TM(t) soit une constante. Pour les calculs, on va utiliser la dénition de la dérivée totale (équation 2.1) qui s'énonce

dT dt

M = ^∂T_∂t + (~u_M · ∇)T. La vitesse du point de mire s'obtient en dérivant sa position par rapport au temps. On trouve une vitesse de mire croissante~u_M =−sin(t).~e_x+ cos(t).~e_y. Comme le système étudié est stationnaire (vitesse du uide et champ de température indépendants du temps), on écrit que la dérivée partielle de la température par rapport au temps est nulle. En utilisant la formule développée de l'opérateur d'advection (équation 2.2), on a : ^dT_dt

M =... = 0. Par intégration par rapport au temps, on obtient que TM(t)est une constante, conformément à ce qu'on a pu intuiter.

Exercice 10 Dans l'approche lagrangienne, l'accélération~a_P d'une parcelle de uide P se déduit de sa position ~r_P par dérivation :~a_P = ^d_dt^2~r₂^P. Ici, la vitesse ~u_P de la parcelle est égale à la vitesse (connue) ~v du uide. Par dénition, on a ^dx_dt^P = u_{P x} soit ^dx_dt^P = V. 1 +^x_L^P. Cette équation diérentielle s'intègre facilement et donne x_P(t) = L. e^{V t/L}−1. Par double dérivation, on obtient la composante selon x de l'accélération de la parcelle de uide :a_{P x}= ^d_dt^2x₂^P = ^V_L².e^{V t/L}.

Dans l'approche eulérienne, l'accélération~a_Pd'une parcelle de uide est égale à la dérivée matérielle du champ de vitesse~v. On a donc~a_P =^D~_Dt^v. D'après la dénition donnée dans l'équation2.4et en ne s'intéressant qu'à la composante selonx, on peut écrireaP x=^∂v_∂t^x +vx.^∂v_∂x^x +vy.^∂v_∂y^x +vz.^∂v_∂z^x soit aP x=vx.^∂v_∂x^x = ^V_L².e^{V t/L}. Exercice 11 à l'instantt= 2, la vitesse du uide en(2,8) est~v= 0,8.~e_x−3,2.~e_y. Sa norme est d'environ 3,3 m.s⁻¹. Pour établir l'expression des lignes de courant, on utilise l'équation2.7pour trouver ^dy_y =^−Bt_A .^dx_x de quoi on tire y =C.x^−BtA (la grandeur t est considérée comme constante). La constante d'intégrationC est donnée par la condition initiale ; on obtient C = 16. A chaque instant t, la ligne de courant passant par le point (2,8) a pour équation y(x) = 16.x^−t2 . Pour calculer la trajectoire d'une parcelle de uide, on utilise l'équation2.5qui se décline sous la forme de ^dx_dt^P =A.xP.tet ^dy_dt^P =−B.yP.t². Après séparation des variables, on peut intégrer par rapport au temps et obtenir la trajectoire recherchée :

 dernier produit est homogène à une pression. Celle du produitρ.ν² est[ρ.ν²] =M.L.T⁻². On constate que ce dernier produit est homogène à une force.

2.6. Solutions des exercices

Exercice 13 dans un premier temps, on va calculer la trajectoire de cette particule, c'est-à-dire calculer sa position~rP = (xP, yP)au cours du temps. On utilise pour cela l'équation 2.5 qui se décline sous la forme de ^dx_dt^P =A.xP et ^dy_dt^P =−A.yP. Après séparation des variables, on peut intégrer par rapport au temps et obtenir la trajectoire recherchée :







xP(t) = x0.e^At yP(t) = y0.e^−At

Dans un deuxième temps, on peut calculer la température de cette parcelle par : T_P(t) =T .[x_P(t)]²+ [y_P(t)]²

Enn, l'accélération de la particule se calcule simplement en dérivant deux fois la position :

~a_P = d²~rP

Ce résultat aurait pu être obtenu en utilisant l'équation2.4pour calculer le champ d'accélération (partout dans l'espace) à partir du champ de vitesse :

~a= ∂~v

puis à évaluer ce champ à l'endroit où passe la parcelle de uide :

~aP =

Exercice 14 Réponse sur internet en cliquant surce lien.

Exercice 15 La ligne d'émission à un instanttdonné est une courbe nie : l'extrémité la plus en aval (resp.

amont) est occupée par la parcelle de uide qui était enE à l'instantt_i (resp.t_f). Considérons un pointP de coordonnées (xP, yP)appartenant à la ligne d'émission cherchée. Par dénition, la parcelle de uide qui se trouve enP à l'instanttétait enE à l'instantt⁰.

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Calculons sa trajectoire entret⁰ ett. On utilise l'équation 2.5et une intégration temporelle pour obtenir :







x_P(t) = ^−V_ω .cos (ω.t) +C₁ y_P(t) = V.t+C₂

Comme on sait que la parcelle était enEà l'instantt⁰, on peut déterminer les deux constantes d'intégration C₁et C₂. On obtient :

Il s'agit de l'équation paramétrique de la ligne d'émission recherchée, le paramètret⁰ variant entreti et tf. Dans ce cas particulier, on peut éliminer le paramètret⁰ en injectant dans la première équation l'expression det⁰ que l'on peut établir grâce à la deuxième équation. On trouve :

xP =xE+V La ligne d'émission recherchée est une portion de la courbex_P(y_P)ainsi trouvée.

Exercice 16 Pour un écoulement incompressible, on a vu dans la section 2.4.2 que la divergence de la vitesse div~vétait nulle. L'expression de la divergence en coordonnées cylindriques est donnée par l'équation 7.73 en page 102 que l'on rappelle ici : div ~v = ¹_r.^∂(r.v_∂r^r) +¹_r.^∂v_∂θ^θ +^∂v_∂z^z. Puisqu'on travaille dans le plan (vz = 0), on a ^∂v_∂θ^θ =−V.cosθ. On en déduit que la composante radiale de la vitesse doit être de la forme vθ(x, y, t) =−V.sinθ+f(r, t).

Exercice 17 La vitesse n'ayant qu'une composante selonx, il est facile de trouver la position des pointsabcd à l'instantt⁰. Pouri∈ {O, a, b, c, d}, on écrit x⁰_i =xi+U.^y_Hⁱ.t⁰. On trouve respectivement x⁰_O = 5, x⁰_a = 4, x⁰_b= 6,5, x⁰_c = 6et x⁰_d = 3,5mm. En traçant les nouveaux points, on peut déduire que la déformation est causée à la fois par une déformation angulaire (carcObd 6=c\⁰O⁰b⁰) et par une rotation (car l'angle entre la bissectrice de l'anglecObd et le repère xe évolue).

Le taux de déformation angulaire, c'est-à-dire la vitesse à laquelle les angles se déforment, n'est rien d'autre que le taux de cisaillement γ˙ déni par l'équation 2.15 en page 26. On a γ˙xy = ˙γxy = ^∂v_∂y^x + ^∂v_∂x^y. Dans notre cas particulier, la composante verticale vy est identiquement nulle et, puisque ^∂v_∂y^x = _H^U, le taux de cisaillement estγ˙ = 1s⁻¹.

La dénition du vecteur tourbillon (équation2.11) est rappelée~Ω≡¹₂.rot~v. Puisquev_x est la seule compo-sante non nulle et ne dépend que de y, on a~Ω = Ω_z.~e_z avec Ω_z =−¹₂.^∂v_∂y^x =−¹₂._H^U =−0,5 s⁻¹. Le signe négatif indique que la rotation se fait dans le sens anti-trigonométrique (=sens horaire), ce que conrme la lecture du schéma.

Exercice 18 Concernant la rotation, la relation2.9permet d'écrire :



2.6. Solutions des exercices

La relation2.12permet de calculer le vecteur tourbillon :

Ω =~

On voit que la composante selon z du vecteur tourbillon est positive pour 0 < y < H. Cela signie que la rotation dans cette région se fait dans le sens trigonométrique (l'angle négatif θ déni sur la gure 2.6 augmente au cours du temps / sa valeur absolue diminue).

Concernant l'expansion, la relation2.18permet d'écrire :

d_exp≡div~v

On voit que le uide ne subit pas d'expansion. Cela signie qu'il est incompressible.

Concernant le cisaillement, la dénition2.19permet d'écrire que, dans notre cas particulier, le tenseurd_cis est égal au tenseurd.

Exercice 19 Cas a : les contraintes de cisaillement (termes non diagonaux) sont tous nuls. Les gradients de vitesse étant nuls, le uide est au repos (ou en translation uniforme - écoulement piston). La pressionpest égale à l'opposé du tiers de la trace (équation2.27), soit2.

Cas b : ce cas ne peut pas exister car le tenseur des contraintes est symétrique pour des uides communs (équation7.39en page89).

Cas c : la pression est égale à1. L'écoulement se fait dans le planxzcar les gradients de vitesse selony sont nuls.

Exercice 20 La forceF~f luide/paroique le uide exerce sur la paroi peut se calculer grâce à l'équation2.25 F~f luide/paroi=−F~ext/int avec F~ext/int=

x

σ·~n_out.dS

Le vecteur normal unitaire~n_out est dirigé vers l'extérieur de la zone uide et donc s'écrit~n_out =~ey pour la face supérieure. En considérant une aireS= 1m², on obtient :

F~f luide/paroi=−σ·~ey.S=−

On voit que la force exercée par le uide sur la paroi possède deux composantes : une composante qui "tire"

la paroi dans le sens d'écoulement du uide (terme de cisaillement, que l'on peut montrer proportionnel à la viscositéµ) et une composante selon~e_y qui "pousse" la paroi versy élevé (terme de pression).

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

38

Chapitre 3

Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements

La première section présente les propriétés thermodynamiques des matériaux. Ces propriétés sont valables à l'équilibre et peuvent être calculées à partir de l'équation d'état complète du matériau.

La deuxième section présente les propriétés de transfert des matériaux. Dans la notion de transfert se cache la notion de cinétique (et non plus de thermodynamiques). En eet, ces propriétés caractérisent la vitesse à laquelle un matériau réagit à une sollicitation (exemple : intensité du ux de chaleur pour une diérence de température imposée).

La troisième section propose une typologie sommaire des diérents types d'écoulement rencontrés dans la nature ou en situation industrielle.

3.1 Propriétés (thermodynamiques) des matériaux