7.5.1 Bilan des forces
Le bilan local de quantité de mouvement se résume à un bilan des forces. Il sut pour s'en convaincre de reconnaître que la dimension d'une force est celle d'un débit de quantité de mouvement par unité de surface : 1 N = 1 kgs.m.ms2. Considérons donc le volume élémentaire décrit sur la gure2.10en page31, on peut écrire :
dm.D~v
Dt =d ~Fcontact+d ~Fvolumique
où dm est la masse et D~Dtv l'accélération du volume élémentaire. En page 31, on a déni le tenseur des contraintesσpar un assemblage vertical, ce qui a permis d'écrire l'équation2.25établissant le lien entre la forceF~contact et le tenseur des contraintesσ. En projection sur l'axeOx, on obtient :
où l'on rappelle queσij est la composante selon l'axeide la force exercée sur la face de normalej. Le bilan des forces s'écrit alors :
où divσdésigne la divergence du tenseur des contraintes.
7.5.2 Bilan des moments
Le bilan des forces de l'équation7.35est établi en considérant la vitesse de translation. De manière similaire, on peut considérer la vitesse de rotation et établir un bilan des couples. On considère un cube élémentaire de dimensionsdx.dy.dz qui est cette fois centré en(x, y, z). On a :
I.D~ω
Dt =Couples de contact+Couple volumique (7.36) oùD~ω/Dtest l'accélération angulaire. Le moment d'inertie selon l'axeOzest déni par la relation suivante :
Iz≡ L'intégration spatiale permet d'obtenir :
Iz= ρ.h
(dx)2+ (dy)2i
12 .dx.dy.dz (7.37)
Le couple de contact est le fruit des forces qui s'exercent sur les faces du volume élémentaire. Le couple autour de l'axeOz est :
7.5. Démonstrations
Par construction, le couple de volume est le produit d'une constantekz nie et du volume élémentaire : Kz=kz.dx.dy.dz
Après division pardx.dy.dz, la vitesse angulaire ω˙z du cube autour de l'axeOz est : ρ.h
(dx)2+ (dy)2i 12 .Dθ˙z
Dt = (σxy−σyx) +kz
Pour que la vitesse angulaire reste nie lorsquedx etdy tendent vers zéro, il faut que le membre de droite soit identiquement nul. On a donc :
σyx=σxy+kz (7.38)
La force gravitationnelle est une force volumique qui ne crée pas de couple. On a donc~k=~0. En revanche, dans les uides magnétiques (gaz stellaires, noyau liquide de la terre, autres systèmes technologiques,. . .), le terme kz peut être non nul. Nous retiendrons qu'en dehors des systèmes magnéto-hydrodynamiques, cette constante est nulle et donc que le tenseur des contraintes est symétrique :
Le tenseur des contraintesσest symétrique (sauf systèmes magnétiques) :σij =σji (7.39)
7.5.3 Systèmes électro-magnétiques
L'expression locale du bilan de quantité de mouvement a été donnée dans l'équation4.4en page58pour des systèmes simples. Lorsqu'il y a un champ magnétiqueB~ et que la matière contient des charges électriques, alors la force de Lorentz s'exerce et il faut l'ajouter à la gravité.
Pour une particule ponctuelle de chargeq, son expression estF~ =q
E~ +~v∧B~
. Pour une distribution de charge continue, de densité volumiqueρe(en C.m−3), la force volumique (en N.m−3) s'exprime par :
f~=ρe.
E~ +~v∧B~
Comme la densité de courant électriqueJ~(en A.m−2) est dénie parJ~≡ρe~v, on peut écrire : f~=ρe. ~E+J~∧B~
L'évolution temporelle du champ magnétique est donnée par l'équation d'induction, dont la forme complète est complexe. Lorsque le nombre de Reynolds magnétique est très grand devant 1 (ce qui est très souvent le cas en astrophysique et dans les machines de fusion), alors on est dans le cadre de la MHD idéale et la loi d'induction prend la forme simpliée suivante :
∂ ~B
∂t ≈rot
~v∧B~
D'après les équations de Maxwell, on a rotB~ =µ0J~+ε0µ0∂ ~∂tE. Dans le cas particulier où la vitesse caracté-ristique de l'écoulement est très faible devant la vitesse de la lumière, les eets relativistes sont négligeables et l'approximation suivante est valable :
rotB~ ≈µ0J~
7.5.4 Systèmes en rotation
L'équation de Navier-Stokes 4.29 en page59 a été établie dans un référentiel inertiel (on dit aussi ga-liléen). Par dénition, dans un référentiel inertiel, le principe d'inertie est vérié : un corps sur lequel la résultante des forces est nulle, est en mouvement de translation rectiligne uniforme, ou au repos.
Lorsque l'on étudie l'écoulement d'un objet en rotation, il est souvent pratique de se placer dans le réfé-rentiel lié à l'objet. Ce référéfé-rentiel n'est pas inertiel et le bilan des forces doit être ré-écrit. Cette situation se
Chapitre 7. Annexes mathématiques
rencontre par exemple lorsque l'on étudie la circulation des océans ou bien le noyau uide de la terre ou bien encore l'écoulement dans une éprouvette placée dans une centrifugeuse ou bien l'atomisation d'une nappe de liquide résultant de l'impact d'un jet sur une surface plane tournante.
On considère tout d'abord un repère xe R d'origine O et un repère mobile R0 d'origine O0. Dans le repère xe, le centre O0 du repère R0 est à la position ~r(O0), se déplace à la vitesse~v(O0) et possède une accélération~a(O0). On appelleΩ~ le vecteur rotation instantanée deR0 par rapport àR, avecΩ = ˙~ θ.~ketθ˙la vitesse angulaire de rotation. Précisons que la rotation deR0par rapport àRest le changement de direction des seuls axes(O0x0, O0y0, O0z0)par rapport aux axes(Ox, Oy, Oz), sans rapport avec la trajectoire du point O0. On considère ensuite un pointM particulier de l'espace dont la position, la vitesse et l'accélération sont notées~r,~v et~adans le repère xeR et~r0,~v0 et~a0 dans le repère mobileR0. On peut établir trois lois de composition de mouvement :
Position : ~r = ~r0+~rO0
Vitesse : ~v = ~v0+~vO0 +Ω~ ∧~r0 Accélération : ~a = ~a0+~aO0+Ω~ ∧
~Ω∧~r0
+d~dtΩ∧~r0+ 2Ω~ ∧~v0 Dans le référentiel xe, la seconde loi de Newton s'énonce :
m~a=F~vraie
oùF~vraie est la résultante des vraies forces. En vertu de la loi de composition des accélérations, on a : m~a0 =F~vraie+F~Centrifuge+F~Euler+F~Coriolis−m.~aO0
où l'on a déni les forces ctives suivantes :
Force centrifuge : F~Centrifuge ≡ −m.~Ω∧
Ω~ ∧~r0 Force d'Euler : F~Euler ≡ −m.d~dtΩ∧~r0 Force de Coriolis : F~Coriolis ≡ −m.2Ω~ ∧~v0
Application 1 : dans le référentiel inertiel, le bilan local de quantité de mouvement (équation4.24en page 59) s'énonce :
ρD~v
Dt =divσ+ρ~g
Si l'on souhaite travailler dans le référentiel mobile, il prendra donc la forme suivante : ρ.D~v0
Dt =divσ+ρ~g+F~Centrifuge+F~Euler+F~Coriolis−m.~aO0 (7.40) Application 2 : dans le référentiel inertiel, le bilan local d'énergie cinétique (équation4.34en page61) peut s'écrire :
Dec
Dt = (div σ+ρ~g).~v En multipliant l'équation7.40par ~v0, on trouve :
ρ.D¯e0c
Dt =~v0.
divσ+ρ~g+F~Centrifuge+F~Euler−m.~aO0
(7.41)
Notons ici que le terme~v0. ~FCoriolis n'apparaît pas parce qu'il est identiquement nul par construction : la force de Coriolis ne travaille pas.
90
7.5. Démonstrations
7.5.5 Théorème Π de Vaschy-Buckingham
Notations NotonsD1, . . . , DM les dimensions de base. On a vu dans la section1.1en page1que M = 7 pour la physique et que le Système International était basé sur le choix(D1, . . . , D7) = (M, L, T, θ, I, J, N). Considérons une grandeur physiquex. Son équation aux dimensions s'écrit :
[x] =
La dimension du produit de deux grandeursxet yainsi que d'une puissance dexs'établit facilement :
[x.y] = [x].[y] (7.43)
xk
= [x]k (7.44)
Par ailleurs, on peut établir les équations aux dimensions suivantes : dx
Par exemple, la dimension du produit d'un diamètre par une vitesse est celle d'une longueur au carré divisée par un temps soit[d.V] =L2.T−1. De même, la dimension d'une vitesse élevée au cube est celle d'une longueur au cube divisée par un temps au cube soit[V3] =L3.T−3et l'ensemble des exposants est(0,3,−3,0,0,0,0). Enoncé Considérons un ensemble dengrandeurs physiquesx1, x2, . . . , xn. Pour chacune d'elle, l'équation aux dimensions est[xi] =QM
Le théorèmeΠstipule que l'on peut formern−r nombres adimensionnés indépendants.
Démonstration
Considérons un ensemble de ncoecientsk1, . . . , kn et formons la grandeur N en multipliant des puis-sances dexi :
Cherchons les conditions à réunir pour que N soit sans dimension. Pour cela, écrivons son équation aux dimensions :
Chapitre 7. Annexes mathématiques
Les jeux de coecientski rendant la grandeurN sans dimension sont tels que l'exposant de chacun desDm est nul, c'est-à-dire lorsque lesM équations suivantes sont observées :
En utilisant une forme matricielle, on peut écrire :
N ≡
Il s'agit d'un système sous-déterminé (le nombre nd'inconnues est supérieur au nombreM d'équations) et homogène (second membre nul). En algèbre linéaire, on a vu que, si le déterminant de la matriceAest non nul, alors il existen−rsolutions linéairement indépendantes, oùr est le rang de la matrice.