La thermodynamique nous apprend qu'on peut faire apparaître l'enthalpie massique ¯h et l'énergie interne massiqueu¯:
Le coecient adiabatique est déni par :
γ≡ ¯cp
¯ cV
Le coecient adiabatiqueγ vaut 5/3 pour un gaz parfait monoatomique et 7/5 pour un gaz parfait diato-mique. Le coecient adiabatiqueγ d'un liquide est très proche de l'unité. Pour une substance absolument quelconque, on peut montrer la relation :
γ=κT
κS
3.1.3 Vitesse du son
Pour un corps absolument quelconque (solide, liquide ou gaz), la vitesse du son (adiabatique4)vs est dénie par la formule suivante, qui est de la formeδp≈δρ.v2s : La vitesse du son est faiblement inuencée par la pression mais peut varier signicativement en fonction de la température. Pour l'eau liquide à (20°C, 1 bar), la vitesse du son est de 1482 m.s−1. Elle est égale à 1484 m.s−1 pour (20°C, 10 bars) et 1526 m.s−1 pour (40°C, 1 bar). Pour un gaz parfait de masse molaire M˜, l'équation d'étatpV =N RT permet d'établir que :
vs= q
γ.R.T˜ avec R˜≡ R
M˜ (3.8)
Pour de l'air (proche d'un gaz parfait diatomique), la vitesse du son est égale à 343,4 m.s−1 pour (20°C, 1 bar), à 344,5 m.s−1 pour (20°C, 10 bar) et à 355 m.s−1 pour (40°C, 1 bar).
3.2 Equations constitutives
Les lois constitutives sont les équations qui décrivent le comportement d'un matériau particulier. Elles sont comme une signature qui traduit sa spécicité (état physique, nature chimique, . . .).
Lorsque les champs de température, de vitesse et de concentration sont uniformes dans un système (i.e.
même valeur en chaque point de l'espace), alors ce système est au repos et son état ne varie pas au cours du temps. En revanche, s'il existe des inhomogénéités spatiales, alors on observe l'apparition de ux qui tendent à les réduire. Par exemple, un gradient de température induira un ux de chaleur, un gradient de concentration induira un ux de quantité de matière, . . . Les lois constitutives établissent un lien entre une force motrice et un ux pour un matériau donné. Pour chaque loi constitutive, il y a, plus ou moins caché, un couple de grandeurs conjuguées telles queT /S,p/V ouµi/Ni.
Pour de "faibles" inhomogénéités, on se trouve dans le domaine linéaire, c'est-à-dire que le ux d'une grandeur extensive est proportionnel à la force motrice (le gradient de sa grandeur conjuguées). Les relations force-ux ont été identiées par les grands noms de la Science dans des congurations simples.
4. On peut aussi dénir la vitesse du son isothermecs par la relationcs ≡ r
∂p
∂ρ
T. Pour un matériau quelconque, on montre en utilisant la formule de Reech que les deux vitesses du son sont liées parvs=cs.√
γ.
Chapitre 3. Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements
3.2.1 Comportement thermique
On observe le lien de causalité suivant : une diérence de température génère un ux de chaleur ou plus précisément un ux d'énergie interne. Par conséquent, le couple de variables conjuguées est T /U ou T /S. La loi de Fourier établit un lien de proportionnalité entre le ux diusif d'énergie interne ϕU,di (qui n'est rien d'autre que le ux de chaleur conductif~q) et le gradient de température∇T. La constante de proportionnalité est notéeλet s'appelle conductivité thermique. Elle s'exprime en W.m−1.K−1. Les gures3.1et 3.2donnent la valeur de la conductivité thermique pour diérents matériaux courants.
Loi de Fourier : ~q=−λ.∇T (3.9)
Figure 3.1 Conductivité thermique de diérents matériaux.
Figure 3.2 Conductivité thermique de diérents matériaux.
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3.2. Equations constitutives
3.2.2 Comportement chimique
On observe le lien de causalité suivant : une diérence de potentiel chimique génère un ux de matière.
Dans la pratique, les lois constitutives établissent plutôt un lien entre le ux de matière et la fraction mas-sique (ou la concentration) des constituants, plus facile à mesurer ou calculer que le potentiel chimique.
Plusieurs mécanismes diusifs ont été identiés : la diusion de concentration (également appelée diu-sion de masse ou diudiu-sion ordinaire), la diudiu-sion thermique qui résulte d'un gradient de température, la diusion de pression qui résulte d'un gradient de pression et la diusion forcée qui est causée par des forces extérieures s'appliquant inégalement sur chaque constituant (exemple : force électrostatique). Dans les cas usuels, la diusion de concentration est prépondérante.
Dans le cas particulier d'un système binaire A-B, la loi de Fick dresse un lien de proportionnalité entre le ux diusif de matière et le gradient de composition. La constante de proportionnalité est notéeDAB et s'appelle coecient de diusion moléculaire. Elle s'exprime en m2.s−1. Dans sa variante massique, la loi de Fick s'écrit :
Loi de Fick (massique) : ϕ~di,A=−ρ.DAB.∇ωA (3.10) oùϕ~di,Aest le ux diusif massique de A (en kg.m−2.s−1) etωA sa fraction massique (voir section4.3en page56). Dans sa variante molaire, la loi de Fick s'écrit :
Loi de Fick (molaire) : ϕ~∗di,A=−c.DAB.∇xA (3.11) oùϕ~∗di,Areprésente le ux diusif molaire deA(en mol.m−2.s−1) etxAsa fraction molaire (voir section4.2 en page55).
3.2.3 Comportement mécanique
On observe le lien de causalité suivant : une diérence de vitesse génère un ux de quantité de mouvement.
Par conséquent, le couple de variables conjuguées est ~v/ ~P où P~ ≡ m~v est la quantité de mouvement. En d'autres termes, le gradient de vitesse∇~v qui s'exprime en [s−1] est la force motrice à l'origine d'un ux de quantité de mouvement qui s'exprime en [kg.m−1.s−2] c'est-à-dire en [Pa]. On écrira donc la loi constitutive sous la forme suivante :
σ=f(∇~v)
Cette relation est particulière à chaque uide. Toutefois, on peut établir une règle générale sur la forme de cette relation. En eet, on a établi trois choses :
le tenseur des contraintesσest symétrique pour des systèmes non magnétiques (équation7.39en page 89)
par construction, le tenseur des contraintes de cisaillement τ possède les mêmes symétries que σ (équation2.15en page26)
le gradient de vitesse ∇~v peut s'écrire comme la somme d'un tenseur symétrique (notéd) et d'un tenseur anti-symétrique (notér) (équation2.9en page23)
On en déduit que le tenseurτ est une fonction de cette composante symétriquedou, ce qui revient au même, une fonction du taux de cisaillementγ˙ qui est un tenseur d'ordre 2 déni parγ˙ ≡2d. On a donc :
τ=f( ˙γ) avec γ˙ ≡ ∇~v+ (∇~v)T (3.12) L'expression def est spécique à chaque uide. Dans ce qui suit, nous allons voir le cas simple d'une relation linéaire (uide newtonien), d'une relation générale (uides complexes) et d'une fonction identiquement nulle (uide parfait).
Chapitre 3. Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements
3.2.3.1 Fluide newtonien
On a vu en page 26 que le tenseur des taux de déformations dpeut être écrit comme la somme de deux contributions : un cisaillement à volume constantdcis et une expansion isotropedexp :
d=dcis+dexp avec
Le tenseur des contraintes de cisaillement peut également être vu comme la somme de ces deux contributions : τ=τcis+τexp
On appelle uide newtonien un uide caractérisé par une simple relation de proportionnalité entreτcis et dcis d'une part et entreτexpetdexpd'autre part :
Au nal, le tenseur des contraintes de cisaillement d'un uide newtonien s'écrit : Fluide newtonien : τ =µ.γ˙ + oùIreprésente la matrice identité. Sous forme développée, on a :
τij≡µ.
Examinons le sens physique des paramètresµetµV à l'aide de deux écoulements particuliers.
Pour un uide subissant un cisaillement pur dans une cellule de Couette plane (écoulement entre deux plans parallèles), le champ de vitesse est de la forme~v=vx.~exavecvx(x, y, z) =V0.Hy. Pour cet écoulement, que le uide soit compressible ou incompressible, la divergence de la vitesse est nulle et l'on peut écrireτxy=µ.∂v∂vx
y. Cela montre que la grandeurµn'est rien d'autre que la célèbre viscosité dynamique, et s'exprime en Pa.s.
Deux autres unités se rencontrent : le Poiseuille (symbole PI) et la Poise (symbole P ou Po). Les équivalences sont les suivantes : 1 Pa.s = 1 PI = 10 P = 1000 cP.
Pour un uide compressible subissant une compression pure, le champ de vitesse peut se mettre sous la forme~v =vx.~ex avec vx(x, y, z) =V0.xL. Dans ce cas, on trouve que le tenseur des taux de cisaillementγ˙ est nul et l'on peut écrire τ =µ0.div~v.I avec µ0 ≡µV −23µ. Le paramètre µV apparaît donc étroitement lié à la constante de proportionnalitéµ0 reliant la vitesse d'expansion à la contrainte. Dans la littérature, le terme de viscosité de dilatation-expansion désigne parfois le paramètreµV (ex : Bird et al.) et parfois le coecientµ0 (ex : Plaut). Avec tout autant d'imprécision, on trouve aussi le terme de viscosité de volume pour l'une ou l'autre des grandeurs. Une discussion sur la valeur deµV ouµ0 est donnée en page59.
On vient d'établir la forme particulière de la relationτ=f( ˙γ)pour un uide newtonien. On voit que, pour un uide newtonien et incompressible (div~v= 0), on a une relation simple de proportionnalité entre la force motrice (le taux de cisaillement γ˙) et la densité de ux de quantité de quantité de mouvement. Il s'agit de la loi de Newton :
Fluide newtonien incompressible : τ=µ.γ˙ (Loi de Newton) (3.16) Cette expression fait écho à la loi de Fourier et à la loi de Fick. Contrairement à ces deux dernières, on notera l'absence de signe "-" dans la loi de Newton. C'est à mettre sur le compte de la convention choisie sur l'orientation de la normale : elle est sortante dans ce document (voir tableau7.3).
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