Méthodes

1.2 Méthodes

1.2.1 Former des grandeurs adimensionnées

Méthode

On décrit ici la procédure pour construire un ensemble depgrandeurs adimensionnées à partir dengrandeurs physiques. Cette procédure s'appuie sur le théorèmeΠ de Vaschy-Buckingham (démonstration en page91).

1. identier lesngrandeurs physiquesxidu problème. Il peut s'agir de paramètres constants, de fonctions ou de variables. Il est important de toutes les recenser.

2. écrire l'équation aux dimensions de chaque grandeurxi :

[x_i] =

M

Y

m=1

D^a_m^mi

3. construire la matrice dimensionnelleAdénie par :

A≡







a11 . . . a1n

... ... ...

a_M1 . . . a_{M n}







4. calculer le rangrde la matrice dimensionnelle

5. choisir r grandeurs de base que l'on notera bi. Ces grandeurs doivent être dimensionnellement indépendantes. On peut choisir lesbiparmi lesxi sixi est invariant (par exemple la gravité). Sixi est une fonction ou une variable, on peut utiliser les conditions aux limites ou bien les conditions initiales (qui sont des constantes). Il est parfois astucieux de former des grandeurs de base en prenant des produits, quotients ou puissances des xi.

6. former n échelles caractéristiques Xi. Pour cela, identier les r−1 coecients αji tels que les dimensions de Xi et xi soient les mêmes :

X_i ≡Y

j6=i

b^α_j^ji tel que [X_i] = [x_i]

Dans un problème donné, il est possible d'avoir plusieurs échelles caractéristiques de même dimension (deux temps caractéristiques, deux longueurs caractéristiques, . . .).

7. formerngrandeurs sans dimension en prenant le ratiox_i/X_i : La grandeur adimensionnée x_i

Xi est notée

N_i lorsquex_i est un paramètre constant x^∗_i lorsquex_i est une fonction ou une variable 8. éliminer lesr grandeurs adimensionnées sans intérêt : constantes, multiples ou puissances d'un autre

nombre adimensionné, . . .

Il reste lesp≡n−rgrandeurs adimensionnées recherchées.

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Figure 1.1 Nécessité de choisir des grandeurs liées par une relation de cause à eet. Source.

Exemple

Considérons un objet sphérique chutant dans le vide sous l'eet de la gravité et essayons de prévoir la durée de chute. Les grandeurs physiques a priori pertinentes sont la durée de la chuteτ, la hauteur initiale h0, la vitesse initiale v0, le diamètre d, la masse m et l'accélération de la pesanteur g. Le nombre n de grandeurs est égal à 6. La loi physique s'énonce ainsi :

f(τ, h₀, d, m, g, v₀) = 0 La matrice dimensionnelle peut s'écrire sous la forme d'un tableau :

τ h0 d m g v0

M 0 0 0 1 0 0

L 0 1 1 0 1 1

T 1 0 0 0 -2 -1

θ 0 0 0 0 0 0

I 0 0 0 0 0 0

J 0 0 0 0 0 0

N 0 0 0 0 0 0

Le rangrde cette matrice est égal à 3. Nous choisissons autant de grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemplem, g et v0. En utilisant ces grandeurs de base, formons maintenant autant de nombres adimensionnés qu'il y a de variables physiques³:



















N₁ ≡ _v ^τ

0.g⁻¹

N2 ≡ _v2^h0 0.g⁻¹

N3 ≡ _v2^d 0.g⁻¹

N₄ ≡ ^m_m N5 ≡ ^g_g N6 ≡ ^v_v⁰

0

3. On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss en supplément à l'intuition.

4

1.2. Méthodes

Les trois dernières grandeurs adimensionnées sont des constantes, égales à l'unité, et n'ont aucun intérêt.

Le nombrepde grandeurs adimensionnées pertinentes est donc égal à 3, ce qui était prévisible (p≡n−r).

Exercice 2. la puissance P nécessaire au fonctionnement d'une pompe axiale dépend de la masse volumique ρ du uide, de sa viscosité dynamiqueµ, de la vitesse angulaire Ω et du diamètreD du rotor, du débit volumique Qet de la charge hydraulique∆H qui est générée (égale à l'augmentation de pression ∆pdivisée par le produitρ.~g). Quels sont les nombres adimensionnés pertinents ? Exercice 3. trouver la vitesse caractéristique d'un uide s'écoulant dans un milieu poreux sous l'eet d'un gradient de pression. Application à de l'eau s'égouttant par gravité dans un pot de eur.

1.2.2 Adimensionner une loi physique inconnue

Méthode

Considérons une loi physique faisant intervenirngrandeurs physiquesx₁, . . . , x_n :

f(x1, . . . , xn) = 0 (1.1)

Si cette loi est inconnue, on cherchera à établir une corrélation empirique entre ces grandeurs. Pour minimiser le nombre d'expériences ou de simulations numériques, on peut avantageusement former p grandeurs adi-mensionnées selon la procédure décrite dans la section précédente. En eet, la loi physique sera équivalente⁴ à l'équation suivante, dite "loi physique adimensionnée" :

g(N1, . . . , Np) = 0 ⇔ N1=h(N2, . . . , Np) (1.2) dont le nombre de variables est strictement inférieur à n. Dans le cas particulier où il n'y a qu'un nombre adimensionné (p= 1), alors cette équation s'écrit simplementN1=constante. De manière générale, lorsque les diérents phénomènes sont découplés, les corrélations ont souvent la forme d'un produit de fonctions, elles-mêmes souvent lois de puissance :

N₁=A.h₂(N₂).h₃(N₃). . . avec h_i(N_i) =N_i^ki

Lorsque les phénomènes sont couplés, l'expression analytique des corrélations est plus dicile à établir.

Exemple

Dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, on peut écrire les équivalences suivantes :

f(τ, h0, d, m, g, v0) = 0 ⇔ N1=h(N2, N3) avec







N1 ≡ ^τ.g_v

0

N2 ≡ ^h_v⁰2^.g 0

N₃ ≡ ^d.g_v2 0

On peut formuler quelques commentaires :

la loi adimensionnée ne fait intervenir que 3 grandeurs alors que la loi physique en fait intervenir 6.

l'analyse dimensionnelle montre que la masse n'inuence pas la durée de chute dans le vide, en accord avec les observations faites par Galilée (1564-1642).

l'analyse dimensionnelle ne permet pas d'en savoir davantage. Seules des expériences, des simulations numériques ou un calcul théorique permettront de préciser la forme de l'équationN1=h(N2, N3). En l'occurence, on verrait queN3n'a aucune inuence surN1 (la taille de l'objet n'a pas d'inuence sur la durée de chute dans le vide). La loi physique se résumerait alors àN₁ =h(N₂). Graphiquement, la corrélation serait représentée par une courbe maîtresse dans le planN₁−N₂.

4. Pour établir cette équivalence, on peut essayer d'isoler la grandeur adimensionnée faisant apparaître la sollicitation du système. Cette dernière est en principe unique. La réponse (physique) du système à cette sollicitation est souvent unique mais peut présenter diérentes solutions si le système est dans un état métastable ou instable.

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

1.2.3 Adimensionner une loi physique connue

Méthode

Lorsque la loi physique est connue, on peut facilement établir l'expression analytique de la loi physique adimensionnée. Il sut pour cela de remplacer chaque occurence dexi par :

le produitx^∗_i.Xi s'il s'agit d'une fonction ou d'une variable le produitNi.Xi s'il s'agit d'un paramètre constant

puis de réaliser les simplications nécessaires pour éliminer les échelles caractéristiquesXi.

Dans le cas où la loi physique fait intervenir une dérivée ou une intégrale, on utilise les règles suivantes : dx1

L'adimensionnement d'une loi physique connue permet réduire le nombre de grandeurs et donc de faciliter son calcul. Quand la loi se présente sous la forme d'une somme de plusieurs termes, l'adimensionnement permet également d'évaluer l'ordre de grandeur des diérents termes et ainsi, plus facilement, de considérer les cas asymptotiques où l'un ou l'autre des termes, et donc des phénomènes physiques associés, est négligeable ou prépondérant devant les autres.

Exemple

Toujours dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, la théorie permet de relier le dépla-cement de l'objet à la durée de chute. Il sut d'appliquer le principe fondamental de la dynamique et de réaliser une intégration :

x(t) tel que dx

dt =g.t+v0

Parmi les 4 grandeurs physiques (x1, x2, x3, x4) = (x, t, g, v0), les deux premières sont des fonctions ou des variables tandis que les deux dernières sont des paramètres constants. Ces quatre grandeurs font intervenir deux dimensions (LetT) et le rang de la matrice dimensionnelle estr= 2. Pour les deux grandeurs de base, il est naturel de choisir les paramètres constants : (b1, b2) = (g, v0). Cela permet de construire les échelles caractéristiquesXi et les grandeurs sans dimension suivantes :



Ce qui conduit, en remplaçant les échelles caractéristiques Xi par leur valeur puis en divisant membre à membre parv0à la loi physique adimensionnée :

x^∗(t^∗) tel que dx^∗

dt^∗ =t^∗+ 1

Cette équation permet de voir que pour les temps courts (t^∗1), la vitesse reste quasiment identique à sa valeur initiale et, que pour des temps longs (t^∗1) la vitesse croît proportionnellement au temps. De plus, cette démarche permet de dénir le temps caractéristique ^v_g⁰.

Exercice 4. évaluer le temps caractéristique de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

6

1.2. Méthodes

Exercice 5. évaluer le temps caractéristique des oscillations d'un pendule oscillant obéissant à la loi θ¨+_L^g.sinθ= 0.

Exercice 6. considérons une EDP de convection-diusion-réaction :

∂c

∂t+V.∇c=D.∇²c−k.c

Adimensionner cette équation. Mettre en évidence trois temps caractéristiques du système physique re-présenté par cette équation. Faire apparaître ces temps caractéristiques dans la dénition des nombres adimensionnés pertinents. Quelle approximation peut-on faire dans le cas où la réaction a lieu dans un réacteur d'un litre alimenté en continu par de l'eau circulant à 10 cm/s (on prendra un coecient de diusion de 3.10⁻⁹ m².s⁻¹) ?

1.2.4 Transposer des résultats d'une échelle à l'autre

Méthode

En ingénierie, la conception d'un nouveau système, sa construction et son utilisation présentent parfois des risques humains, techniques ou nanciers. C'est le cas lorsque les connaissances manquent et notamment lorsque les équations gouvernant son évolution (i) ne sont pas connues (ii) sont connues mais non solubles ou bien (iii) sont connues et solubles mais leur solution (théorique ou numérique) n'a pas été validée ex-périmentalement. Dans ces situations, il est parfois judicieux de mener des expériences préalables sur des maquettes, qui sont souvent de taille réduite mais peuvent également être plus grandes que le prototype (sys-tème à taille réelle). Si certaines conditions sont respectées, l'analyse dimensionnelle permet de transposer les résultats d'une échelle à l'autre. Cette approche est fréquemment mise en oeuvre lorsque des uides sont en écoulement. Dans ce cas, les maquettes sont placées dans une souerie aérodynamique (voitures, avions, hélicoptères, drones, fusées, navettes), un bassin des carènes (navires et sous-marins) ou autre (réacteur chimique, pompe, hydrologie uviale ou maritime).

Considérons un problème de physique dont la loi physique adimensionnée, connue ou inconnue, s'énonce de la manière suivante :

N1=h(N2, . . . , Np) (1.3)

Puisque la loi physique est la même quelle que soit la taille du système considéré, l'égalité des nombres adimensionnésN2, . . . , Npaux deux échelles entraîne l'égalité deN1aux deux échelles. Dans la littérature, le système à pleine échelle est souvent appelé prototype et les grandeurs associées sont désignées par l'exposant P ou bien 1(écoulement principal, premier écoulement) tandis que le système modèle est appelé maquette (exposantM ou2 pour "second écoulement").







N₂^P = N₂^M ... ...

N_p^P = N_p^M





 ⇒ N₁^P =N₁^M

Similitude complète : on dit que deux systèmes sont similaires, ou en complète similitude, lorsque les conditions suivantes sont remplies :

tous les nombres adimensionnés sont identiques

les conditions aux limites adimensionnées sont identiques

les conditions initiales adimensionnées sont identiques (pour les systèmes instationnaires)

De la première condition, on peut déduire que la forme géométrique est invariante : dans une similitude complète, les deux systèmes sont homothétiques l'un de l'autre. Parmi toutes les invariances, certains au-teurs distinguent la similitude géométrique (invariance des rapports de longueur), la similitude cinématique (invariance des rapports de vitesse) et la similitude dynamique (invariance des rapports de force).

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Similitude incomplète : on parle de similitude incomplète lorsqu'au moins une condition de similitude n'est pas remplie. Cette situation se rencontre notamment lorsque :

les matériaux imposés par la similitude sont trop malcommodes d'emploi ou bien tout simplement n'existent pas

les sollicitations ne peuvent pas être contrôlées. Par exemple, l'intensité de la force de gravitation est la même quelle que soit la taille du système (sauf chute libre, centrifugation et changement de planète).

un phénomène est négligeable à une échelle et prépondérant, ou au moins inuant, à une autre échelle.

Par exemple, l'eet de la tension supercielle jouera probablement un rôle important pour un système millimétrique mais sera négligeable pour un système de la taille de l'océan.

L'extrapolation des résultats n'est alors pas justiable rigoureusement d'un point de vue mathématique. En pratique, il arrive toutefois que cette diculté puisse être négligée ou contournée :

si la fonctionN1=h(N2, . . . , Np)reste quasi-constante quelle que soit la valeur deNp (surRou un intervalle deR), l'extrapolation sera correcte même siNpn'est pas identiques pour les deux systèmes, en renonçant à une pure homothétie et en introduisant une distorsion géométrique (par exemple une

échelle de largeur et une de longueur), on peut tout de même obtenir des résultats.

Exemple

Cherchons à évaluer la puissance consommée par un sous-marin opérant à V_P=2,6 m.s⁻¹ dans une eau de mer de masse volumique ρP=1010 kg.m⁻³ et de viscosité cinématique νP=1,3.10⁻⁶ m².s⁻¹. Pour cela, on construit un modèle réduit dans un rapport LM/LP = 1/20 que l'on place dans un canal d'eau douce (ρM=988 kg.m⁻³ et νM=0,65.10⁻⁶ m².s⁻¹). En se plaçant dans des conditions de similitude, on mesure la force de pousséeFM qui s'exerce sur la maquette ; elle est de 500 kN.

Le problème est décrit parn= 5grandeurs physiques : la tailleLet la vitesseV du sous-marin, la masse volumique ρ et la viscosité cinématique ν du uide, la force de traînée F. Ces grandeurs font intervenir r= 3 dimensions (L,M,T). La loi physique du problème relie doncp=n−r= 2 nombres adimensionnés.

Choisissonsr= 3grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemple la tailleL[L], la vitesse V [L.T⁻¹] et la force F [M.L.T⁻²]. Nous pouvons construiren= 5nombres sans dimension :

On voit que seuls deux nombres adimensionnés sont pertinents :N3etN4. La similitude entre le sous-marin à pleine échelle et la maquette impose l'égalité des nombres adimensionnés pertinents :

N₃^P = N₃^M

De la deuxième équation, on tire la vitesse (très rapide) que doit avoir la maquette : VM =VP.νM

ν_P .LP

L_M d'où VM = 26m.s⁻¹ De la première équation, on tire la force de traînée du sous-marin à pleine échelle :

FP =FM.ρP

En utilisant la formuleP =F.V, on trouve que la puissance consommée par le sous-marin réel est de 5,32 MW. On verra dans la section 1.3 que, à un coecient près, les nombres adimensionnésN3 et N4 sont les inverses du coecient de traînéeCx et du nombre de ReynoldsRerespectivement.

8

1.2. Méthodes

Exercice 7. on considère un modèle réduit au tiers de la pompe étudiée dans un exercice de la section 1.2.1. Calculer la puissancePP nécessaire pour faire tourner le prototype à 300 rpm ainsi que son débit sachant que la puissancePM consommée par la maquette est de 2 hp lorsque cette dernière fonctionne edans des conditions de similitude caractérisées par : ΩM = 900 rpm, DM = 5 in,∆HM = 10 ft, QM = 3ft³.s⁻¹.

1.2.5 Identier l'importance d'un phénomène

Méthode

Dans certains situations, il arrive qu'un phénomène soit négligeable devant un autre. Cela permet de simplier la modélisation et de faciliter sa résolution. Pour identier l'importance relative de deux phéno-mènes, on peut ré-écrire les nombres adimensionnels sous la forme d'un ratio de deux durées caractéristiques, chacune étant associée à un phénomène. Cela est souvent possible. Si le nombre adimensionné est proche de l'unité, cela signie que les deux phénomènes ont des durées caractéristiques comparables. Ils se déroulent sur des domaines spatiaux d'étendue comparable en des temps comparables ; on dit alors que le couplage est fort. En revanche, si le ratio des deux temps caractéristiques s'éloigne beaucoup de l'unité, on dit que les phénomènes sont découplés : un phénomène rapide (constante de temps faible) coexiste avec un phénomène lent (constante de temps élevée).

Dans cette situation de découplage, le comportement du système est piloté par un seul des deux mènes, c'est-à-dire qu'une variation d'un paramètre intervenant dans le temps caractéristique de ce phéno-mène a une inuence directe (le plus souvent proportionnelle ou inversement porportionnelle) sur le compor-tement de ce système. Deux cas principaux sont à distinguer :

Deux phénomènes en parallèle (1/τ = 1/τ_rapide+ 1/τ_lent ≈ 1/τ_rapide) : le système est piloté par le phénomène le plus rapide. On peut négliger la contribution du phénomène lent.

Deux phénomènes en série (τ=τ_rapide+τ_lent≈τ_lent) : le système est piloté par le phénomène le plus lent. On peut négliger la contribution du phénomène rapide.

Ces réexions sont à la base des stratégies d'intensication des procédés : adapter la taille des systèmes, les matériaux et les conditions opératoires de manière à maximiser l'ecacité⁵.

Exemple

Considérons le transfert de chaleur d'un solide vers un uide. On distingue trois phénomènes : 1. la conduction dans le solide avec un temps caractéristique :τ1≡^L_α^2s

s

2. la conduction dans le uide avec un temps caractéristique :τ₂≡^L_α^2f

f

3. la convection dans le uide avec un temps caractéristique : τ3≡ ^Lf.ρ_h^f.cpf avecλ=α.ρ.cp

L'importance relative de ces phénomènes peut être évaluée par les trois nombres adimensionnés suivants : N u≡ ^h.L_λ^f

f = ^τ_τ²

3 : nombre de Nusselt, utile pour comparer la conduction dans le uide à la convection dans le uide

Bi ≡ ^h.L_λ ^f

s = ^τ_τ¹

3._ρ^ρs.cps

f.c_pf : nombre de Biot, utile pour comparer la conduction dans le solide à la convection dans le uide

N ≡ ^α_α^f

s = ^τ_τ¹

2 : nombre sans nom particulier, utile pour comparer la conduction dans le uide à la conduction dans le solide

5. Lire par exemple page 84 de "Green Process Engineering : From Concepts to Industrial Applications" By Martine Poux, Patrick Cognet, Christophe Gourdon 2015, ISBN : 1482208172.

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Dans le document Document rédigé par Olivier BONNEFOY Mail : bonnefoy@emse.fr (Page 11-18)