En particulier, pour un mélange binaire, on a1:
Exercice 21. la composante selon xde la vitesse d'un écoulement bidimensionnel est de la forme vx(x, y, t) =Ax. Identier les diérentes composantesvyselonyqui décrivent un uide incompressible.
Exercice 22. on considère un écoulement radial unidimensionnel dans le planrθ. Le champ de vitesse est tel que vr=f(r)et vθ = 0. Déterminer les conditions quef(r)doit respecter pour garantir que l'écoulement est incompressible.
4.4 Bilan local de quantité de mouvement (linéaire)
4.4.1 Cas général
Si la grandeurF est la quantité de mouvementm~v, alors sa densité volumiquef est égale àρ~v. Plusieurs méthodes sont possibles pour établir le bilan local de quantité de mouvement. L'une d'elles consiste à écrire le bilan des forces sur un petit élément de volume dont on suit la trajectoire (voir démonstration en page88).
Ce bilan des forces prend le nom d'équation de Cauchy. Pour un système sans force électro-magnétique, on a :
ρD~v
Dt =divσ+ρ~g (4.21)
oùσreprésente le tenseur des contraintes totales. Ce bilan des forces peut être ré-écrit2 :
∂ρ~v
∂t =div(σ−ρ~v⊗~v) +ρ~g (4.22)
où le symbole⊗ désigne le produit dyadique déni en page823. Par analogie avec la forme canonique du bilan local (équation4.10), cette formulation montre que le ux diusif de quantité de mouvement est égal au tenseur des contraintes et que le terme source est égal à la somme des forces volumiques qui s'exercent à distance (forces gravitationnelle, électrostatique, électromagnétique, . . .).
Dans le chapitre précédent, on avait déni la pressionppar la relation2.27et le tenseur des contraintes de cisaillementτ par la relation2.28. On rappelle leurs dénitions ci-dessous :
p≡−Trace(σ)
3 et σ≡τ−p.I (4.23)
1. La deuxième équation s'obtient facilement en utilisant l'équation ωA = f(xA.M˜A, xB.M˜B), la relation de fermeture xA+xB= 1et son corollaire∇xA=−∇xB.
2. Cela peut être réalisé à titre d'exercice. Il sut d'utiliser la dénition de la dérivée matérielle (équation2.4), l'équation de continuité sous sa forme eulérienne et les relations7.26et7.27du formulaire en page85.
3. Le produit~u⊗~vest parfois noté~u~vsans symbole entre les vecteurs. Nous n'adoptons pas cette dernière notation car elle porte à confusion.
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4.4. Bilan local de quantité de mouvement (linéaire)
Avec ces notations, le bilan local de quantité de mouvement s'écrit de l'une ou l'autre manière :
B.L. de qté de mouvement (éq. de Cauchy) :
Ces expressions sont valables dans un référentiel inertiel (galiléen). Si l'on travaille dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter quelques forces dont la force de Coriolis. Ce cas est présenté en annexe (équation 7.40en page90).
4.4.2 Cas particulier des uides newtoniens (équation de Navier-Stokes)
Pour un uide newtonien (dénition en page 44), le tenseur des contraintes de cisaillement a la forme suivante : On en déduit l'expression de divτ :
divτ =div Lorsque la viscosité dynamiqueµet le paramètreµV sont des constantes, alors on peut utiliser l'égalité7.28 du formulaire en page85pour écrire :
div τ=µ.∆~v+
Pour poursuivre la discussion amorcée en page44, dans de très nombreux cas pratiques, on peut considé-rer que µV = 0. Cette hypothèse de Stokes est rigoureusement exacte pour les gaz monoatomiques à faible pression (voir théorie cinétique). Elle peut être considérée comme raisonnable pour les autres gaz sauf lorsque l'on étudie l'amortissement des pulsations de volume produites par une brusque variation de pression ou l'amortissement d'ondes ultrasonores. Lorsque le uide est un liquide, sa faible compressibilité conduit sou-vent à considérer que la divergence de la vitesse est nulle, ce qui élimine le besoin de connaître la valeur deµV. L'équation 4.26 peut être simpliée dans le cas d'un écoulement incompressible (voir dénition en page 47). En eet, on a alors de très faibles variations relatives de masse volumiqueδρ/ρ1 et l'on peut faire l'approximation que la masse volumique est constante. D'après le bilan local de masse, équation 4.15 en page 56, cela implique la nullité de la divergence du champ de vitesse. On en déduit, que pour un uide incompressible et newtonien de viscosité constante, on a :
divτ=µ.∆~v (4.28)
Le bilan de quantité de mouvement 4.24, lorsque le uide est incompressible et newtonien de viscosité constante, porte le nom d'équation de Navier-Stokes :
Equation de Navier-Stokes : ρ.D~v
Dt =ρ~g− ∇p+µ.∆~v (4.29) Le termeµ.∆~v est le produit de la viscosité et du laplacien de la vitesse qui est une mesure de la courbure locale du champ de vitesse. Il est nul pour un prol de vitesse linéaire. La gure 4.2 illustre le fait que les forces visqueuses ont pour eet de linéariser le prol de vitesse en accélérant/entraînant les parcelles uides en retard et en freinant/ralentissant les parcelles uides en avance par rapport à un prol linéaire.
En d'autres termes, on retiendra que les forces visqueuses agissent comme une force de rappel et stabilisent l'écoulement en linéarisant les prols de vitesse.
Chapitre 4. Bilans locaux
Figure 4.2 Les forces visqueuses tendent à régulariser le champ de vitesse en le rapprochant d'un prol linéaire.
Cas particulier des écoulements à fort nombre de Reynolds. Ce cas se rencontre pour un écoulement très turbulent (vitesse très élevée) ou bien un uide parfait (viscosité nulle). Dans l'équation de Navier-Stokes, le terme visqueux est négligeable et l'on obtient l'équation d'Euler :
Equation d'Euler : ρ.D~v
Dt =ρ~g− ∇p (4.30)
Notons qu'elle n'est pas valable à proximité d'une interface uide-solide. En eet, comme la vitesse relative du uide est nulle au contact du solide, il existe nécessairement une zone de faible vitesse où les eets visqueux ne peuvent être ignorés.
Cas particulier des écoulements stationnaires à faible nombre de Reynolds. Lorsque les eets visqueux prédominent sur les eets inertiels et que l'écoulement est stationnaire, on parle d'écoulement rampant (creeping ow). Dans ce cas, l'équation de Navier-Stokes se simplie et prend le nom d'équation de Stokes :
Equation de Stokes : 0 =ρ~g− ∇p+µ.∆~v (4.31)
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