G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019

G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2018-2019

Chapitre 2: Nappes et sous vari´et´es

Pierre Mounoud

Le poly se trouve ici

www.math.u-bordeaux.fr/~pmounoud/

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Rappels

On noteL(Rⁿ,R^p) l’esp. vect. des applications lin´eaires deRⁿ dansR^p. D´efinition 1

SoientU un ouvert deRⁿetf : U →R^p. On dit quef est diff´erentiable enx∈U s’il existe une application lin´eaire dans L(Rⁿ,R^p) (la

diff´erentielle def enx) not´eeDxf telle que

kf(x+h)−f(x)−Dxf(h)k=o(khk).

L’applicationh7→f(x) +Dxf(h) est la meilleure approximation affine de f au voisinage de x.

La matrice deD_xf dans la base canonique est lajacobiennedef au point x, elle est not´eeJ_xf et

Jxf = ∂fi

∂xj

(x)

1≤i≤p 1≤j≤n

.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Rappels

On noteL(Rⁿ,R^p) l’esp. vect. des applications lin´eaires deRⁿ dansR^p. D´efinition 1

SoientU un ouvert deRⁿetf : U →R^p. On dit quef est diff´erentiable enx∈U s’il existe une application lin´eaire dans L(Rⁿ,R^p) (la

diff´erentielle def enx) not´eeDxf telle que

kf(x+h)−f(x)−Dxf(h)k=o(khk).

L’applicationh7→f(x) +Dxf(h) est la meilleure approximation affine de f au voisinage de x.

La matrice deD_xf dans la base canonique est lajacobiennedef au point x, elle est not´eeJ_xf et

Jxf = ∂fi

∂xj

(x)

1≤i≤p 1≤j≤n

.

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Rappels de calcul diff´erentiel

Rappels

On noteL(Rⁿ,R^p) l’esp. vect. des applications lin´eaires deRⁿ dansR^p. D´efinition 1

SoientU un ouvert deRⁿetf : U →R^p. On dit quef est diff´erentiable enx∈U s’il existe une application lin´eaire dans L(Rⁿ,R^p) (la

diff´erentielle def enx) not´eeDxf telle que

kf(x+h)−f(x)−Dxf(h)k=o(khk).

L’applicationh7→f(x) +Dxf(h) est la meilleure approximation affine de f au voisinage de x.

La matrice deD_xf dans la base canonique est lajacobiennedef au point x, elle est not´eeJ_xf et

Jxf = ∂fi

∂xj

(x)

1≤i≤p 1≤j≤n

.

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Rappels de calcul diff´erentiel

Lorsquef est diff´erentiable en tous points deU, on d´efinit sa diff´erentielleDf :Rⁿ⊃U → L(Rⁿ,R^p) par x7→D_xf.

On dit quef est de classeC¹siDf est continue.

Comme toute application `a valeurs dans un espace produit,Df est continue si et seulement si ses composantes sont continues c.-`a-d. si pour tout (i,j) l’application x7→ _∂x^∂fi

j(x) est continue.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Lorsquef est diff´erentiable en tous points deU, on d´efinit sa diff´erentielleDf :Rⁿ⊃U → L(Rⁿ,R^p) par x7→D_xf. On dit quef est de classeC¹siDf est continue.

Comme toute application `a valeurs dans un espace produit,Df est continue si et seulement si ses composantes sont continues c.-`a-d. si pour tout (i,j) l’application x7→ _∂x^∂fi

j(x) est continue.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Lorsquef est diff´erentiable en tous points deU, on d´efinit sa diff´erentielleDf :Rⁿ⊃U → L(Rⁿ,R^p) par x7→D_xf. On dit quef est de classeC¹siDf est continue.

Comme toute application `a valeurs dans un espace produit,Df est continue si et seulement si ses composantes sont continues

c.-`a-d. si pour tout (i,j) l’application x7→ _∂x^∂fi

j(x) est continue.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Lorsquef est diff´erentiable en tous points deU, on d´efinit sa diff´erentielleDf :Rⁿ⊃U → L(Rⁿ,R^p) par x7→D_xf. On dit quef est de classeC¹siDf est continue.

Comme toute application `a valeurs dans un espace produit,Df est continue si et seulement si ses composantes sont continues c.-`a-d. si pour tout (i,j) l’application x7→ _∂x^∂fi

j(x) est continue.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

On d´efinit par r´ecurrence les d´eriv´ees d’ordre sup´erieur. La diff´erentielle d’ordrek, not´ee D^kf est donc l’application qui `ax associe D<sub>x</sub><sup>k</sup>f. Les composantes deD<sub>x</sub><sup>k</sup>f sont les d´eriv´ees partielles d’ordrek, c.-`a-d. les

∂^kfi

∂x_j1...∂x_jk(x).

Proposition 2

Soitf :Rⁿ⊃U→R^p etk∈N^∗.

Sif estk fois diff´erentiable enx alors pour toutσ∈Sk, on a

∂^kfi

∂x_j1. . . ∂x_jk(x) = ∂^kfi

∂x_jσ(1). . . ∂x_jσ(k)(x). L’applicationf est de classeC^k si et seulement si pour tout (j1, . . . ,jk)∈ {1, . . . ,n}^k l’applicationx7→ _∂x^∂kfi

j1...∂x_jk(x) est d´efinie et continue surU.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

On d´efinit par r´ecurrence les d´eriv´ees d’ordre sup´erieur. La diff´erentielle d’ordrek, not´ee D^kf est donc l’application qui `ax associe D<sub>x</sub><sup>k</sup>f. Les composantes deD<sub>x</sub><sup>k</sup>f sont les d´eriv´ees partielles d’ordrek, c.-`a-d. les

∂^kfi

∂x_j1...∂x_jk(x).

Proposition 2

Soitf :Rⁿ⊃U→R^p etk∈N^∗.

Sif estk fois diff´erentiable enx alors pour toutσ∈Sk, on a

∂^kfi

∂x_j1. . . ∂x_jk(x) = ∂^kfi

∂x_jσ(1). . . ∂x_jσ(k)(x).

L’applicationf est de classeC^k si et seulement si pour tout (j1, . . . ,jk)∈ {1, . . . ,n}^k l’applicationx7→ _∂x^∂kfi

j1...∂x_jk(x) est d´efinie et continue surU.

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Rappels de calcul diff´erentiel

On dit quef est lisse (de classeC^∞) si elle est de classe C^k pour toutk.

Exemple 3

L’applicationGL(n,R)→GL(n,R) d´efinie parM 7→M⁻¹ est lisse (indication : utiliser que det(M)M⁻¹est ´egal `a la transpos´ee de la matrice des cofacteurs).

D´efinition 4

L’applicationf :Rⁿ⊃U →V ⊂R^p est un diff´eomorphisme sif est une bijection,f etf⁻¹ sont partout diff´erentiables.

En g´eom´etrie diff´erentielle on voit deux objets permut´es par un

diff´eomorphismes comme ´etantles mˆemes.On verra donc souvent un diff´eomorphisme comme un changement de coordonn´ees.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

On dit quef est lisse (de classeC^∞) si elle est de classe C^k pour toutk. Exemple 3

L’applicationGL(n,R)→GL(n,R) d´efinie parM 7→M⁻¹ est lisse (indication : utiliser que det(M)M⁻¹est ´egal `a la transpos´ee de la matrice des cofacteurs).

D´efinition 4

L’applicationf :Rⁿ⊃U →V ⊂R^p est un diff´eomorphisme sif est une bijection,f etf⁻¹ sont partout diff´erentiables.

En g´eom´etrie diff´erentielle on voit deux objets permut´es par un

diff´eomorphismes comme ´etantles mˆemes.On verra donc souvent un diff´eomorphisme comme un changement de coordonn´ees.

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Rappels de calcul diff´erentiel

On dit quef est lisse (de classeC^∞) si elle est de classe C^k pour toutk. Exemple 3

L’applicationGL(n,R)→GL(n,R) d´efinie parM 7→M⁻¹ est lisse (indication : utiliser que det(M)M⁻¹est ´egal `a la transpos´ee de la matrice des cofacteurs).

D´efinition 4

L’applicationf :Rⁿ⊃U→V ⊂R^p est un diff´eomorphisme sif est une bijection,f etf⁻¹ sont partout diff´erentiables.

En g´eom´etrie diff´erentielle on voit deux objets permut´es par un

diff´eomorphismes comme ´etantles mˆemes.On verra donc souvent un diff´eomorphisme comme un changement de coordonn´ees.

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Rappels de calcul diff´erentiel

On dit quef est lisse (de classeC^∞) si elle est de classe C^k pour toutk. Exemple 3

L’applicationGL(n,R)→GL(n,R) d´efinie parM 7→M⁻¹ est lisse (indication : utiliser que det(M)M⁻¹est ´egal `a la transpos´ee de la matrice des cofacteurs).

D´efinition 4

L’applicationf :Rⁿ⊃U→V ⊂R^p est un diff´eomorphisme sif est une bijection,f etf⁻¹ sont partout diff´erentiables.

En g´eom´etrie diff´erentielle on voit deux objets permut´es par un

diff´eomorphismes comme ´etantles mˆemes.On verra donc souvent un diff´eomorphisme comme un changement de coordonn´ees.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Rappels de calcul diff´erentiel

Exercice 1

Soitf :U→V un diff´eomorphisme. Montrer que sif est lisse alorsf⁻¹ l’est aussi. [on commencera par montrer queDf(x)f⁻¹= (Df(x))⁻¹.]

Tout ce chapitre s’appuie sur le r´esultat suivant : Th´eor`eme 5 (Inversion locale)

Soient f :Rⁿ⊃U →Rⁿ une application de classe C^k,1≤k ≤ ∞, et x∈U. Si Dxf est inversible (c.-`a-d. si det(Jxf)6= 0) alors il existe un ouvert V contenant x tel que la restriction de f `a V est un

diff´eomorphisme sur son image (qui est un ouvert).

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Rappels de calcul diff´erentiel

Exercice 1

Soitf :U→V un diff´eomorphisme. Montrer que sif est lisse alorsf⁻¹ l’est aussi. [on commencera par montrer queDf(x)f⁻¹= (Df(x))⁻¹.] Tout ce chapitre s’appuie sur le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 5 (Inversion locale)

Soient f :Rⁿ⊃U →Rⁿ une application de classe C^k,1≤k ≤ ∞, et x∈U. Si Dxf est inversible (c.-`a-d. si det(Jxf)6= 0) alors il existe un ouvert V contenant x tel que la restriction de f `a V est un

diff´eomorphisme sur son image (qui est un ouvert).

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Rappels de calcul diff´erentiel

Exercice 1

Soitf :U→V un diff´eomorphisme. Montrer que sif est lisse alorsf⁻¹ l’est aussi. [on commencera par montrer queDf(x)f⁻¹= (Df(x))⁻¹.] Tout ce chapitre s’appuie sur le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 5 (Inversion locale)

Soient f :Rⁿ⊃U →Rⁿ une application de classe C^k,1≤k ≤ ∞, et x∈U. Si Dxf est inversible (c.-`a-d. si det(Jxf)6= 0) alors il existe un ouvert V contenant x tel que la restriction de f `a V est un

diff´eomorphisme sur son image (qui est un ouvert).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Nappes

D´efinition 6

Une application diff´erentiablef :R^d⊃U →Rⁿ dont la diff´erentielle en tout point est injective est appel´ee uneimmersion.

La conditionf est une immersion s’´ecrit aussi

∀x∈U, ker(Dxf) ={0} ou ∀x∈U,rang(Dxf) =d. Le th´eor`eme du rang nous dit que d≤n.

Sid = 1 cette condition s’´ecrit∀x ∈U,f⁰(x)6= 0.

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Nappes.

Nappes

D´efinition 6

Une application diff´erentiablef :R^d⊃U →Rⁿ dont la diff´erentielle en tout point est injective est appel´ee uneimmersion.

La conditionf est une immersions’´ecrit aussi

∀x∈U, ker(Dxf) ={0}

ou

∀x∈U,rang(Dxf) =d. Le th´eor`eme du rang nous dit que d≤n.

Sid = 1 cette condition s’´ecrit∀x ∈U,f⁰(x)6= 0.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Nappes

D´efinition 6

Une application diff´erentiablef :R^d⊃U →Rⁿ dont la diff´erentielle en tout point est injective est appel´ee uneimmersion.

La conditionf est une immersions’´ecrit aussi

∀x∈U, ker(Dxf) ={0}

ou ∀x∈U,rang(Dxf) =d.

Le th´eor`eme du rang nous dit que d≤n.

Sid = 1 cette condition s’´ecrit∀x ∈U,f⁰(x)6= 0.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Nappes

D´efinition 6

Une application diff´erentiablef :R^d⊃U →Rⁿ dont la diff´erentielle en tout point est injective est appel´ee uneimmersion.

La conditionf est une immersions’´ecrit aussi

∀x∈U, ker(Dxf) ={0}

ou ∀x∈U,rang(Dxf) =d. Le th´eor`eme du rang nous dit que d≤n.

Sid = 1 cette condition s’´ecrit∀x ∈U,f⁰(x)6= 0.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Nappes

D´efinition 6

Une application diff´erentiablef :R^d⊃U →Rⁿ dont la diff´erentielle en tout point est injective est appel´ee uneimmersion.

La conditionf est une immersions’´ecrit aussi

∀x∈U, ker(Dxf) ={0}

ou ∀x∈U,rang(Dxf) =d. Le th´eor`eme du rang nous dit que d≤n.

Sid = 1 cette condition s’´ecrit∀x ∈U,f⁰(x)6= 0.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude :

D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿ de dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`u

U est un ouvert connexe deR^d etf est une immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

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Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

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Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

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Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

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Nappes.

On peut maintenant d´efinir notre futur objet d’´etude : D´efinition 7

1 On appelle nappe param´etr´ee deRⁿde dimension d, tout couple (U,f) o`uU est un ouvert connexe deR^d etf est une

immersion lisse de U dansRⁿ.

Le sous-ensemblef(U) est appel´e lesupportde la nappe.

2 On dit que deux nappes param´etr´ees (U,f) et (V,g) d´efinissent la mˆeme nappe (g´eom´etrique) Σ (ou sont ´equivalents) s’il existe un diff´eomorphisme lisseψde U dansV tel quef =g ◦ψ.

On dit alors que (U,f) et (V,g) sont des syst`emes de coordonn´ees sur (ou des param´etrages de) Σ et queψest un changement de coordonn´ees (ou de param´etrage).

On voit que les nappes de dimension 1 et les arcs r´eguliers sont les mˆemes choses.

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Nappes.

Exemples

Sif0 :R^d⊃U →R^q est une application lisse d´efinie surU⊂R^d, alors son graphe est une nappe g´eom´etrique de dimensiond deR^d+q.

Le graphe def0est l’image de l’applicationf : U→R^d×R^q'R^d+q d´efinie parx 7→(x,f0(x)).

Cette application est clairement lisse et comme pour toutx∈U et tout h∈R^d,

Dxf(h) = (h,Dxf0(h)), on voit queDxf est toujours injective.

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Nappes.

Exemples

Sif0 :R^d⊃U →R^q est une application lisse d´efinie surU⊂R^d, alors son graphe est une nappe g´eom´etrique de dimensiond deR^d+q. Le graphe def0est l’image de l’applicationf : U →R^d×R^q'R^d+q d´efinie parx 7→(x,f0(x)).

Cette application est clairement lisse et comme pour toutx∈U et tout h∈R^d,

Dxf(h) = (h,Dxf0(h)), on voit queDxf est toujours injective.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Exemples

Sif0 :R^d⊃U →R^q est une application lisse d´efinie surU⊂R^d, alors son graphe est une nappe g´eom´etrique de dimensiond deR^d+q. Le graphe def0est l’image de l’applicationf : U →R^d×R^q'R^d+q d´efinie parx 7→(x,f0(x)).

Cette application est clairement lisse et comme pour toutx∈U et tout h∈R^d,

Dxf(h) = (h,Dxf0(h)), on voit queDxf est toujours injective.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe. Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y₁,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) . Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2). On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

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Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x). D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe.

Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y₁,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) . Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2). On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x). D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe.

Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y1,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) .

Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2). On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x). D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe.

Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y1,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) . Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2).

On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x). D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe.

Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y1,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) . Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2). On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On prendU=D2le disque unit´e ouvert deR²etf d´efinie sur U par f(x) = (p

1− kxk²,x). D’apr`es ce qui pr´ec`ede (D₂,f) d´efinit une nappe.

Son support est l’intersection de la sph`ere unit´e et du demi-espace {(y1,y₂,y₃)∈R³|y₁>0}.

Soit

g : V =]−^π₂,^π₂[×]−^π₂,^π₂[ −→ R³

(u,v) 7−→ (cosvcosu,cosvsinu,sinv), et

ψ: V −→ D2

(u,v) 7−→ (cosvsinu,sinv) . Pour voir queψest un diff´eomorphisme on exhibe sa r´eciproque ψ⁻¹(x1,x2) = (arcsin(√^x1

1−x₂²),arcsinx2). On v´erifie quef ◦ψ=g (ou g◦ψ⁻¹=f).

Ce qui montre que (V,g) et (U,f) sont deux nappes param´etr´ees

´equivalentes.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

Les param´etragesf etg d´efinissent des

grilles de coordonn´eesdiff´erentes sur un mˆeme h´emisph`ere.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW de Rⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW de Rⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alors

d≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW de Rⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a,

un ouvertW de Rⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V),

un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W)

tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que

pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea. Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea.

Ainsi l’image d’un petit voisinage dearessemble `a un bout dep-plan. Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea.

Ainsi l’image d’un petit voisinage dea ressemble `a un bout dep-plan.

Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

La raison pour laquelle on impose aux applications d’ˆetre des immersions est la suivante :

Proposition 8

Soientd etndeux entiers non nuls,U un ouvert deR^d,f :U →Rⁿ une application lisse, eta∈U.

SiDaf est injective, alorsd≤net il existe un ouvertV ⊂U contenant a, un ouvertW deRⁿ contenantf(V), un diff´eomorphisme lisse Φ :W →Φ(W) tels que pour toutx ∈V

Φ(f(x₁, . . . ,x_d)) = (x₁, . . . ,x_d,0, . . . ,0).

Autrement dit sif est lisse etD_af est injective, il existe un changement local de coordonn´ees`a l’arriv´eequi rendf lin´eaire au voisinage dea.

Ainsi l’image d’un petit voisinage dea ressemble `a un bout dep-plan.

Plus pr´ecis´ement :

au voisinage def(a), il existe des coordonn´ees dans lesquelles l’image d’un petit voisinage dease lit comme un bout de plan de dimensionp.

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Nappes.

La preuve en image

f

g = Φ⁻¹

Ve

W

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On a d´ej`a vu qued≤n.

La jacobienne def en aposs`eded lignes lin´eairement ind´ependantes,

quitte `a permuter les coordonn´ees de l’espace d’arriv´eeRⁿ (ce qui revient

`a composer `a gauche par un premier diff´eomorphisme), on peut supposer que ce sont lesd premi`eres.

Autrement dit on peut supposer

J_af = A

∗

avec A= ∂fⁱ

∂x_j(a)

1≤i≤d 1≤j≤d

La matriceAest inversible (et carr´ee) !

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On a d´ej`a vu qued≤n.

La jacobienne def en aposs`eded lignes lin´eairement ind´ependantes, quitte `a permuter les coordonn´ees de l’espace d’arriv´eeRⁿ (ce qui revient

`a composer `a gauche par un premier diff´eomorphisme), on peut supposer que ce sont lesd premi`eres.

Autrement dit on peut supposer

J_af = A

∗

avec A= ∂fⁱ

∂x_j(a)

1≤i≤d 1≤j≤d

La matriceAest inversible (et carr´ee) !

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On a d´ej`a vu qued≤n.

La jacobienne def en aposs`eded lignes lin´eairement ind´ependantes, quitte `a permuter les coordonn´ees de l’espace d’arriv´eeRⁿ (ce qui revient

`a composer `a gauche par un premier diff´eomorphisme), on peut supposer que ce sont lesd premi`eres.

Autrement dit on peut supposer

J_af = A

∗

avec A= ∂fⁱ

∂x_j(a)

1≤i≤d 1≤j≤d

La matriceAest inversible (et carr´ee) !

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y)

ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)). Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

,

elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹.

SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve.

Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).

G´eom´etrie diff´erentielle 2018-2019 Chapitre 2 : Nappes et sous vari´et´es

Nappes.

On d´efinit alorsg :U×R^n−d →Rⁿ parg(x,y) =f(x) + (0,y) ou

g(x1, . . . ,xd,y1, . . .y_n−d) = (f¹(x), . . .f^d(x),y¹+f^d+1(x), . . . ,y_n−d+fⁿ(x)).

Cette fonction est lisse et sa jacobienne en ¯a= (a1, . . . ,ap,0, . . . ,0) est de la forme

A 0

∗ I

, elle est donc inversible.

On peut donc appliquer leth´eor`eme d’inversion locale:

Il existe donc un voisinageVe de ¯atel que la restriction deg `a Ve est un diff´eomorphisme lisse surW =g(Ve).

On pose Φ = (g|

Ve)⁻¹. SoitV un ouvert deR^d tel queV × {0} ⊂Ve. Pour toutx∈V,f(x) =g(x,0)

∈W et comme (x,0)∈Ve on a donc Φ(f(x)) = (x,0).