Oscillations, concentration et dispersion pour des équations d'ondes et de Schrödinger

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équations d’ondes et de Schrödinger

Rémi Carles

To cite this version:

Rémi Carles. Oscillations, concentration et dispersion pour des équations d’ondes et de Schrödinger. Mathématiques [math]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2005. �tel-00009350�

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L’HABILITATION `

A DIRIGER DES RECHERCHES

Oscillations, concentration et dispersion pour des ´

equations

d’ondes et de Schr¨

odinger

Soutenue le 27 mai 2005 Apr`es avis des rapporteurs

M. Patrick GÉRARD Professeur, Université de Paris XI M. Jean-Claude SAUT Professeur, Université de Paris XI M. Yoshio TSUTSUMI Professeur, Université de Tohoku Devant la commission d’examen composée de

M. Naoufel BEN ABDALLAH Professeur, Université Toulouse III M. Thierry COLIN Professeur, Université Bordeaux I M. Patrick GÉRARD Professeur, Université de Paris XI M. Emmanuel GRENIER Professeur, ENS Lyon

M. Guy MÉTIVIER Professeur, Université Bordeaux I M. Francis NIER Professeur, Université Rennes I M. Jean-Claude SAUT Professeur, Université Paris XI

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Guy Métivier, Jeffrey Rauch et Patrick Gérard ont eu une importance cruciale dans mes recherches. Guy évidemment pour la thèse, mais aussi pour la suite : qui le connait sait qu’il suffit de discuter cinq minutes avec lui pour apprendre quelques chose, ou simplement y voir plus clair. Jeffrey m’a guidé pendant ma thèse et les mois qui ont suivi, notamment en m’accueillant à Ann Arbor où il m’a appris l’enseignement à l’américaine, et beaucoup apporté en termes de recherche. Patrick a accepté de rapporter sur cette habilitation, et je l’en remercie chaleureusement. C’est surtout pour sa disponibilité, son écoute et ses conseils depuis mes débuts dans la recherche que je tiens à le remercier. Plusieurs articles présentés ici n’auraient pas vu le jour sans lui.

Je ne peux dissocier dans ma gratitude à leur égard les aspects scientifiques et humains. Jean-Claude Saut et Yoshio Tsutsumi ont également accepté de rapporter sur ce travail. Je les en remercie vivement. Naoufel Ben Abdallah, Emmanuel Grenier et Francis Nier me font le plaisir de participer au jury, je leur en suis très reconnaissant. Leurs travaux à tous ne manquent pas d’être une source d’inspiration dans mon travail.

Thierry Colin a rapport´e sur ce travail, au sein du laboratoire. Je l’en remercie, ainsi que pour son soutien `a Bordeaux et tout le reste.

Alors que je n’avais pas encore de poste, Nicolas Burq m’a proposé de faire partie de son ACI. Les discussions qui en ont résulté m’ont beaucoup apporté. En particulier, celles avec les autres membres de l’ACI, Clotilde Fermanian, Isabelle Gallagher et Luc Miller, se sont concrétisées par des articles, et m’ont laissé le souvenir (ainsi que la perspective) de moments très agréables.

Je n’oublie pas les autres coauteurs, avec qui j’ai pris plaisir `a travailler : Jean-Fran¸cois, Dietrich, Sahbi, David, Peter, Norbert, Laurent, Yoshihisa, Christof et Hans Peter.

Depuis ma thèse, j’ai visité un certain nombre de laboratoires. Un peu trop à mon goût : cet excès de mobilité est dû à des circonstances sur lesquelles je n’ai malheureusement pas prise. À chaque séjour, j’ai été très bien accueilli. Je souhaite remercier à ce titre les institutions : l’Université du Michigan, la SISSA, l’antenne de Bretagne de l’ENS Cachan, l’IRMAR, le MAB bien sûr, l’Université d’Osaka, l’Université Libre de Bruxelles, l’Université et l’Institut Supérieur Technique de Lisbonne, et les Instituts Schrödinger et Pauli de Vienne. Et aussi des personnes n’apparaissant pas encore sur cette page : Alberto Bressan, Michel Pierre, Nicolas Lerner, Rémi Abgrall, Alain Bachelot, Jean-Luc Joly, Nakao Hayashi, Paul Godin, João Paulo Dias et Jorge Drumond Silva.

Même après ma thèse, Fran¸cois Castella n’a cessé de me poser des questions embaras-santes. Qu’il en soit remercié, et qu’il continue !

L’environnement scientifique que j’ai rencontré n’aurait pas été le même sans le GDR EAPQ. Ainsi que beaucoup d’autres, je dois à Éric Lombardi d’avoir pu à la fois faire

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La liste pourrait s’allonger encore des gens que j’ai pris plaisir à côtoyer. J’espère que ceux auxquels je pense ne seront pas froissés de mon souhait de concision.

Enfin, beaucoup de choses auraient été complètement différentes sans Sophie (y compris mon statut professionnel). Plus simples parfois, mais sans aucun doute beaucoup plus fades.

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Introduction. . . 1

1. Focalisation en un point pour des ´equations semilin´eaires. . . 5

1.1. ´Equation de Schr¨odinger. . . 6

1.2. ´Equation des ondes. . . 13

1.3. Une g´en´eralisation. . . 20

2. Rˆole des oscillations quadratiques pour NLS. . . 22

2.1. Le cas surcritique L2 _{. . . 23}

2.2. Le cas critique L2. . . 25

3. ´Equation de Schr¨odinger avec potentiel et perturbation. . . 27

3.1. Oscillateur harmonique et perturbation non lin´eaire. . . 28

3.2. Potentiel polynomial et perturbation non lin´eaire. . . 32

3.3. Potentiel r´epulsif et perturbation lin´eaire : scattering. . . 37

3.4. Ondes de Bloch faiblement non lin´eaires. . . 39

4. Travaux class´es par th`eme. . . 41

Focalisation en un point pour des ´equations semilin´eaires. . . 41

Rˆole des oscillations quadratiques dans NLS. . . 42

´ Equations de Schr¨odinger avec potentiel et perturbation. . . 42

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Les travaux présentés ici s’orientent principalement autour de trois axes : le phénomène de focalisation en un point pour des équations semilinéaires (essentiellement, de Schr¨ odin-ger et des ondes), le rôle des oscillations quadratiques pour l’équation de Schrödinger non linéaire, et l’équation de Schrödinger avec potentiel et perturbation linéaire ou non-linéaire. Le premier aspect concerne directement le contenu de ma thèse, et a été poursuivi pendant les trois années qui ont suivi. Il s’agit principalement de justifier et préciser sur des exemples les calculs formels exposés dans [42]. Reprenons l’équation principalement étudiée dans ma thèse :

(1) iε∂tuε+

1 2ε

2_∆uε_{= ε}α

|uε|2σuε_{, x ∈ R}n. Des donn´ees initiales de la forme

(2) uε_t=0= f (x)e−i|x|22ε

donnent lieu, dans la limite ε → 0 à un phénomène de focalisation à l’origine à l’instant t = 1. Dans [42], les auteurs distinguent deux régimes : le régime type optique géométrique (en dehors de toute caustique), et le régime de caustique. Le premier correspond à la méthode BKW usuelle, qui consiste à chercher une solution sous forme de série formelle (dans un premier temps),

uε_{(t, x) ∼}

ε→0ε

p_eiφ(t,x)_ε _u(0)_{(t, x) + ε}κ_u(1)_{(t, x) + ε}2κ_u(2)_{(t, x) + . . .}_,

où les paramètres p et κ sont ajustés selon le problème étudié et les phénomènes qu’on souhaite mettre en évidence (voir par exemple [72], [16]). Lorsque la phase initiale φ(0, x) (qui vaut −|x|2/2 dans notre exemple) n’est pas plane, φ vérifie une équation eikonale développant en général des singularités en temps fini. Ceci correspond à l’apparition d’une caustique, près de laquelle les termes du développement BKW (non seulement φ, mais aussi u(0)_{, u}(1)_{, etc.) deviennent singuliers : l’approche doit être modifiée. Dans notre cas,}

l’´equation eikonale s’´ecrit

∂tφ +

1 2|∇xφ|

2 _{= 0 ,}

et on vérifie qu’avec la donnée initiale envisagée ici, on a exactement φ(t, x) = |x|

2

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Il y a bien formation d’une singularité à l’instant t = 1, et on peut calculer également, avec p = 0 et α > 1, u(0)(t, x) = 1 (1 − t)n/2f x 1 − t .

Dans notre exemple, le phénomène de caustique se réduit à une concentration en un point, l’origine. Pour une équation linéaire, des approximations de la solution qui soient valides `

a la fois hors et près de la caustique ont été obtenues à l’aide d’intégrales oscillantes ([59, 20]). Dans le cas d’équations non linéaires, un nouveau paramètre doit être pris en compte : la taille de la solution, amplifiée, conservée, ou atténuée par les non-linéarités. Hunter et Keller [42] ont suggéré par des calculs formels qu’à chaque régime (BKW en dehors de la caustique, et régime spécifique près de la caustique) est associée une notion d’indice critique concernant la taille de la non-linéarité (ou de la solution, c’est équivalent par changement d’inconnue dans le cas d’une non-linéarité homogène). Pour (1), ceci se traduit par le fait que α = 1 est une valeur critique pour l’optique géométrique, alors que le cas critique près du point focal correspond à α = nσ. Si α > 1 (cas sous-critique), alors la non-linéarité est négligeable en dehors de la caustique (réduite à un point dans notre cas), et si α > nσ, les effets non-linéaires sont négligeables au premier ordre dans la limite ε → 0 près de la caustique. Dans [C00a], on décrit les phénomènes sous-critiques et critiques correspondants. Le phénomène le plus marquant est que pour α = nσ > 1, le seul effet non-linéaire au premier ordre est décrit par un changement de l’amplitude de la solution uε à la traversée du point focal, mesuré par un opérateur de scattering. Un tel résultat est à rapprocher de [3].

Les généralisations données après ma thèse concernent la focalisation sur une droite pour le même type d’équation [C00b], une amélioration d’un cas traité de fa¸con partielle dans ma thèse [C01a], et l’étude d’équations des ondes semilinéaires. Ce dernier aspect apparaˆıt dans ma thèse [C98] dans le cas d’ondes radiales oscillantes en dimension trois d’espace. Au cours de mon séjour à Ann Arbor, nous avons commencé une collaboration avec Jeffrey Rauch ([CR02, CR04a, CR04b]), où on remplace le caractère oscillant par des impulsions courtes, techniquement plus souples. Dans [CR02], nous précisons le résultat de [C98] dans le cas d’impulsions courtes. Dans [CR04a], nous construisons un opérateur de scattering, pour montrer que comme dans le cas de l’équation de Schrödinger évoqué ci-dessus, cet opérateur sert à décrire les effets non-linéaires de caustique. En outre, nous décrivons une propriété qualitative (élargissement des impulsions) de cet opérateur. Finalement, dans [CR04b], nous traitons essentiellement des cas où le caractère dissipatif (resp. accrétif) de l’équation d’ondes donne lieu à une absorption (resp. intensification arbitraire) des impulsions à l’approche du foyer. Avec David Lannes, nous avons étudié un cas laissé ouvert dans [CR04b], celui d’équation conservative ([CL03]), puis généralisé des phénomènes mis en évidence dans cette série de papiers au cas d’équations semilinéaires dispersives [CL-p].

Le second axe de recherche analyse une question apparaissant à la lecture de [C00a], suggérée par la comparaison avec [31, 3] : pour des données de la forme (2), on a montré que le cas α = nσ > 1 correspond à des effets non-linéaires importants uniquement près du point focal. Réciproquement, si α = nσ > 1, pour quelles données initiales la

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non-linéarités a-t-elle un effet au premier ordre ? Des réponses à cette question appa-raissent dans [CFG03] pour le cas σ > _n2, et [CK-p] pour le cas σ = _n2. Pour σ > 2_n, on montre que les données de la forme (2) sont essentiellement les seules à pouvoir “allumer” la non-linéarité, qui se manifeste alors comme dans [C00a]. Pour σ = _n2, l’invariance d’échelle conduit à prendre en compte une plus grande gamme de données initiales. L’approche suivie pour montrer ces résultats est très semblable aux méthodes employées dans [31, 3]. La première étape consiste à établir un critère de linéarisabilité, portant sur la solution d’une équation linéaire, qui permette de décider si la non-linéarité a un effet au premier ordre dans l’équation non-linéaire. Un tel résultat se situe dans l’esprit de [31]. L’étape suivante consiste à décrire les données initiales mettant en défaut le critère de linéarisablilité. Cette étape fait appel à la notion de décomposition en profils, introduite dans [32] et utilisée dans [3] (puis notamment [52, 27, 26]). Techniquement, la principale différence entre [CFG03] et [CK-p] est la suivante : dans [CFG03], le critère de linéarisabilité est établi à l’aide des seules conservations (masse et énergie) et inégalités de Strichartz, alors que dans [CK-p], la décomposition en profils est utilisée dès cette étape. Dans les deux cas, nous mettons en évidence un principe de superposition non-linéaire.

Le troisième thème est l’étude de l’équation de Schrödinger avec potentiel et perturba-tion. Dans le cas de perturbation non-linéaire, de telles équations apparaissent en physique, notamment dans l’étude de la condensation de Bose–Einstein. Insistons plutôt sur l’aspect mathématique. Beaucoup de travaux existent sur l’équation de Schrödinger non-linéaire (renvoyons à [13] pour une présentation synthétique récente). Parallèlement, l’étude de l’équation de Schrödinger linéaire avec potentiel a mobilisé beaucoup d’efforts et abouti à de nombreux résultats. Partant d’une culture plutôt non-linéaire, j’ai essayé de comprendre quels résultats pouvaient s’adapter dans le cas avec potentiel. Il s’avère que lorsque le po-tentiel est polynomial de degré au plus deux, l’adaptation se fait de fa¸con assez souple. La remarque fondamentale est que dans ce cas, un outil classique de l’analyse linéaire (dérivées de Heisenberg) se trouve bien adapté aux problèmes non-linéaires : opérateurs pseudo-différentiels dans le cas général, les dérivées de Heisenberg sont dans ce cas des opérateurs différentiels se comportant à plusieurs égards comme le gradient. Signalons comme exemple marquant celui de l’équation ([C03b])

(3) i∂tu + 1 2∆u = −ω 2|x|2 2 u + λ|u| 2σ_{u ; u} t=0= u0, avec ω, σ > 0, λ ∈ R, x ∈ Rn _{et u}

0 dans la classe de Schwartz pour fixer les id´ees. Il est

facile d’établir l’existence et l’unicité de solutions locales en temps, grâce aux inégalités de Strichartz. Une technique habituelle pour globaliser consiste à utiliser des estimations a priori fournies par les conservations de la masse et de l’énergie. Dans le cas de (3), celles-ci s’écrivent : Masse : ku(t)kL2 = ku0kL2 , ´ Energie : 1 2k∇xu(t)k 2 L2 − ω2 2 kxu(t)k 2 L2 + λ σ + 1ku(t)k 2σ+2 L2σ+2 = Cste .

Dans le cas sans potentiel (ω = 0), si λ ≥ 0 (non-linéarité répulsive), on obtient une estimation a priori H1, d’où on déduit l’existence globale pour σ < _n−22 , hypothèse

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permettant d’utiliser les injections de Sobolev(1)_{. Par contre, dans le cas ω 6= 0, la} conservation de l’énergie ne permet pas de conclure, quel que soit le signe de λ. Grâce aux opérateurs évoqués plus haut, nous montrons qu’en fait la présence du potentiel −ω2|x|2 permet de contrarier le phénomène d’explosion en temps fini : on a existence globale pour λ ≥ 0, et pour λ < 0 dans des cas où on a explosion en temps fini quand ω = 0. Dans l’exemple ci-dessus, le rôle du potentiel peut être interprété comme celui d’un accélérateur : dans le cas “habituel” (ω = λ = 0), la vitesse asymptotique des particules en grand temps est de l’ordre de t. Dans le cas linéaire avec un tel potentiel (λ = 0, ω > 0), la vitesse asymptotique est de l’ordre de eωt. Il s’ensuit par exemple qu’en terme de théorie du scattering, toute non-linéarité de type puissance sera une perturbation à courte portée, ce qui n’est pas le cas sans potentiel (ω = 0, voir [5, 78, 79, 13]). Motivés par cet exemple, nous avons étudié avec Jean-Fran¸cois Bony, Dietrich Häfner et Laurent Michel [BCHM05] le cas d’une perturbation linéaire du hamiltonien −∆ − |x|2_{, et généralisé}

au cas de −∆ − |x|α, pour 0 < α ≤ 2. Comme ci-dessus, la difficulté mathématique principale tient au fait que le hamiltonien de référence n’est pas elliptique ; nous montrons que le potentiel −|x|α accélère les “particules” (nous ne prétendons nullement couvrir un modèle physique), et modifie la notion courte/longue portée. Ceci se montre en adaptant la théorie de Mourre ([63, 17, 28]).

Le dernier paragraphe évoque l’étude d’une équation de Schrödinger en régime semi-classique, en présence d’un potentiel périodique en espace, de période de l’ordre du pa-ramètre semi-classique, d’un potentiel confinant, et d’une perturbation (faiblement) non linéaire : (4) iε∂tuε+1 2ε 2_∆uε_{= V} Γx ε uε+ U (x)uε_{+ λ(t)ε|u}ε_|2σuε,

où VΓ est périodique le long d’un réseau Γ, U est sous-quadratique au sens large (penser à

un oscillateur harmonique, isotrope ou non), λ est une fonction régulière, et 0 < σ < _n−22 . Dans le cas linéaire (λ ≡ 0), on sait dire beaucoup de choses sur cette équation (voir par exemple [4, 30, 33, 70, 80]). L’étude d’une perturbation non linéaire est motivée par la physique (condensation de Bose–Einstein). Dans [CMSp04], nous avons étudié une asymp-totique semi-classique pour des données bien préparées, avant formation de caustique.

(1)_{Si σ <} 2

n, on a existence globale L

(12)

Focalisation en un point pour des ´

equations semilin´

eaires

L’article fondateur de l’étude d’oscillations par la méthode de l’optique géométrique est dû à Lax ([56]) : soit L(y, ∂y) un opérateur différentiel matriciel, où y = (t, x) ∈ R1+n. On

consid`ere le probl`eme de Cauchy

(1.1) L(y, ∂y)u = 0 ; u|t=0 = f (x)eiϕ(x)/ε,

où ε est un paramètre tendant vers zéro : physiquement, ε peut représenter une longueur d’onde, la constante de Planck, une viscosité, etc. La méthode de Lax consiste à cher-cher, tout d’abord formellement, une solution de (1.1) sous forme d’un développement asymptotique BKW

u(t, x) ∼_ε→0eiφ(t,x)/ε(u0(t, x) + εu1(t, x) + . . .) ,

puis à justifier, par des arguments de stabilité, ces calculs formels. On peut lire à ce sujet l’exposé introductif de J. Rauch ([72]). La phase φ est solution de l’équation eikonale :

det L(y, dφ) = 0 ; φ_|t=0 = ϕ. Ainsi, pour l’´equation des ondes, on trouve

(∂tφ)2 = |∇xφ|2,

et pour l’´equation de Schr¨odinger, ∂tφ +

1 2|∇xφ|

2 _{= 0.}

L’équation eikonale est résolue, localement en temps en général, par la méthode de Hamilton-Jacobi. A priori, la phase φ n’est pas définie globalement en temps et il apparait une caustique.

Dans le cas d’une équation linéaire, on sait complètement décrire les phénomènes qui se produisent au niveau de la caustique, [59, 20]. L’influence de la caustique consiste au premier ordre en l’apparition d’un déphasage à la traversée de la caustique, l’indice de Maslov. Dans [42], les auteurs appliquent formellement l’ansatz de Ludwig pour des lois de conservation. Il ressort de cette approche que selon l’échelle entre l’amplitude et la longueur d’onde de la solution, il convient de distinguer d’une part la nature de la propagation, et d’autre part, la nature de l’influence de la caustique. La nature de la propagation (linéaire ou non linéaire) est celle qui est déterminée par la méthode BKW. En qualifiant l’influence de la caustique de linéaire, les auteurs veulent dire que les effets non linéaires cumulés au voisinage de la caustique sont négligeables. Au contraire, si les

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effets non linéaires se ressentent au premier ordre à la traversée de caustique, alors on parle de “caustique non linéaire”.

L’étude des phénomènes de caustique pour des équations non linéaires a également donné lieu à plusieurs travaux de Joly, Métivier et Rauch ([43, 44, 45, 46, 49], voir aussi [47] et [48] pour une présentation générale). Plusieurs questions restent toutefois en suspens. Celles auxquelles nous avons apporté quelques réponses traitent en particulier d’équations conservatives (dont le cas modèle étudié est l’équation de Schrödinger) et l’obtention d’estimations L∞(ceci est réalisé en particulier pour des ondes ultra-courtes). Nous avons traité essentiellement le cas où la caustique est réduite à un point, et justifié (dans certains cas, précisé, en décrivant un phénomène non-linéaire au point focal) l’heuristique de [42].

1.1. ´Equation de Schr¨odinger

1.1.1. Focalisation en un point. — Soit l’´equation de Schr¨odinger i∂tv +

1

2∆v = 0 ; v|t=0= e

−i|x|2₂ _;

(t, x) ∈ R+× Rn.

Par analyse de Fourier, on constate qu’à l’instant t = 1, la solution v vaut la masse de Dirac à l’origine. Il y a apparition d’une singularité à cause des oscillations quadratiques (voir aussi [74]). Un phénomène analogue se produit dans la limite ε → 0 pour

(1.2) iε∂tvε+ 1 2ε 2_∆vε_{= 0 ;} _vε |t=0 = f (x)e−i |x|2 2ε ,

avec f par exemple dans la classe de Schwartz. Le noyau de l’opérateur de Schrödinger étant explicite, le théorème de la phase stationnaire permet d’établir

(1.3) vε_{(t, x) ∼} ε→0                  1 (1 − t)n/2f x 1 − t ei |x|2 2ε(t−1) _{si t < 1 ,} 1 εn/2fb x ε si t ≈ 1 , e−inπ2 (t − 1)n/2f x 1 − t ei2ε(t−1)|x|2 _{si t > 1 ,} où la transformée de Fourier est définie par

(1.4) f (ξ) =b 1

(2π)n/2

Z

Rn

e−ix·ξf (x)dx .

Dans ce cas précis, l’indice de Maslov vaut −nπ2. Dans ma thèse, j’ai considéré la

pertur-bation semilinéaire de l’équation précédente, iε∂tuε+

1 2ε

2_∆uε

= |uε|2σuε ; uε_|t=0= εpf (x)e−i|x|22ε .

Le signe opposé devant le terme non-linéaire (non-linéarité attractive) a également été considéré, mais de fa¸con suffisamment marginale pour que nous nous restreignions au cas répulsif ci-dessus. La forme de la donnée initiale assure qu’il y a encore formation d’un point focal à l’origine à l’instant t = 1. Les calculs de Hunter et Keller suggèrent que des notions d’indice critique sont associées à σ et p (qui mesure la taille des données initiales), pour la propagation en dehors de t = 1 d’une part, et près de t = 1 d’autre part.

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Ramenons-nous `_{a des donn´ees initiales de taille O(1), en posant u}ε= ε−puε : (1.5) iε∂tuε+ 1 2ε 2_∆uε_{= ε}α_|uε_|2σ_uε _; _uε |t=0 = f (x)e−i |x|2 2ε ,

c’est-`a-dire (1) avec α = 2σp. Des raisonnements semblables `a ceux de [42] conduisent aux distinctions suivantes (voir [C00a]) :

α > nσ α = nσ

α > 1 foyer linéaire foyer non linéaire optique linéaire optique linéaire α = 1 foyer linéaire foyer non linéaire

optique non lin´eaire optique non lin´eaire

Dans [C00a], les quatre cas ont été étudiés, celui d’un foyer non linéaire avec régime d’optique non linéaire se faisant sur un modèle intermédiaire de deux équations linéaires couplées non-linéairement, en dimension un d’espace :

(1.6)      iε∂tvε+ 1 2ε 2_∂2 xvε= 0 iε∂tuε+1 2ε 2_∂2 xuε= ε|vε|2uε.

Le modèle complet de l’équation non linéaire cubique a été étudié dans [C01a].

La présentation qui suit ne correspond pas à celle de [C00a, C01a], mais plutôt à une vue d’ensemble ultérieure, utilisée notamment dans [C03a], [CFG03] et [CMSp04].

Un premier réflexe pour étudier la limite semi-classique dans (1) consiste à établir des inégalités d’énergie. Pour contrôler les termes non linéaires, on peut alors penser aux inégalités de Gagliardo–Nirenberg,

(1.7) _kukLp .kuk1−δ

L2 k∇ukδ_L2.

(Nous ne précisons pas les valeurs autorisées pour p, ni la valeur de δ(p), ceci n’apportant rien à la présentation.) Dans le cas de fonctions rapidement oscillantes, la dérivation ci-dessus s’avère d’un coût élevé : on ne pourrait pas espérer mieux en général que

kuε(t)kLp .kuε(t)k1−δ

L2 k∇xuε(t)kδ_L2 = Cste × O

ε−δ.

Considérons dans un premier temps le cas d’un foyer linéaire avec optique linéaire. L’heu-ristique suggère que la solution de (1.2) fournit une approximation uniforme. D’après (1.3) (que l’on peut énoncer plus précisément),

kvε(t)kLp = O

|t − 1|−δ= Oη(1) pour |t − 1| ≥ η > 0 .

Ainsi, l’estimation donnée par les inégalités de Gagliardo–Nirenberg s’avère loin d’être optimale en terme de puissances de ε. Pour palier à ce défaut, on pourrait suivre l’ap-proche introduite par O. Guès ([38]) : en construisant un développement asymptotique suffisamment poussé, la taille du reste peut être affaiblie par les inégalités de Gagliardo– Nirenberg, mais rester assez petite pour justifier le développement (voir aussi [72]). En présence de caustique, il semble délicat de chercher plusieurs termes d’un développement asymptotique : négligeable au premier ordre, la non-linéarité finit par se manifester aux

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ordres suivants, et à moins d’imposer de nouvelles conditions à α (qui ne permettraient plus de justifier le tableau ci-dessus), on serait confronté à de nouveaux problèmes.

L’approche suivie dans [C00a] consiste à profiter autant que possible de la connaissance géométrique de la propagation (voir figure 1). Dans le cas de (1.2), on connait précisément

1 t

x

Figure 1. _{Rayons de l’optique g´eom´etrique : focalisation en un point.}

les oscillations de la solution (1.3). A priori, seules ces oscillations sont responsables du défaut de précision dans les inégalités de Gagliardo–Nirenberg ci-dessus. Commen¸cons donc par compenser ces oscillations avant de prendre le gradient, en considérant

w 7→ ∇x

e−i2ε(t−1)|x|2 _w

.

Par ailleurs, la vitesse de concentration est connue dans le cas lin´eaire (1.3) : elle est de l’ordre de |t − 1| en dehors du point focal. Introduisons alors

(1.8) Jε_{(t) = i(t − 1)e}i2ε(t−1)|x|2 _∇ x e−i2ε(t−1)|x|2 = x ε + i(t − 1)∇x.

Cet opérateur n’est autre que l’opérateur de Galilée x + it∇x, introduit dans [34], modifié

par le changement d’´echelle

T = t − 1

ε ; X =

x ε·

Cet opérateur permet alors de justifier l’approximation de uε par vε en dehors du point focal. Près du point focal, les inégalités de Gagliardo–Nirenberg ci-dessus deviennent essen-tiellement optimales, et on justifie alors globalement (localement uniformément en temps en général) l’approximation de uε _{par v}ε_{, en considérant un système fermé constitué `}_a

l’aide des op´erateurs Id, ε∇x et x_ε + i(t − 1)∇x.

Avant d’expliquer les autres cas du tableau, énon¸cons un résultat précis. Généralisant l’écriture de [20] au cas non linéaire, suivant ainsi l’approche de [49], écrivons

uε(t, x) = 1 εn/2 Z e−it−12ε ξ2+i x·ξ ε a_ε(t, ξ) dξ (2π)n.

Cette écriture a toujours un sens car à t fixé, l’intégrale oscillante ci-dessus définit une isométrie de L2(Rn). Dans le cas linéaire, on a, au premier ordre, ∂ta = 0.

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Passant à la limite formellement dans l’équation vérifiée par aε, on trouve dans le cas α = 1 : (1.9) i∂ta(t, ξ) = 1 |2π(1 − t)|nβ/2|a| β_{a(t, ξ).}

Introduisons eaε d´efini par

aε(t, ξ) = eig(t,ξ)eaε(t, ξ), o`u g est solution de ∂tg(t, ξ) = 1 |1 − t|nβ/2|f(−ξ)| β _; _g |t=0 = 0 .

Alors (1.9) devient ∂tea = 0. Utilisant la convention g ≡ 0 si α > 1, ´ecrivons plus

g´en´eralement : uε(t, x) = 1 εn/2 Z e−it−12εξ2+i x·ξ ε +ig(t,ξ)ea_ε(t, ξ) dξ (2π)n.

Une fois pour toute, notons Σ = H1_{∩ F(H}1), o`_{u F est la transform´ee de Fourier} Ff(ξ) = (2π)−n/2

Z

e−ix·ξf (x)dx .

Pour ne pas alourdir les hypoth`eses, consid´erons le cas unidimensionnel :

Théorème 1.1 _{([C00a]). — Supposons n = 1. Soient σ > 0 et α ≥ 1. La donnée initiale} de eaε converge : eaε(0, ξ) −→ ε→0 r 2π i f (−ξ) =: a0(ξ) dans Σ. 1. Pour t < 1, on a eaε(t, ξ) −→ ε→0a0(ξ) dans Σ. 2. Pour t > 1, eaε(t, ξ) −→

ε→0Za0(ξ) dans Σ, o`u Z est d´efini par :

– Z = I pour un foyer lin´eaire (α > σ).

– Z = F ◦ S ◦ F−1 pour une optique linéaire (α > 1) et un foyer non linéaire (α = σ), où S est l’opérateur de scattering (lorsque celui-ci agit de Σ dans Σ) associé à

(1.10) i∂tψ +

1

2∆ψ = |ψ|

2σ_{ψ .}

Dans le cas α = 1 > σ, seul le terme de phase g apparait comme nouveau : il prend en compte les effets non linéaires en dehors du point focal (ces effets sont négligeables au point focal). Ces effets sont faiblement non linéaires, dans la mesure où ils n’affectent pas la géométrie de la propagation (ils n’apparaissent pas au niveau de l’équation eikonale), mais seulement l’équation de transport du profil principal.

Considérons maintenant le cas d’un foyer non linéaire, α = nσ (on a le même type de résultat que ci-dessus en toute dimension, voir [C00a]). Pour α > 1, le seul effet non linéaire au premier ordre est le saut du symbole lagrangien aε (= eaε car α > 1) au point

focal, mesuré par l’opérateur de scattering associé à (1.10). Esquissons une démonstration. Définissons ψε par (1.11) uε(t, x) = 1 εn/2ψ ε t − 1 ε , xε .

(17)

On a alors i∂tψε+ 1 2∆ψ ε = |ψε|2σψε ; ψε t=−1 ε = εn/2f (εx)e−iε|x|22 . ´

Eclaircissons le caract`ere surprenant de la donn´ee de Cauchy. Notons U0(t) = ei

t 2∆ le groupe associé à l’équation de Schrödinger libre. On vérifie qu’on a la convergence

(1.12) U0(−t)ψε(t) t=−1_ε−→ε→0ψ−:= e −inπ₄_{f , dans Σ .}_b

Utilisant les propriétés de l’équation (1.10) (existence d’opérateurs d’ondes, complétude asymptotique et caractère globalement bien posé pour certaines valeurs de σ, voir par exemple [34, 15]), on a

kψε− ψkL∞_(R_t_;Σ)−→

ε→00 ,

o`_{u ψ est l’unique solution du probl`eme de Cauchy en −∞ :} i∂tψ + 1 2∆ψ = |ψ| 2σ_ψ _; _U 0(−t)ψε(t) t=−∞= ψ−.

La théorie du scattering (voir par exemple [34, 15, 13]) permet en outre de montrer l’exis-tence d’une fonction ψ+=: Sψ− (ce qui définit l’opérateur de scattering S) telle que

kU0(−t)ψ(t) − ψ+kΣ −→ t→+∞0 .

Le résultat du théorème 1.1 suit alors facilement. En particulier, on met en évidence l’existence d’un profil de caustique : pour t proche de 1,

uε_{(t, x) ∼} ε→0 1 εn/2ψ t − 1 ε , xε . On peut aussi écrire une asymptotique à la manière de (1.3) :

uε_{(t, x) ∼} ε→0                  einπ4 (1 − t)n/2F −1_ψ − x 1 − t ei2ε(t−1)|x|2 _{si t < 1 ,} 1 εn/2W−ψ− x ε

si t ≈ 1 , o`u W−: ψ−7→ ψ|t=0 est l’op´erateur d’onde,

e−inπ4 (t − 1)n/2F −1_Sψ − x 1 − t ei2ε(t−1)|x|2 _{si t > 1 ,}

Ce type de résultat (profil de concentration et traversée de point focal décrite par un opérateur de scattering) est à rapprocher de [3].

Dans le cas n = 1 (le cas n ≥ 2 n’est pas étudié), α = nσ = 1, on ne peut plus utiliser directement un tel argument. En effet, l’opérateur de scattering S n’est pas défini : on ne peut plus comparer la dynamique non linéaire (1.10) et la dynamique libre donnée par U0 ([5, 78, 79, 13]). La construction d’opérateurs d’ondes modifiés pour prendre en

compte les effets à longue portée est due initialement à T. Ozawa [69], et une notion de complétude asymptotique est due à N. Hayashi et P. Naumkin [40]. Dans les deux travaux, une hypothèse de petitesse sur les données (état asymptotique pour [69], donnée de Cauchy pour [40]) est nécessaire. Par contre, si grosso modo les résultats de [69] permettent de passer du temps t = −∞ au temps t = 0, et les résultats de [40] du temps t = 0 au temps

(18)

t = +∞, on ne peut pas recoller ces résultats, en raison d’un écart de régularité entre la donnée à t = 0 dans [69] et celle de [40].

En reprenant les calculs formels de [C00a] menant à la définition de g ci-dessus, et par l’étude de certaines intégrales oscillantes et de leur approximation, je redémontre dans [C01a] le résultat d’Ozawa, en précisant la régularité de la donnée à t = 0, ce qui permet de recoller avec les résultats de [40].

En prévision de la présence d’un opérateur de diffusion à longue portée, nous modifions la donnée initiale de (1.5) pour considérer

Th´eor`eme 1.2 ([C01a]). — Supposons n = α = σ = 1.

1. On peut définir un opérateur de scattering modifié pour (1.10), pour des données dans F(H), où :

H = {f ∈ H3(R); xf ∈ H2(R)} .

Plus pr´ecise ´ment, il existe δ > 0 tel qu’`a toute ψ− ∈ F(H) avec kψ−kΣ < δ, on peut

associer ψ ∈ C(Rt, Σ) solution de (1.10), et ψ+∈ L2, telles que

(1.14) ψ(t) _∼

t→±∞e iS±_(t)

U0(t)ψ± dans L2,

o`u S± _{sont d´efinis par S}±_{(t, x) := λ}

cψ±x

t

2log |t|. Notons S : ψ−7→ ψ+.

2. Soit f ∈ H, avec kfkΣ suffisamment petite. Soit uε la solution de (1.13) (qui est dans

C(R; L2)). On a alors l’asymptotique suivante dans L2 : – si t < 1, alors : uε_{(t, x) ∼} ε→0 eiπ4 √ 1 − te i x2 2ε(t−1)+iλ ˛ ˛ ˛ cψ−(_t−1x ) ˛ ˛ ˛2log1−t ε _ψc − x t − 1 ; – si t > 1, alors : uε_{(t, x) ∼} ε→0 e−iπ4 √ t − 1e i_2ε(t−1)x2 +iλ˛˛˛ cψ+(_t−1x ) ˛ ˛ ˛2logt−1_ε _c ψ+ x t − 1 , o`u ψ− est donn´ee par (1.12) et ψ+= Sψ−.

Remarque 1.3. — Des facteurs 2π apparaissent dans [C01a] et pas ici, en raison de diff´erentes conventions pour la transform´ee de Fourier.

Le déphasage de −π/2 entre les deux asymptotiques (avant et après focalisation) est classique : c’est un phénomène linéaire (indice de Maslov, [20]). Le changement d’ampli-tude, mesuré par un opérateur de scattering, procède comme dans le théorème 1.1. Le phénomène nouveau ici est le déphasage

λ ψc+ x t − 1 2 logt − 1 ε − λ ψc− x t − 1 2 logt − 1 ε ,

qui est “fortement non linéaire” et dépend de ε. Suivant une idée de Guy Métivier, nous avons qualifié ce déphasage d’aléatoire.

(19)

1.1.2. Mesures de Wigner. — Une conséquence directe du théorème 1.1 est que l’on peut calculer explicitement les mesures de Wigner associées à uε_{, puisqu’on a des}

conver-gences fortes dans L2. Rappelons que la mesure de Wigner d’une famille (uε(t))0<ε≤1

born´ee dans L2_{(R) est la limite faible (`}_{a extraction d’une sous-suite pr`es) de sa}

trans-form´ee de Wigner, (1.15) Wε(uε)(t, x, ξ) = Z uε_{t, x −}vε 2 uε_{t, x +}vε 2 eiξvdv 2π ·

Cette limite est une mesure de Radon positive µ, son étude s’est révélée efficace pour des problèmes linéaires semi-classiques ou d’homogénéisation (voir par exemple [58, 33]). Dans le résultat qui suit, nous notons µ− (resp. µ+) la mesure de Wigner associé à uε avant

(resp. apr`es) la focalisation `a t = 1.

Théorème 1.4 ([C01b]). — Soit n = 1. Considérons les problèmes de Cauchy (1.5), pour α ≥ 1, σ > 0, et (1.13) dans le cas α = 1 = σ.

1. Si α > σ, on a µ−_{= µ}+_{, donn´ee par} µ−(t, x, ξ) = 1 |t − 1| f x 1 − t 2 dx ⊗ δξ= x t−1 .

2. Si α = σ ≥ 1, la mesure avant focalisation est encore donnée par µ−, mais la mesure µ+ _au-del`_{a de la caustique est décrite par un opérateur de diffusion, via la formule}

µ+(t, x, ξ) = 1 |t − 1| Zf x 1 − t 2 dx ⊗ δξ= x t−1, avec Z = F ◦ S ◦ F −1_. En particulier, lim t→1−µ − (t, x, ξ) = δ(x) ⊗ |f(ξ)|2dξ ; lim t→1+µ + (t, x, ξ) = δ(x) ⊗ |Zf(ξ)|2dξ.

3. Supposons α = σ > 1. Il existe deux familles (uε_j)0<ε≤1, j = 1, 2, solutions de (1.5)

(ayant des profils initiaux fj diff´erents), avec des mesures de Wigner µ±_j avant et apr`es

la caustique telles que µ−₁ = µ−₂ et µ+₁ _{6= µ}+₂.

Les deux premiers points, conséquences immédiates des théorèmes 1.1 et 1.2, montrent que dans le cas α = 1 (optique - faiblement - non linéaire), la mesure de Wigner ne voit pas l’effet non linéaire en dehors du point focal. C’est parce que celui-ci se manifeste à travers un terme de phase oscillant `_{a l’échelle O(1).}

Le dernier point montre que dans ce contexte, le problème de la traversée du point focal est un problème mal posé. Il découle d’une étude de l’opérateur de scattering S près de l’origine, à la manière de [31].

1.1.3. Focalisation sur une droite. — Dans [C00b], nous avons considéré une géométrie différente, en rempla¸cant la focalisation en un point par la focalisation sur une droite en dimension deux d’espace (cette dernière hypothèse étant surtout là pour minimiser la complexité technique). Soit donc le problème de Cauchy :

(1.16) iε∂tuε+ 1 2ε 2_∆uε_{= ε}α_|uε_|2σ_uε_{, x = (x} 1, x2) ∈ R2 ; uε_|t=0= f (x)e−i x2₁ 2ε .

(20)

Cette donn´ee initiale entraine une focalisation sur la droite {x1 = 0} `a l’instant t = 1

(voir la figure 2). Intuitivement, on r´ep`ete infiniment le cas mono-dimensionnel de (1.5), x2

x2

x1

t

1

Figure 2. _{Rayons de l’optique g´eom´etrique : focalisation sur une droite.}

jouant le rôle d’un paramètre. On s’attend alors à avoir le même tableau que précédemment avec n = 1. La difficulté technique pour justifier cette intuition consiste à contrôler la dépendance en x2. En introduisant

E :=_{ϕ ∈ H}1(R2)/ ∂2_x₁_x₂ϕ, x1ϕ, x1∂x2ϕ ∈ L

2_(R2₎ _,

on établit une théorie de la diffusion, suffisante pour adapter le théorème 1.1. Les notations et résultats intermédiaires nécessaires à un énoncé compréhensible étant assez lourds, nous avons renoncé à préciser ici la discussion qui précède.

1.2. ´Equation des ondes

La première partie de ma thèse ([C98]) consistait en l’étude d’une équation des ondes non linéaire en dimension trois d’espace. Pour des données radiales oscillantes, il y a apparition d’un point focal à l’origine (seule la symétrie radiale des oscillations initiales est à l’origine de ce phénomène, voir [45]). Contrairement au cas de l’équation de Schrödinger mentionné précédemment, ce phénomène ne se produit pas à un instant unique, les paquets d’onde voyageant tous à la même vitesse. Concentrons notre étude sur l’équation modèle

(1.17) uε_{+ a|∂}tuε|p−1∂tuε= 0 ,

o`u = ∂2

t − ∆, a ∈ C et p > 1. Dans [C98], nous avons considéré des données initiales de

la forme uε_t=0= ε U0 r ,r ε ; ∂tuε t=0= U1 r ,r ε ,

avec Uj(r, ·) 2π-périodique. Ceci est un cas particulier des études menées dans [44, 45, 46,

49]. Notons que pour a ∈ R+, l’équation (1.17) est dissipative : l’énergie linéaire,

Eε(t) = Z R3 |∂t uε_{(t, x)|}2_{+ |∇}xuε(t, x)|2 dx ,

(21)

est une fonction décroissante du temps (voir par exemple [57]). Dans [45], les auteurs ont montré que si a > 0 et p > 2, alors les oscillations sont absorbées au point focal : seule reste une partie non oscillante à la sortie de la caustique, en raison des effets dissipatifs (voir aussi [50] pour une absorption des singularités). Si 1 < p < 2, une étude d’intégrales oscillantes dans Lq a permis de montrer dans [49] qu’en moyenne (dans des espaces de Lebesgue d’indice fini), aucun effet non linéaire ne se produit au premier ordre à la traversée de la caustique. Dans [C98], nous avons considéré un cadre de travail plus particulier (toujours 1 < p < 2, mais dimension trois et données radiales, ces deux dernières hypothèses permettant de se ramener à un système couplé en dimension un d’espace, analysé par la méthode des caractéristiques), et obtenu des asymptotiques dans L∞_{. Relevons deux phénomènes :}

• La solution approchée fournie par l’optique géométrique est singulière sur la caustique, alors que la solution exacte ne l’est pas, ce que ne permettait pas de vérifier l’étude [49]. • Au-delà de la caustique, de nouveaux termes apparaissent, de taille ε2−p _(puissance

non entière), qui peuvent être vus comme une trace des effets non linéaires de caustique. Notons que ces termes étant o(1), on a tout de même une “caustique linéaire”.

Ce résultat étant présent dans ma thèse, je ne le détaille pas plus ici. Notons simplement que dans [C98], nous n’avons pas de description réellement simple de la solution exacte près de {r = 0}. Une telle description apparait dans [CR02], pour des données initiales d’un autre type :

uε_t=0= ε U0 r ,r − r0 ε ; ∂tuε t=0= U1 r ,r − r0 ε ,

o`u r0 > 0 et Uj(r, ·) sont `a support compact, supp Uj(r, .) ⊂ [−z0, z0] pour z0 > 0

indépendant de r. Cette dernière hypothèse correspond à l’étude d’impulsions ultra-courtes, initiée dans [1, 2], et motivée par l’existence de lasers dont la taille du support est de l’ordre de quelques longueurs d’onde seulement (au lieu de ε−1 _{1 dans le cas de} trains d’ondes, voir par exemple [75]).

Nous nous pla¸cons toujours en dimension trois d’espace. Puisque les données sont ra-diales, on a encore focalisation à l’origine. Par contre, le fait de considérer des impulsions ultra-courtes localise en temps ce phénomène, qui se produit à l’instant t = r0 (la vitesse

de propagation est choisie égale à 1 dans (1.17)), voir la figure 3 pour le cas bidimensionnel. Pour énoncer un résultat précis (et aussi en vue des autres cas étudiés), esquissons les calculs. Puisque les conditions initiales sont radiales, il en est de même pour la solution uε, et en notant encore uε(t, x) = uε_{(t, |x|), introduisons v}ε := (vε₋, v₊ε) avec

˜

uε(t, r) := ruε(t, r), vε_∓:= (∂t± ∂r)˜uε, vε∓∈ C∞(Rt× Rr) .

Notre probl`eme initial devient

(1.18)         

(∂t± ∂r)vε±= r1−pg(vε−+ vε+), g(y) := b|y|p−1y , b := −a2−p,

v₋ε + v₊ε_r=0 = 0 , v_∓ε_t=0= P∓ r,r − r0 ε ± εP1 r,r − r0 ε ,

(22)

Figure 3. _{Focalisation des impulsions ultra-courtes.}

pour des profils P reliés aux Uj, possédant la même régularité et satisfaisant à la même

condition de support. Adaptant [2], on cherche des solutions approch´ees de la forme (vε)app := (v−ε)app, (v+ε)app,

(v₋ε)app(t, r) := Vin(t, r, z1) z1=r−r0+t_ε , (v₊ε)app(t, r) := Vfoc(t, r, z2) z2=t−r−r0_ε + Vout(t, r, z3) z3=r−t−r0_ε ,

pour des profils Vin, Vfoc et Vout `a support compact en la variable z, solutions de :

r t T Vfoc Vin Vout r0 r0

Figure 4. _{Géométrie des rayons caractéristiques.}

(∂t− ∂r)Vin(t, r, z1) = r1−pg(Vin)(t, r, z1) ; Vin

t=0 = P−(r, z1),

(∂t+ ∂r)Vout(t, r, z3) = r1−pg(Vout)(t, r, z3) ; Vout

t=0= P+(r, z3), V out

r=0= 0 ,

(∂t+ ∂r)Vfoc(t, r, z2) = r1−pg(Vfoc)(t, r, z2) ; (Vin+ Vfoc)

r=0 = 0 , V foc

t=r=0= 0 .

Ces équations sont résolues en intégrant des équations différentielles ordinaires le long des rayons de l’optique géométrique (voir la figure 4).

(23)

Th´eor`eme 1.5 ([CR02]). — Supposons 1 < p < 2. Pour tout δ > 0, kv±ε − (vε±)appkL∞_([0,r₀_{−δ]×[0,∞[)} = O(ε) ,

avec vε_{= O(1). Pour des temps plus grands (T > r}0), on n’a pas mieux que :

kv±ε − (v±ε)appkL∞_{([0,T ]×[0,∞[)} = O ε2−p.

Soit 2 − p ≤ α ≤ 1. Définissons vε := (v₋ε, vε₊_{) dans {r ≤ ε}α_{} comme étant des} solu-tions exactes de l’équation d’onde linéaire sous forme caractéristique, se recollant avec la solution de l’optique géométrique le long de {r = εα}. On a alors vε++ v−ε = O(r/ε) et :

kvε− vεkL∞_{([0,T ]×[0,ε}α_]) = O(ε2−p) , k vε++ v−ε − vε++ vε− kL∞_{([0,T ]×[0,ε}α_]) = O r εα(1−p) = o(r/ε) .

De retour `a ∂tuε = (vε++ vε−)/2r, on voit que le poids dans cette derni`ere estimation

permet d’obtenir une approximation de ∂tuε `a la fois hors de {r = 0} et pr`es du point

focal, ce qui précise le résultat de [C98] dans le cas des impulsions ultra-courtes, et justifie le terme de “foyer linéaire” (près du foyer {r ≤ εα}, la solution exacte est bien approchée par une solution de l’équation linéaire).

Dans [CR04a] et [CR04b], nous avons poursuivi l’étude des équations (1.17), dans le même esprit que pour l’équation de Schrödinger ci-dessus, en modulant la puissance p ainsi que la taille des données initiales :

(1.19)      uε_{+ a|∂}tuε|p−1∂tuε = 0 , (t, x) ∈ [0, T ] × R3, uε_t=0 = εJ+1U0 r ,r − r0 ε ; ∂tuε t=0 = ε J_U 1 r ,r − r0 ε ,

o`u a est un nombre complexe, r0 > 0, et 1 < p < ∞. Les fonctions U0 et U1 sont

régulières, bornées et à support compact comme précédemment. Comme dans [C00a], on établit formellement dans [CR04a] les distinctions suivantes :

J > p−2_p−1 J = p−2_p−1 J < p−2_p−1 J > 0 foyer lin´eaire foyer non lin´eaire foyer surcritique

optique linéaire optique linéaire optique linéaire J = 0 foyer linéaire foyer non linéaire foyer surcritique

optique non linéaire optique non linéaire optique non linéaire

On a vu ci-dessus que dans le cas “foyer linéaire, optique non linéaire”, on peut obtenir une solution approchée dans L∞_{, donnée par la théorie de l’optique géométrique non}

lin´eaire en dehors du foyer, et par propagation libre pr`es de {r = 0}.

Dans [CR04a], nous analysons le cas “foyer non linéaire, optique linéaire”. Le terme non linéaire est négligeable au premier ordre en dehors du foyer, mais a une influence non négligeable près de {r = 0} (dans une couche limite de taille ε). Cette influence est mesurée en moyenne par un opérateur de diffusion non linéaire. Ceci est évidemment très semblable au phénomène rencontré pour l’équation de Schrödinger. Par contre, il nous faut montrer l’existence de l’opérateur de diffusion, ce qui constitue le cœur de [CR04a]. Nous établissons en outre une propriété qualitative intéressante de cet opérateur, dont la

(24)

conséquence dans l’étude des impulsions courtes est la suivante : une onde initialement à support compact ressort de la caustique à décroissance algébrique seulement (au moins si l’onde entrante est d’amplitude faible). Nous renvoyons à [CR04a] pour des énoncés précis. Dans la dernière partie [CR04b], nous abordons les quatre derniers cas du tableau. Dans le cas “foyer linéaire, optique linéaire”, nous montrons que le terme non linéaire est partout négligeable au premier ordre, en suivant essentiellement la même approche que dans [CR02]. Dans les trois autres cas, nous nous restreignons au cas d’une constante de couplage a réelle. Comme rappelé plus haut, si a est positive, l’équation est dissipative (accrétive sinon). Nous montrons alors que l’impulsion est dissipée avant d’atteindre le foyer (elle devient arbitrairement grande dans le cas accrétif). Ce résultat rejoint ceux de Joly, Métivier et Rauch ([45, 49]), qui avaient montré un phénomène semblable dans le cas des trains d’ondes. La preuve dans le cas des impulsions radiales en dimension trois est par contre beaucoup plus simple, et plus explicite.

Th´eor`eme 1.6 _{([CR04b]). — Supposons 0 ≤ J <} p−2_p−1 _{ou J = 0 = p − 2.}

(1) Si l’´equation est dissipative, a > 0, alors les impulsions sont absorb´ees avant d’atteindre le foyer. Si T ≥ r0,

lim sup

ε→0 kv ε

−(T )kL∞_{(0≤r≤T )}+ kvε₊(T )k_L∞_{(0≤r≤T )}= 0.

Plus précisément, pour λ > 0, définissons T (λ, ε) comme suit : si 0 ≤ J < p−2_p−1, alors T (λ, ε) := r0 − z0ε − λεα/(p−2), et si J = 0 = p − 2, alors T (λ, ε) := r0− z0ε − λ. Pour tout T = T (ε) ≥ T (λ, ε), lim λ→0lim supε→0 kv ε −(T )kL∞_{(0≤r≤T )}+ kv₊ε(T )k_L∞_{(0≤r≤T )}= 0.

(2) Si l’´equation est accr´etive, a < 0, il existe T∗ _{≤ r}0 tel que la famille (vε−, vε+) ne soit

pas born´ee dans L∞([0, T∗_{] × R}+)2.

Esquissons la preuve de ce résultat dans le cas J > 0. Comme dans le cas de l’équation de Schrödinger (et dans les calculs de [CR04a, CR04b]), ramenons-nous à des données initiales de tailles O(1) pour vε, en posant α := (p − 1)J. Le problème de Cauchy (1.19) devient alors (1.20)      uε+ a εα_|∂tuε|p−1∂tuε= 0, (t, x) ∈ [0, T ] × R3, uε_t=0= εU0 r,r − r0 ε , ∂tuε t=0= U1 r,r − r0 ε , et (1.18) s’écrit maintenant (1.21)         

(∂t± ∂r)v±ε = εαr1−pg(v−ε + vε+), g(y) := b|y|p−1y , b := −a2−p,

v₋ε + vε₊_r=0 = 0 , v_∓ε_t=0= P∓ r,r − r0 ε ± εP1 r,r − r0 ε .

(Par abus, nous gardons les mêmes notations.) Considérant un régime d’optique linéaire (α > 0), une solution approchée naturelle pour vε_{consiste `}_{a choisir la solution de l’équation}

(25)

(ou surcritique), cette solution cesse d’être une bonne approximation à l’approche du foyer (on peut même montrer que ceci arrive dans une couche limite plus large que dans le cas étudié dans [CR04a]). Pour forcer l’approximation à être valide plus longtemps, inspirons-nous du cas traité dans [CR02], et introduisons la solution approchée donnée par

     (∂t± ∂r)(vε±)app = εαr1−pg((vε±)app), (t, r) ∈ [0, r0− z0ε[×R∗+ , (vε_±)app t=0 = P± r,r − r0 ε .

Comme dans [CR02], ces équations sont des équations différentielles ordinaires le long des rayons. Profitons maintenant du fait que dans le cas précis, nous pouvons calculer explicitement ces solutions approchées : pour y ≥ x > 0, définissons Fp par

Fp(x, y) = Z y x ds sp−1. On a alors : (v₋ε)app(t, r) = P−(r + t, z) 1 + a2−p_{(p − 1)ε}α_F p(r, r + t)|P−(r + t, z)|p−1 1/(p−1) _z =(r+t−r0)/ε , (vε₊)app(t, r) = P+(r − t, z) 1 + a2−p_{(p − 1)ε}α_F p(r − t, r)|P+(r − t, z)|p−1 1 p−1 _z =(r−t−r0)/ε .

On montre alors que (v₋ε)app est une bonne approximation de vε pour t ≤ T (λ, ε) d´efini

dans l’énoncé du théorème 1.6. Ensuite, on remarque que dans le cas a > 0, (1.22) _k(vε₋)app(Tλ,ε)kL∞_(0,T_λ,ε₎≤ C ×

(

λ(p−2)/(p−1) si p > 2, 1/| log λ| si p = 2,

pour une constante C indépendante de λ. On conclut alors par inégalités d’énergie et en passant `_{a la limite λ → 0. Le cas a < 0 est semblable.}

Dans le cas “foyer non linéaire, optique non linéaire”, nous n’avons donc traité que le cas a ∈ R. Si a est imaginaire pur, l’équation est conservative, on ne peut donc pas attendre de phénomène d’absorption. Les résultats de [CR04a] suggèrent qu’alors la traversée de foyer est décrite par un opérateur de diffusion à longue portée. Cette remarque est le point de départ de [CL03]. L’équation non linéaire complète paraissant techniquement ardue à traiter, nous avons étudié le système suivant,

(1.23) uε= 0 ; uε_{+ i|∂}tuε|∂tuε= 0.

Une telle réduction va dans le même esprit que celle traitée dans [C00a], conduisant à (1.6). Dans [C01a], nous avons traité la version “complètement non linéaire” de (1.6), le prix à payer étant une perte de régularité le long de la propagation, et une hypothèse de petitesse sur les données initiales. Il semble que dans le cas de l’équation des ondes, on pourrait également traiter l’équation non linéaire directement, le prix à payer étant du même ordre de grandeur (perte de régularité et données petites). Nous avons préféré rester dans un cadre relativement simple pour mettre à nouveau en évidence le phénomène de

(26)

“déphasage aléatoire” (ou arbitrairement grand, selon que l’on considère la phase modulo 2π ou non), en ln ε.

Procédant comme précédemment, on se ramène au système :

(1.24)                    (∂t± ∂r)vε±= i r f r + t − r0 ε − f t − r − r0 ε (v−ε + vε+), vε₋+ v₊ε_r=0= 0, v₋ε_t=0= g r − r0 ε ei ˛ ˛ ˛f“r−r0ε ”˛˛˛ lnr0εr _, v₊ε_t=0= 0.

L’introduction d’un facteur logarithmique dans la phase peut sembler artificielle. Comme dans [C01a], elle est motivée par la présence (devinée, puis établie) d’un opérateur de diffusion à longue portée, pour lequel ce type de modulation est classique. Par contre, la présence du terme r0/r à pour seul but d’alléger les notations dans les calculs. On pourrait

facilement l’´eliminer, car sur le support de f (pris compact), r − r0= O(ε).

Théorème 1.7 _{([CL03]). — Soient f, g ∈ C}₀∞(R), r0 > 0, ε > 0. Alors (1.24) possède

une unique solution globale (v₋ε, v₊ε_{) ∈ L}∞(R+× R+)2.

• Le d´ephasage entre l’onde entrante (avant focalisation) et l’onde sortante (apr`es) se comporte en ln ε.

• Il existe un profil de caustique (V−, V+) ∈ L∞(R × R+)2 tel que pour |t − r0| ≤ Cε et

r ≤ Cε, v_±ε(t, r) = V± t − r0 ε , rε + O(ε).

Le début de la preuve suit le même plan que dans [CR04a] : on éclate les variables près du point focal,

τ = t − r0

ε ; ρ =

r ε· Le probl`eme de Cauchy (1.24) devient

(1.25)                    (∂t± ∂r)ψr±0/ε = i ρ|f (τ + ρ) − f (τ − ρ)| (ψ r0/ε − + ψ+r0/ε), ψr0/ε − + ψ r0/ε + ρ=0= 0, ψr0/ε − τ =−r0/ε = g (ρ + τ ) e i|f (ρ+τ )| lnr0_ρ τ =−r0/ε, ψr0/ε + τ =−r0/ε = 0.

On considère alors le problème plus général où le paramètre r0/ε vaut n, destiné à tendre

vers l’infini (sans être nécessairement entier). On remarque que le problème est celui de l’existence d’opérateurs d’onde à longue portée pour un problème linéaire. On prend alors en compte le caractère conservatif de l’équation : par une réduction classique, on élimine le terme ψ+(resp. ψ−) dans le membre de droite de l’équation vérifiée par ψ+(resp. ψ−). Des

conditions g´eom´etriques de support du potentiel et propagation des solutions permettent alors de faire tendre n vers l’infini.

(27)

Comme dans [CR04a], la description sur le syst`eme original (1.24) suit facilement.

1.3. Une g´en´eralisation

Le résultat le plus marquant de [C00a] est celui dont nous avons esquissé la preuve, “optique linéaire et foyer non linéaire”, dans lequel la traversée de caustique est décrite par un opérateur de scattering (à courte portée). Ce résultat a guidé l’analyse dans [CR04a], dans un cas pour lequel l’existence d’un opérateur de scattering n’était pas connue. Dans ces deux contextes, on a un type de comportement semblable à celui mis en évidence pour la première fois dans un cadre non linéaire dans [3] (voir [67] pour un cadre linéaire donnant lieu à une description voisine). Ces trois exemples ont pour point commun qu’il s’agit d’équations dispersives pour lesquelles une théorie du scattering et une théorie du problème de Cauchy globalement bien posé sont disponibles (la seconde contenant généralement la première). Partant de la conclusion (“optique linéaire et foyer non linéaire” avec traversée de foyer décrite par scattering), nous avons précisé des hypothèses sous lesquelles ce type de phénomène arrive à coup sûr : il s’agit d’équations semilinéaires dispersives pour lesquelles on a une théorie du scattering et du problème de Cauchy global [CL-p].

Pour préciser cette discussion, gardons en tête l’esquisse de la preuve du théorème 1.1. Considérons une équation linéaire

L(∂)ψ = 0 ; ψ_|t=0= ϕ , o`u ψ est `a valeurs dans Cq_{et L(∂) = ∂}

t+p(∂x1, . . . , ∂xn), p étant un polynôme à coefficients matriciels dans Mq(C) (ce cadre permet notamment de considérer les équations d’onde et

de Klein-Gordon). Comme pour l’´equation de Schr¨odinger, supposons que L(∂) engendre un semi-groupe, U0(t)ϕ = ψ(t), exhibant une asymptotique en temps grands de la forme

(1.26) U0(t)ϕ ∼

t→±∞

1

|t|αA±(ϕ)(t, ·) .

Dans le cas de l’équation de Schrödinger, on a α = n/2 (taux de dispersion), et un déphasage de −nπ2 apparait entre les définitions de A− et A+ : l’indice de Maslov est

présent dans l’asymptotique précédente. Pour obtenir une focalisation à l’origine à l’instant t = 1, utilisons à nouveau un éclatement des variables comme dans (1.11) et considérons

uε_|t=0 = 1 εαU0 −1 ε ψ− x ε + rε(x) ,

le reste rε_{, suppos´e petit, permettant de remplacer le premier terme du membre de droite}

par l’asymptotique donn´ee par (1.26).

Consid´erons maintenant une perturbation non lin´eaire,

(1.27) L(∂)ψ = F (x, ψ) ,

o`_{u F (x, ·) est homogène de degré p > 1. L’éclatement des variables et l’asymptotique} (1.26) conduisent à considérer (1.28)      L(ε∂)uε= εα(p−1)Fx ε, u ε_, uε_|t=0= 1 εαU0 −1 ε ψ− x ε + rε(x) = A−(ψ−) −1 ε , x ε + erε(x) .

(28)

Résumons formellement le résultat principal de [CL-p] (nous ne précisons ici ni les définitions des notions en jeu, ni les espaces dans lesquels nous travaillons).

Théorème 1.8 ([CL-p]). — Sous les hypothèses précédentes, supposons en outre : – qu’il existe une théorie complète de la diffusion (à courte portée) pour (1.27) ; – que le problème de Cauchy pour (1.27) est globalement bien posé.

Alors la solution de (1.28) est d´efinie globalement en temps pour 0 < ε 1, et on a les asymptotiques suivantes : 1. Pour 0 ≤ t < 1, uε(t, x) ∼_ε→0 1 (1 − t)αA−(ψ−) t − 1 ε , x ε . 2. Pour t − 1 = O(ε), uε_{(t, x) ∼} ε→0 1 εαϕ t − 1 ε , x ε ,

où ϕ = W−ψ− est l’image de ψ− par l’opérateur d’onde en −∞ associé à (1.27).

3. Pour t > 1, uε_{(t, x) ∼} ε→0 1 (t − 1)αA+(ψ+) t − 1 ε , x ε ,

où ψ+= Sψ−= W+−1ϕ est l’image de ψ− par l’opérateur de diffusion associé à (1.27).

Dans [CL-p], nous appliquons ces résultats aux équations de Hartree, Klein-Gordon et des ondes, ce dernier cas apportant un regard nouveau sur les résultats de [31]. Nous montrons aussi que si la puissance α(p − 1) de (1.28) est remplacée par δ > α(p − 1), alors la non-linéarité est partout négligeable, justifiant ainsi le régime “optique linéaire, foyer linéaire”. Nous discutons également les limitations de notre approche, et les généralisations envisageables, dans l’esprit de [3] et [CFG03] : étant donnée une équation contenant un pe-tit paramètre, dans quels cas les données de Cauchy que nous considérons (qui donnent lieu `

a une focalisation en un point) sont-elles les seules susceptibles de créer des phénomènes non linéaires perceptibles au premier ordre d’un développement asymptotique ? Dans [3] et [CFG03] (voir chapitre suivant), il s’avère que seules ces données initiales sont pertinentes pour des phénomènes non linéaires. Considérons par contre, en dimension trois d’espace, l’équation des ondes avec non-linéarité cubique :

u + u3 = 0 .

Une telle non-linéarité est critique au niveau du problème de Cauchy dans ˙H1/2, de même que la non-linéarité quintique était critique au niveau de ˙H1 dans [3]. Dans ce cas, des solutions autres que celles du type profil de concentration en un point vont avoir un comportement non linéaire ([29]).

(29)

Rˆ

ole des oscillations quadratiques pour NLS

Dans le cas du problème de Cauchy (1.5), les données initiales sont extrêmement parti-culières : elles donnent lieu à une focalisation en un point, phénomène dont la géométrie est simple et bien comprise. Comme expliqué au paragraphe 1.1.1, les preuves dans [C00a] (et aussi [C01a]) s’appuient de manière essentielle sur cette connaissance de la géométrie. Une question naturelle est alors de se demander ce qui se passe si l’on considère une donnée ini-tiale plus générale. Par exemple, quel est le comportement de uεavec des données initiales de type BKW, uε_|t=0 = J X j=1 fj(x)ei ϕj (x) ε ?

Dans [CFG03] et [CK-p], nous avons montré que si la donnée initiale a cette forme, alors la non-linéarité de (1.5) a un effet au premier ordre dans la limite ε → 0 si et seulement si au moins une phase ϕj est exactement quadratique, dans le cas où σ ≥ 2/n.

Les données initiales considérées dans [CFG03] et [CK-p] sont en fait plus générales que des données du type BKW comme envisagé ci-dessus. Fixons quelques notations et donnons une définition.

Notation 2.1. — Pour une famille (aε)0<ε≤1 dans H1(Rn), notons (suivant [38])

kaεkH1 ε := ka

ε

kL2 + kε∇aεk_L2. On dira que aε est born´ee (resp. tend vers z´ero) dans H_ε1 si

lim sup

ε→0 ka ε

kH1

ε < ∞ (resp. = 0). Nous consid´erons dans ce chapitre le probl`eme de Cauchy

(2.1) iε∂tuε+

1 2ε

2_∆uε_{= λε}nσ_|uε_|2σ_uε _; _uε

|t=0 = uε0,

o`_{u λ ∈ {−1, +1}, σ ≥ 2/n et u}ε₀ est bornée dans L2 ou H_ε1. Introduisons une fonction de référence, solution de l’équation linéaire associée, avec même donnée de Cauchy :

(2.2) iε∂tvε+

1 2ε

2_∆vε _{= 0 ;} _vε

|t=0 = uε0.

Définition 2.2 (Linéarisabilité). — Soit uε

0 ∈ L2(Rn), born´ee dans L2(Rn), et soit Iε

(30)

i) La solution uε est lin´earisable sur Iε dans L2 si lim sup ε→0 sup t∈Iεku ε_{(t) − v}ε_(t)k L2_(Rn₎= 0 . ii) Si de plus uε

0∈ H1(Rn) et uε0 est born´ee dans Hε1, on dit que uε est lin´earisable sur

Iε dans H_ε1 si lim sup ε→0 sup t∈Iε kuε(t) − vε(t)kL2_(Rn₎+ kε∇xuε(t) − ε∇xvε(t)k_L2_(Rn₎ = 0 .

Dans les cas σ > 2/n et σ = 2/n, on obtient deux critères de linéarisabilité différents. Une conséquence est que l’ensemble des données évoluant en une fonction non linéarisable est plus grand dans le cas critique L2 _{(σ = 2/n) que dans le cas surcritique (σ > 2/n).}

Ceci est dû précisément à l’invariance d’échelle au niveau L2.

Dans les deux cas, la stratégie générale de démonstration suit celle de [31] et [3] : on commence par établir un critère de linéarisabilité portant uniquement sur vε, ce qui ramène l’étude du problème non linéaire initial à l’étude de l’équation linéaire (2.2). Cette dernière se mène à l’aide de décomposition en profils, notion introduite dans [32] (voir aussi [62]).

2.1. Le cas surcritique L2

Le cas σ > 2/n fait l’objet de l’article [CFG03]. Nous établissons le critère de linéarisabilité suivant, très proche de l’équivalent pour l’équation des ondes [31] :

Théorème 2.3 ([CFG03]). — Supposons σ > _n2, avec σ < _n−22 _{si n ≥ 3. Soient u}ε₀ bornée dans H_ε1, et T > 0. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(1) uε _{est lin´earisable sur [0, T ] dans H}1 ε. (2) La fonction vε v´erifie (2.3) lim sup ε→0 sup 0≤t≤T εnσ_kvε_(t)k2σ+2_L2σ+2 = 0 .

La comparaison avec le critère prouvé dans [31] est motivée par le fait que la quantité apparaissant dans (2.3) est liée à la conservation de l’énergie. Rappelons que pour les solutions de (2.1), on a les conservations suivantes :

Masse : kuε(t)kL2 = kuε₀k_L2 , ´ Energie : 1 2kε∇xu ε_(t)k2 L2 + λεnσ σ + 1ku ε_(t)k2σ+2

L2σ+2 = Cε (constante indépendante du temps) . Ces conservations permettent de montrer facilement qu’on a toujours (c’est-à-dire sans nécessairement supposer σ > 2/n) (1)⇒(2) dans le théorème précédent. La réciproque est plus lourde à montrer, mais repose sur des outils standards (inégalités de Strichartz et de Hölder). Notons que c’est à cette étape que la condition σ > 2/n apparait. Nous verrons au paragraphe 2.2 que cette condition est nécessaire, et n’est pas un artifice technique comme on pouvait le croire. Notons aussi que les indices de Strichartz et de Hölder permettant de montrer (2)⇒(1) sont suggérés par les puissances de ε apparaissant lorsque uε _{est la}

(31)

théorème 2.3, nous n’avons aucune information géométrique a priori (en particulier, il est hors de question d’utiliser des opérateurs du type Jε_{(t) introduit en (1.8)). L’étude de la}

condition de lin´earisabilit´e (2.3) va rigidifier le cadre de travail.

Avant d’énoncer le résultat principal de [CFG03], donnons une définition d’orthogonalité (qui est généralisée dans le cas critique [CK-p]).

D´efinition 2.4. — Soit (z_jε)j∈N une famille de suites dans Rd, d ≥ 1. Nous dirons que

cette famille est orthogonale si

∀j 6= k, lim sup

ε→0

|zεj − zεk|

ε = ∞.

Théorème 2.5. — Supposons σ > _n2, avec σ < _n−22 _{si n ≥ 3. Soient u}ε₀ bornée dans H_ε1, et T > 0. Supposons que (2.3) ne soit pas vérifiée. Alors, quitte à extraire une sous-suite, il existe une famille orthogonale (tε_j, xε_j)j∈N de R+× Rn, une famille (Ψε`)`∈N, bornée dans

H_ε1(Rn), et une famille (non vide) (ϕj)j∈N, born´ee dans F(H1) telles que :

(2.4) uε₀(x) = Ψε_`(x) + r_`ε(x), avec lim sup

ε→0 kU ε

0(t)rε`kL∞_(R₊_,L2σ+2

ε )_`→∞−→0, et pour tout ` ∈ N, on a l’asymptotique suivante dans L2_(Rn_{), pour ε → 0,}

(2.5) Ψε_`(x) = ` X j=0 1 (tε j) n 2 ϕj x − x ε j tε j ! e−i (x−xε_{j )}2 2εtε_j + o(1).

Enfin, lim sup

ε→0 t ε

j ∈ [0, T ] pour tout j ∈ N.

La seconde partie de (2.4) signifie qu’`_{a la limite ` → +∞, le reste r}_`ε a une évolution essentiellement linéaire, d’après le théorème 2.3. Ainsi, l’unique obstruction à la linéarisabilité de uε vient de Ψε_`, c’est-à-dire, d’après (2.5), de la présence dans la donnée initiale d’au moins une oscillation quadratique, à l’origine d’une focalisation en un point, dans le futur (éventuellement à l’instant t = 0 sous les hypothèses présentes).

Décrivons le schéma de la preuve du théorème 2.5. Puisque la condition (2.3) porte sur l’évolution linéaire de la donnée initiale, nous utilisons la décomposition en profils associée à cette évolution linéaire, établie par S. Keraani dans [52]. Pour éviter les lour-deurs d’écriture, nous nous sommes limités au cas de la dimension trois d’espace. Avec le changement d’échelle

(2.6) Vε(s, y) := ε32vε(εs, εy) ,

les résultats de [52] entrainent qu’à extraction d’une sous-suite près,

Vε(s, y) = ` X j=0 1 p ηε_jVj s − sε j (η_jε)2 , y − yε j ηε_j ! + W_`ε(s, y) avec ηε

j ∈ R+\ {0}, et certaines conditions d’orthogonalit´e. De plus, W_`ε v´erifie

lim sup ε→0 kW ε `kLq_(R,Lr₎→ 0 pour ` → ∞ , avec 2 q + 3 r = 1 2, r < +∞ .