Diffusiondesparticules Ph´enom`enesdediffusion

Ph´enom`enes de diffusion

L’´ etalement d’une solution color´ ee dans un solvant, la propagation de l’odeur d’un parfum dans l’air, la sensation de chaleur lorsque l’on touche un objet chaud, ou encore de mani` ere plus complexe la tech- nique de chromatographie sur couche mince sont des ph´ enom` enes que l’on classe dans la cat´ egorie des ph´ enom` enes de diffusion. Ces ph´ enom` enes pr´ esentent des caract´ eristiques communes, en particulier le fait d’ˆ etre des ph´ enom` enes irr´ eversibles. On sentira donc en permanence que, sans la nommer, la notion d’entropie est constamment cach´ ee derri` ere les raisonnements utilis´ es pour d´ ecrire ces syst` emes.

Nous allons ´ etudier dans un premier temps le ph´ enom` ene de diffusion de particules, puis celui de diffusion thermique, en utilisant les similitudes et les analogies entre ces deux ph´ enom` enes.

Premi` ere partie

Diffusion des particules

D´ efinition du ph´ enom` ene Les deux premiers ph´ enom` enes ´ evoqu´ es dans l’introduction sont des ph´ enom` enes de diffusion des particules. La situation de d´ epart est similaire : on est en pr´ esence d’un d´ es´ equilibre, de concentration de la solution color´ ee dans le solvant ou de concentration de mol´ ecules de parfum dans l’air.

Les ph´ enom` enes de diffusion sont donc des ph´ enom` enes hors ´ equilibre contrairement ` a ce qui est ´ etudi´ e en premi` ere ann´ ee en thermodynamique. On peut donc pr´ eciser la d´ efinition que l’on donne ` a la diffusion de particules :

Il y a diffusion de particules lorsqu’une esp` ece A est repartie de fa¸ con non homog` ene dans l’espace rempli par un milieu support S sans mouvement macroscopique.

La diffusion de particule est le ph´ enom` ene d’´ evolution spontan´ ee du syst` eme en l’absence de contraintes externes qui tend ` a uniformiser la r´ epartition de A dans l’espace.

Origine du mouvement Le syst` eme ne pr´ esente pas de mouvement macroscopique qui pourrait ex- pliquer cette uniformisation, il faut donc chercher au niveau microscopique cette origine. Justement, nous avons vu en premi` ere ann´ ee que les particules constituant un gaz ou un liquide sont en agitation thermique permanente. Cette agitation induit donc des chocs permanents entre particules.

Imaginons la situation exp´ erimentale suivante : le syst` eme est constitu´ e de 2 parties 1 et 2 s´ epar´ ees par une paroi. Chaque partie occupe le mˆ eme volume V mais ne contient pas le mˆ eme nombre de particules, respectivement N 1 et N 2 ă N 1 . On retire la paroi sans provoquer de mouvement macroscopique.

Le mouvement d’agitation thermique ´ etant al´ eatoire, il y a dans la partie 1 (resp 2) autant de particules qui vont vers la partie 2 (resp. 1) que de particules qui vont en sens inverse, soit N ₁ {2 (resp. N ₂ {2). Il y a donc N 1 {2 particules qui vont vers la partie 2 et N 2 {2 qui vont vers la partie 1. Comme N 1 ą N 2 , le nombre de particules dans la partie 1 diminue alors que celui de la partie 2 augmente, ce qui tend bien ` a uniformiser la r´ epartition des particules dans l’espace.

Le mouvement al´ eatoire d’agitation thermique est responsable de l’uniformisation de la r´ epartition des particules dans l’espace.

Il va ˆ etre maintenant n´ ecessaire de d´ ecrire les lois math´ ematiques qui gouvernent le syst` eme afin d’obtenir

des r´ esultats quantitatifs.

I Approche macroscopique de la diffusion de particules

I.1 Vecteur densit´ e volumique de flux de particules

On se place dans un milieu support S. Afin de d´ ecrire le mouvement des particules, on suppose qu’il existe en tout point du milieu S un vecteur densit´ e de flux de particules d´ efini comme suit :

Soit dS un ´ el´ ement de surface orient´ e par un vecteur unitaire ~ u _n et plac´ e en un point M du fluide. Soit δ ³ N la quantit´ e de particules diffus´ ees traversant cette surface infinit´ esimale entre les temps t et t ` dt. Le vecteur densit´ e de flux de particules ~j pM, tq est alors d´ efini par

δ ³ N “ ~j pM, tq ¨ ~ u n dS dt (1) On retiendra plusieurs choses de cette expression :

– l’unit´ e SI de ~j pM, tq est le m ^´2 s ^´1

– δ ³ N est un infinit´ esimal d’ordre 3, 2 pour le dS et un pour le dt,

– cette quantit´ e est alg´ ebrique et d´ epend de l’orientation relative de la surface et du flux de particules, – cette description est une description mesoscopique : elle n´ ecessite une description de type milieu continu, puisqu’on souhaite pouvoir d´ efinir un vecteur densit´ e qui s’obtient par une moyenne sur un certain volume, mais le volume sur lequel est effectu´ e cette moyenne ne doit pas ˆ etre trop grand (ie macroscopique) puisqu’alors on perdrait la description du transport de particules.

I.2 Loi de Fick

Il est n´ ecessaire pour d´ ecrire l’´ evolution du syst` eme de d´ ecrire comment le vecteur ~jpM, tq est reli´ e aux grandeurs d´ ecrivant la non uniformit´ e du syst` eme et de quelle mani` ere. La loi de Fick (1855) est une loi ph´ enom´ enologique (inspir´ ee par la loi de Fourier, voir partie sur la diffusion thermique) qui r´ epond ` a 3 crit` eres impos´ es par l’observation :

– lorsque des inhomog´ en´ eit´ es sont pr´ esentes, un mouvement macroscopique s’effectue spontan´ ement, – le transfert se fait des r´ egion les plus denses vers les r´ egions les moins denses,

– le mouvement disparait lorsque le milieu est uniforme.

Dans un milieu homog` ene et isotrope S, contenant des particules A reparties de fa¸ con non homog` ene, apparait de fa¸ con spontan´ ee un vecteur densit´ e volumique de flux de particules

~jpM, tq. En un point M de l’espace, ce vecteur est proportionnel au gradient de la densit´ e de particules npM, tq

~j pM, tq “ ´D ÝÝÑ

grad npM, tq (2)

Le coefficient de proportionnalit´ e D nomm´ e coefficient de diffusion est caract´ eristique des par- ticules diffus´ ees A et du milieu support S et s’exprime en m ² s ^´1 .

La coefficient D est strictement positif, le signe ´ dans la loi de Fick ´ etant primordial puisqu’il g´ en` ere un vecteur ~j pM, tq se dirigeant des fortes densit´ es vers les faibles (on pourra penser ` a la relation similaire Ý

Ñ E “ ´ ÝÝÑ

grad V en ´ electrostatique). Le coefficient de diffusion dans un gaz aux conditions ordinaires varie,

selon la nature des mol´ ecules de 10 ^´6 ` a 10 <sup>´4</sup> unit´ es SI, dans un liquide de 10 <sup>´12</sup> ` a 10 ^´8 unit´ es SI et

d’atomes dans un solide de 10 ^´30 ` a 10 ^´16 unit´ es SI.

I.3 Equation de conservation de la mati` ´ ere I.3.1 Cas unidimensionnel

On cherche maintenant ` a relier les variations temporelles de la densit´ e de particule npM, tq au vecteur densit´ e de flux de particule. On consid` ere donc un volume d’axe Ox de section S entre les abscisses x et x ` dx. On supposera que npM, tq ne d´ epend que de x, et donc que ~j pM, tq est uniforme sur la surface S

et port´ e par l’axe Ox. On a donc ~j pM, tq “ jpx, tq~ u x . Dans le volume dτ “ S dx, on note δ ² N la variation du nombre de particule entre t et t ` dt :

δ ² N “ dτ pnpx, t ` dtq ´ npx, tqq δ ² N “ dτ dt Bn

Bt px, tq

Cette variation vient du nombre de particules entrant et sortant du volume dτ sur les 2 surfaces lat´ erales S 1 et S 2 . Le nombre de particules qui traversent S 1 vaut d’apr` es la d´ efinition du vecteur densit´ e δN ₁ “ dt~jpx, tq ¨ ~ u _n1 S “ ´jpx, tq S dt (3) et pour S ₂

δN 2 “ dt~jpx ` dx, tq ¨ ~ u n2 S “ jpx ` dx, tq S dt (4) de sorte que l’on peut calculer δ ² N “ ´pδN 1 ` δN 2 q le ´ permettant de tenir compte du fait que les normales aux surfaces sont dirig´ ees vers l’ext´ erieur du volume

δ ² N “ S dt rjpx, tq ´ jpx ` dx, tqs δ ² N “ ´S dt dx Bj

Bx px, tq En reprenant les deux expressions de δ ² N , on obtient alors

dτ dt Bn

Bt px, tq “ ´S dt dx Bj

Bx px, tq (5)

ce qui se simplifie en

Bn

Bt px, tq “ ´ Bj

Bx px, tq (6)

qui est l’´ equation de conservation du nombre de particules.

Le cas pr´ esent´ e pr´ ec´ edemment ne tient pas compte d’une ´ eventuelle cr´ eation ou annihilation de par- ticules dans le volume dτ. Le cas ´ ech´ eant, il faudra rajouter un terme σpx, tq qui correspond ` a cette cr´ eation/annihilation (qu’on appellera parfois terme de source de mani` ere un peu vague) :

Bn

Bt px, tq “ ´ Bj

Bx px, tq ` σpx, tq (7)

Cette ´ equation est une ´ equation ` a port´ ee g´ en´ erale dont la validit´ e ne se limite pas au ph´ enom` ene de diffusion, puisqu’elle traduit simplement la conservation du nombre de particules. On retiendra de cette

´

equation de conservation que le vecteur ~j pM, tq est continu pour assurer l’existence de _Bx ^Bj . I.3.2 Cas tridimensionnel

Dans le cas g´ en´ eral d’un probl` eme tridimensionnel, la densit´ e et le vecteur densit´ e de flux de particules retrouvent leurs expressions g´ en´ erales au point M npM, tq et ~jpM, tq. Elles sont reli´ es par l’´ equation de conservation de la mati` ere :

Bn

Bt pM, tq “ ´div~j pM, tq ` σpM, tq (8) Preuve On consid` ere un volume V et une surface ferm´ ee Σ orient´ ee vers l’ext´ erieur d´ elimitant ce volume. Soit M un point quelconque de la surface et Ý Ñ

dS “ dS~ u _n la surface centr´ ee sur M. Entre t et t ` dt, la variation du nombre de particules pr´ esentes dans V est :

δNptq “ N pt ` dtq ´ N ptq

“

¡

V

dτ npM, t ` dtq ´

¡

dτ npM, tq

“ dt

¡

V

dτ Bn Bt pM, tq

Par ailleurs, le nombre de particules entrant dans le volume V entre les temps t et t ` dt par diffusion est

´

egal ` a ´ dt~jpM, tq ¨ ~ u n dS, le signe n´ egatif assurant que l’on compte positivement les particules entrantes (ce qui est li´ e ` a la convention de sens de la normale ~ u _n vers l’ext´ erieur). La quantit´ e totale de particules δN φ s’obtient en sommant sur toute la surface ferm´ ee Σ :

δN _φ “ ´dt

£

Σ

~jpM, tq ¨ ~ u _n dS (9)

Ce qui se transforme en utilisant le th´ eor` eme de Green-Ostrogradski δN _φ “ ´dt

¡

V

dτ div~j pM, tq (10)

Le terme ´ eventuel du aux cr´ eations/annihilation de particules δN _σ est ´ egal ` a δN σ “ dt

¡

V

dτ σpM, tq (11)

La variation totale du nombre de particules dans le volume V entre t et t ` dt est donc δNptq “ δN <sub>φ</sub> ptq ` δN _σ ptq :

dt

¡

V

dτ Bn

Bt pM, tq “ ´dt

¡

V

dτ div~j pM, tq ` dt

¡

V

dτ σpM, tq (12)

En regroupant les termes et en simplifiant par dt :

¡

V

dτ

„ Bn

Bt pM, tq ` div ~j pM, tq ´ σpM, tq



“ 0 (13)

L’int´ egrale devant ˆ etre v´ erifi´ ee quelque soit le volume V , on a donc Bn

Bt pM, tq ` div~j pM, tq ´ σpM, tq “ 0 (14) qui est l’expression g´ en´ erale de la conservation de la mati` ere. C’est une expression g´ en´ erale qui a le mˆ eme statut que l’expression (7).

On peut noter que cette expression est similaire (au terme de cr´ eation/annihilation) ` a l’expression de la conservation de la masse en m´ ecanique des fluides ou de l’´ equation de la conservation de la charge en

´

electromagn´ etisme (voir plus tard dans l’ann´ ee).

Il faut aussi retenir que cette ´ equation seule ne peut pas permettre de d´ eterminer compl` etement le syst` eme.

En effet, l’´ equation (14) ne permet de relier que la divergence de ~jpM, tq ` a npM, tq ; il nous manque donc une information suppl´ ementaire sur Ý rot~j Ñ pM, tq pour d´ eterminer le vecteur densit´ e de flux de particules.

En pratique, l’´ equation de conservation permet de calculer :

– la valeur du vecteur ~jpM, tq dans les cas stationnaires et o` u les sym´ etries du probl` eme assurent que Ý rot~j Ñ pM, tq “ 0,

– l’´ evolution temporelle de npM, tq en un point M de l’espace si on connait ~j pM, tq et σpM, tq quelque soit t, ce qui est tr` es rarement le cas.

Il est donc n´ ecessaire d’avoir plus d’informations que l’´ equation g´ en´ erale de conservation de la mati` ere, et c’est pr´ ecis´ ement la loi de Fick qui va nous permettre de compl´ eter notre connaissance du syst` eme.

II Equation de diffusion ´

On supposera dans cette section que la loi ph´ enom´ enologique de Fick est v´ erifi´ ee.

II.1 Diffusion unidimensionnelle

Dans ce cas, nous retrouvons la forme de l’´ equation de conservation unidimensionnelle (7) Bn

Bt px, tq “ ´ Bj

Bx px, tq ` σpx, tq (15)

et la loi de Fick, adapt´ ee ` a un syst` eme unidimensionnel

~j pM, tq “ ´D ÝÝÑ

grad npM, tq “ ´D Bn

Bx px, tq ~ u _x (16)

En injectant l’expression de ~j pM, tq dans l’´ equation de conservation, on obtient Bn

Bt px, tq “ ´ B Bx

„

´D Bn Bx px, tq



` σpx, tq (17)

ce qui nous donne l’´ equation de diffusion associ´ ee au probl` eme : Bn

Bt px, tq “ D B ² n

Bx ² px, tq ` σpx, tq (18)

C’est une ´ equation lin´ eaire du premier ordre en temps dont la r´ esolution permet de connaitre npx, tq

@x, t. Cette ´ equation n’est pas invariante par renversement du temps, ce qui est li´ e ` a l’irr´ eversibilit´ e du ph´ enom` ene de diffusion, donc ` a la loi de Fick.

Pr´ ecisons qu’en l’absence de terme de cr´ eation/annihilation de particules, l’´ equation de diffusion se sim- plifie l´ eg` erement :

Bn

Bt px, tq “ D B ² n

Bx ² px, tq (19)

II.2 Diffusion tridimensionnelle

Dans le cas plus g´ en´ erale de la diffusion ` a 3 dimensions, on retrouve les lois de Fick et de conservation de la mati` ere :

Bn

Bt pM, tq ` div ~j pM, tq ´ σpM, tq “ 0

~j pM, tq “ ´D ÝÝÑ

grad npM, tq que l’on combine

Bn

Bt pM, tq “ ´div

”

´D ÝÝÑ

grad npM, tq ı

` σpM, tq (20)

Comme

div r ÝÝÑ

grad npM, tqs “ ∆ npM, tq o` u ∆ npM, tq repr´ esente le laplacien scalaire

B ² n Bx ² ` B ² n

By ² ` B ² n Bz ²

en coordonn´ ees cart´ esiennes, on obtient alors l’´ equation de diffusion ` a 3 dimensions : Bn

Bt pM, tq “ D ∆npM, tq ` σpM, tq (21)

III Approche dimensionnelle, Solutions de l’´ equation de diffusion dans des cas simples

III.1 Approche dimensionnelle

On cherche ` a obtenir un ordre de grandeur des temps et des longueurs caract´ eristiques des ph´ enom` enes de diffusion. L’´ equation de diffusion (sans cr´ eation/annihilation, pour simplifier l’analyse) est la suivante :

Bn

Bt pM, tq “ D ∆npM, tq Au niveau dimensionnel, on peut donc ´ ecrire, n ´ etant sans dimension

1

T “ rDs 1 L ²

On peut donc en tirer deux relations portant sur le temps caract´ eristique de diffusion τ et sur la longueur caract´ eristique L diff

τ “ L ² _diff

D et L _diff “

? Dτ (22)

La premi` ere relation indique que le temps caract´ eristique est proportionnel au carr´ e de la taille ca- ract´ eristique du probl` eme. Une mani` ere de voir cette relation est de dire qu’un syst` eme S ¹ 10 fois plus grand qu’un syst` eme S aura un temps caract´ eristique de diffusion 100 fois plus grand. On se rappellera alors que la diffusion est un ph´ enom` ene de retour ` a l’´ equilibre, et que donc ce retour se fait 100 fois plus lentement.

La deuxi` eme relation indique que la taille caract´ eristique du syst` eme croit comme la racine carr´ ee du temps (c’est le strict alter ego de la premi` ere relation). Le ph´ enom` ene de diffusion peut donc ˆ etre consid´ er´ ee comme un ph´ enom` ene lent.

Application Calculer le temps de diffusion du sucre dans une tasse de caf´ e.

III.2 Solutions de l’´ equation de diffusion III.2.1 R´ egime stationnaire avec sources

En r´ egime stationnaire, les grandeurs sont ind´ ependantes du temps, on a donc comme ´ equation de la diffusion :

∆npM, tq “ ´ 1

D σpM, tq (23)

qui ressemble ` a l’´ equation v´ erifi´ ee par le potentiel. Si le syst` eme est ` a une dimension, on obtient alors B ² n

Bx ² px, tq “ ´ 1

D σpx, tq (24)

III.2.2 R´ egime stationnaire sans sources

Si les sources sont absentes du volume consid´ er´ e, alors l’´ equation de la diffusion devient simplement B ² n

Bx ² px, tq “ 0 (25)

dont la solution est une fonction lin´ eaire npxq “ ax ` b dont les constantes sont d´ etermin´ ees par les

conditions initiales. Ce r´ esultat g´ en´ eral, par son importance pratique et ses applications en diffusion des

particules, mais surtout en diffusion thermique, est ` a connaitre absolument.

III.2.3 R´ egime non stationnaire

Pr´ ecis´ ement, les r´ egimes stationnaires ne sont pas simples du tout ` a traiter, on retiendra donc simple- ment pour le cours les remarques qualitatives importantes de la partie III.1

Deuxi` eme partie

Diffusion thermique

Le ph´ enom` ene de diffusion thermique est l’un des ph´ enom` enes susceptible de transf´ erer de l’´ energie interne d’une zone ` a l’autre de l’espace. Les deux autres ph´ enom` enes sont

– l’advection qui est un d´ eplacement macroscopique de mati` ere. En se d´ epla¸ cant, la mati` ere transporte son ´ energie interne. Dans le cas d’une advection non forc´ ee (par un m´ ecanisme quelconque comme une pompe), on parle de convection.

– le rayonnement ´ electromagn´ etique

La diffusion thermique est le ph´ enom` ene de transport de l’´ energie interne de proche en proche qui tend

`

a uniformiser le champ de temp´ erature, sans mouvement macroscopique. Elle domine ´ evidemment le ph´ enom` ene d’advection dans le cas d’un solide puisque dans ce cas il n’y a pas de mouvement macrosco- pique.

IV Mod´ elisation macroscopique

IV.1 Flux thermique

Comme dans le cas de la diffusion de particules, on d´ efinit un vecteur densit´ e de courant thermique

~j _Q pM, tq :

Soit dS un ´ el´ ement de surface orient´ e par un vecteur unitaire ~ u n et plac´ e en un point M . Le vecteur densit´ e de flux thermique j ~ _Q pM, tq est alors d´ efini par son flux ´ el´ ementaire dφ _Q ` a travers la surface dS

dΦ Q “ ~j _Q pM, tq ¨ ~ u n dS (26) Le flux thermique est reli´ e ` a la quantit´ e de chaleur δQ qui traverse la surface dS pendant une dur´ ee dt :

δQ “ dΦ _Q dt “ ~j _Q pM, tq ¨ ~ u _n dS dt (27) IV.2 Loi de Fourier

La loi de Fourier est l’analogue (et c’est historiquement la premi` ere loi de ce genre) ` a la loi de Fick.

C’est une loi ph´ enom´ enologique qui relie le vecteur densit´ e de flux thermique au gradient de temp´ erature, exprimant math´ ematiquement le fait que le flux thermique se produit des zones chaudes vers les zones froides :

~j _Q pM, tq “ ´κ ÝÝÑ

grad T pM, tq (28)

o` u κ est le coefficient de conductivit´ e thermique en W ¨ m ^´1 ¨ K ^´1 . Le signe ´ assure que le vecteur ~j _Q

est bien dirig´ e des zones chaudes vers les zones froides.

V Equation de diffusion thermique ´

On traitera ici les cas de diffusion sans advection ni rayonnement.

V.1 Cas tridimensionnel

Le syst` eme choisi S est constitu´ e d’un volume V fixe entour´ e par une surface Σ orient´ ee arbitrairement vers l’ext´ erieur. Le premier principe de la thermodynamique appliqu´ e entre les instants t et t ` dt donne U pt ` dtq ´ U ptq “ δQ (cas ou δW “ 0 ce qui est le cas dans les solides). La quantit´ e de chaleur re¸ cue δQ entre t et t ` dt par le syst` eme est ´ egale ` a

δQ “ ´

£

Σ

~j _Q pM, tq ¨ ~ u _n dS dt (29)

le signe ´ permettant d’assurer la coh´ erence avec la convention utilis´ ee en thermodynamique. On a donc dU

dt “ U pt ` dtq ´ U ptq

dt ““ ´

£

Σ

~j _Q pM, tq ¨ ~ u _n dS (30)

On peut ´ ecrire l’´ energie interne comme une int´ egrale sur le volume de l’´ energie interne volumique (ou densit´ e d’´ energie) :

U ptq “

¡

V

upM, tq dτ (31)

Comme le volume V est fixe, l’int´ egrale ne d´ epend pas du temps et on peut inverser l’int´ egration et la d´ erivation :

dU dt “

¡

V

Bu

Bt pM, tq dτ “ ´

£

Σ

~j _Q pM, tq ¨ ~ u n dS (32) En utilisant le th´ eor` eme de Green-Ostrogradski, on obtient :

¡

V

Bu

Bt pM, tq dτ “ ´

¡

V

div~j _Q pM, tq dτ (33)

Cette ´ equation doit ˆ etre vraie quelque soit le volume, ce qui donne l’´ equation locale de conservation de l’´ energie

Bu

Bt pM, tq ` div~j _Q pM, tq “ 0 (34)

Dans le cas d’un solide, dU “ C _V dT et donc, en terme de densit´ e d’´ energie : Bu

Bt pM, tq “ ρc BT

Bt pM, tq (35)

c ´ etant la capacit´ e thermique massique et ρ la masse volumique du solide. On peut alors ´ ecrire, en utilisant la loi de Fourier

ρc BT

Bt pM, tq ` divr´κ ÝÝÑ

grad T pM, tqs “ 0 (36)

L’op´ eration divr ÝÝÑ

grad T s donne ∆T et on obtient l’´ equation de la chaleur ou ´ equation de diffusion

thermique, analogue ` a l’´ equation de diffusion de particules :

BT

Bt pM, tq “ D∆T (37)

o` u D “ κ{ρc est le coefficient de diffusion thermique du mat´ eriau en m <sup>2</sup> s <sup>´1</sup> . Si le syst` eme absorbe ou

´

emet de l’´ energie en volume (rayonnement ´ electromagn´ etique, effet Joule), il faut rajouter un terme ` a cette ´ equation :

BT

Bt pM, tq “ D∆T ` P _vol

ρc (38)

o` u P _vol est la puissance de ces ´ echanges ´ energ´ etiques.

Analyse dimensionnelle du temps de diffusion Comme dans le cas de la diffusion de particules, l’´ equation de diffusion thermique sans source permet d’acc´ eder aux ´ echelles temporelles et spatiales ca- ract´ eristiques du probl` eme. On retrouve les mˆ eme r´ esultats :

τ “ L ² _diff

D et L diff “ ?

Dτ (39)

V.2 Conditions aux limites

La r´ esolution de l’´ equation de diffusion n´ ecessite un certain nombre de conditions au limites.

Echange solide-solide ´ Dans le cas d’un solide, le contact thermique parfait de 2 surfaces implique que le temps de diffusion est quasi nul. On pourra donc consid´ erer que la mise en contact entre 2 solides conduit de mani` ere instantan´ ee ` a la continuit´ e de la temp´ erature ` a travers l’interface. De mˆ eme, ~j <sub>Q</sub> pM, tq est continu ` a la travers´ ee de l’interface.

Echange solide-fluide ´ Dans le cas d’un ´ echange solide (` a temp´ erature T <sub>1</sub> )-fluide (` a temp´ erature T ₂ ), les ´ echanges convectifs ne sont pas n´ egligeables, on mod´ elise l’´ echange par la loi de Newton :

~j _Q pM, tq “ hpT ₁ ´ T ₂ q~ n ₁₂ (40) o` u ~ n 12 est la normale ` a la surface d’´ echange orient´ ee vers le fluide et h est un coefficient qui augmente avec les mouvements du fluide autour du solide.

V.3 Cas unidimensionnel

On consid` ere une barre homog` ene de longueur L en contact ` a ses extr´ emit´ es avec 2 thermostats ` a des temp´ erature T p0q “ T ₁ et T pLq “ T ₂ . Dans le cas unidimensionnel sans source, avec flux de chaleur selon l’axe Ox, l’´ equation de la diffusion thermique se simplifie :

BT

Bt pM, tq “ D B ² T

Bx ² (41)

R´ esolution en r´ egime permanent En r´ egime permanent, ^BT _Bt “ 0 et on doit donc r´ esoudre ^B _Bx

^T

“ 0.

La solution est alors du type T pxq “ Ax ` B o` u A et B sont des constantes ` a d´ eterminer. Dans notre cas,

Tpxq “ T ₂ ´ T ₁

L x ` T 1 (42)

Le flux thermique Φ ` a travers une section transversale S est alors donn´ e par Φ “

ij

S

~j _Q pM, tq ¨ Ý Ñ

dS “ jpxq S “ ´κ dT dx “ κS

L pT 1 ´ T 2 q (43)

ce qui permet de faire des analogies dans la partie suivante.

Troisi` eme partie

Analogies

grandeur ´ electrique thermique particules

Grandeur transport´ ee charge Q ´ energie interne U particules

Cause du transport ÝÝÑ

grad V ÝÝÑ

grad T ÝÝÑ

grad n

Loi de transport ~j _e pM, tq “ σ ~ E “ ´σ ÝÝÑ

grad V ~j _Q pM, tq “ ´κ ÝÝÑ

grad T pM, tq ~jpM, tq “ ´D ÝÝÑ grad n

Eq de diffusion effet de peau ^BT _Bt pM, tq “ _ρc ^κ ∆T ^BT _Bt pM, tq “ D∆n

R´ egime permanent En r´ egime permanent, les analogies se font principalement entre le ph´ enom` ene de diffusion thermique et la conduction ´ electrique. On peut rapprocher l’´ equation (43) de la conduction

´

electrique en remarquant que le flux de charge est la grandeur intensit´ e i. Dans cette analogie, la diff´ erence de temp´ erature est analogue ` a la tension U entre 2 points d’un circuit. D’apr` es la loi d’Ohm, U “ Ri et on peut donc par analogie d´ efinir en r´ egime permanent une r´ esistance thermique

R th “ L

κS (44)

Les mˆ eme r` egles d’addition en s´ erie et en s’appliquent alors aux r´ esistances thermiques.