DEVOIR MAISON n
2
Pour Vendredi 11 Octobre 2019PROBL`
EME : UNE SOMME DE COMPLEXES
Dans ce probl`eme on d´esigne par U l’ensemble des nombres complexes de module 1 et pour tout entier n ¥ 1, par Un l’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e. Pour tout entier n¥ 1 et
tout zP C, on consid`ere la somme :
Sn 1 z z2 . . . zn1 n¸1 k0
zk
avec la convention S1pzq 1. Les questions qui suivent sont `a peu pr`es ind´ependantes.
1. Le cours
(a) Donner sous forme trigonom´etrique (exponentielle) les ´el´ements de Un.
Un te
2ikπ
n | k P rr0, n 1ssu
(b) Donner sous forme alg´ebrique les ´el´ements de Un pour nP t1, 2, 3, 4u.
Placer ces ´el´ements dans le plan complexe (faire quatre figures distinctes). U1 t1u , U2 t1, 1u , U3 t1, 12 i ? 3 2 , 1 2 i ? 3 2 u et U4 t1, 1, i, iu (c) Soit zP Un. Calculer Snpzq.
Si z 1 alors Snpzq n et sinon zn 1 donc :
Sn 1 z z2 . . . zn1 n¸1 k0 zk 1 z n 1 z 0 2. Le cas n 3. Nous avons donc S3pzq 1 z z2.
(a) D´eterminer sous forme alg´ebrique les solutions z de l’´equation S3pzq i.
Il s’agit de r´esoudre l’´equation z2 z 1 i soit z2 z 1 i 0 de discriminant
∆ 12 4p1 iq 3 4i. Soit δ a ib tel que δ2 ∆ alors :
$ & % a2 b2 3 a2 b2 5 2ab 4 ô $ & % 2a2 2 2b2 8 ab 2 ô $ & % a 1 b 2 ab 2
On trouve δ p1 2iq et deux solutions z1 1 i et z2 i.
(b) D´eterminer l’ensemble des zP C tels que S3pzq P R.
On pose z a ib avec pa, bq P R2 et alors :
z2 z 1 a2 b2 2iab a ib 1 pa2 a 1 b2q ip2ab bq P R Soit 2ab b 0 ô p2a 1qb 0 ô a 12 ou b 0.
Donc z est r´eel ou bien de partie r´eelle ´egale `a12.
DEVOIR MAISON n
2
Pour Vendredi 11 Octobre 20193. Majoration du module de la somme.
(a) Montrer par r´ecurrence sur n¥ 1 que pour tout z P U, on a |Snpzq| ¤ n.
Initialisation : pour n 1, S1pzq 1 et donc |S1pzq| |1| 1.
H´er´edit´e : Supposons que pour zP U, on a |Snpzq| ¤ n.
Alors pour zP U, on a d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire :
|Sn 1pzq| |Snpzq zn| ¤ |Snpzq| |zn| ¤ n |z|n¤ n 1
Ainsi la propri´et´e est vraie au rang n 1 et donc par le principe de r´ecurrence on en d´eduit qu’elle est vraie pour tout nP N.
(b) Cette borne est-elle atteinte pour un zP U ? Justifier. Il suffit de poser z 1 pour voir que cette borne est atteinte.
Dans les trois questions suivantes, nous ´etudierons les valeurs de Snpzq pour quelques z P U.
4. Dans cette question, on pose z eiπn et n¥ 2.
(a) Justifier que zP UN avec N `a pr´eciser.
En posant N 2n, on voit que zN z2neiπn 2n ei2π 1.
(b) Montrer que Snpzq
2 1 z.
On remarque aussi que zn eiπ 1 et donc Snpzq
1 zn 1 z 1 p1q 1 z 2 1 z. (c) D´eterminer le module et l’argument de Snpzq.
Snpzq 2 1 eiπn 2 ei2nπ ei2nπ ei π 2n i ei2nπ sin π 2n ei π 2 ei2nπ sin π 2n ei πpn1q 2n sin 2nπ Ainsi |Snpzq| 1 sin 2nπ et argpSnpzqq πpn1q 2n .
5. Dans cette question, on suppose que n¥ 3 et z P Un2zt1u.
(a) Calculer Snpzq en fonction de z.
On a zn2 1 donc Snpzq 1 zn 1 z 1 zn2.z2 1 z 1 z2 1 z p1 zqp1 zq 1 z 1 z .
(b) En d´eduire le module et l’argument de Snpzq.
On utilise l’expression trouv´ee au 5.(a) et qu’il existe kP rr0, n 3ss tel que z eipn2q2kπ et :
Snpzq 1 z 1 ei 2kπ n2 ein2kπ ein2kπ ein2kπ 2 cos kπ n 2 ein2kπ Or cos kπ n2 ¥ 0 ô kπ n2 P r0, π 2s donc : |Snpzq| $ ' & ' % 2 cos kπ n2 et argpSnpzqq kπ n 2 si kπ n2 P r0, π 2s 2 cos kπ n2 et argpSnpzqq kπ n 2 π si kπ n2 Ps π 2, πs
DEVOIR MAISON n
2
Pour Vendredi 11 Octobre 20196. Dans cette derni`ere question on d´etermine l’ensemble not´e S1 des zP U tels que |Snpzq| 1.
(a) Montrer que Un1
Un 1zt1u S1.
Il suffit de prouver qu’un ´el´ement z 1 dans Un1 ou Un 1 v´erifie|Snpzq| 1.
Soit z P Un1, alors Snpzq 1 zn 1 z 1 zn1.z 1 z 1 z 1 z 1 et donc |Snpzq| 1. Soit z P Un 1, alors Snpzq 1 zn 1 z 1 zn 1.1z 1 z 11z 1 z z 1 zp1 zq 1 z. Comme zP Un 1 alors|z| 1 et donc |Snpzq|
1z |z|1 1. Finalement Un1
Un 1zt1u S1.
(b) Soit zP U tel que |Snpzq| 1.
Justifier l’´egalit´e |zn 1| |z 1| puis en d´eduire que zn zn z z.
On commence par remarquer que z 1 n’est pas solution car Snp1q n. ( vu au 3.(b) ) et pour
zP U, avec z 1 : |Snpzq| 1 ô 11 z zn 1 ô |zn 1| |z 1| On a ´egalement : |zn 1| |z 1| ô |zn 1|2 |z 1|2ô pzn 1qpzn 1q pz 1qpz 1q En d´eveloppant : |zn 1| |z 1| ô 1 zn zn znzn 1 z z zz ô zn zn z z (c) D´eterminer l’ensemble S1.
On utilise la forme z eiθ (θ 0 r2πs car z 1) puisque z P U et donc : zn zn z z ô einθ einθ eiθ eiθ
ô 2 cospnθq 2 cospθq ô cospnθq cospθq ô nθ θ r2πs ô pn 1qθ 0 r2πs ô Dk P N, θ kπ n 1 ô z P Un1 Un 1zt1u
On conclut donc que S1 Un1
Un 1zt1u par double inclusions r´eciproques.
DEVOIR MAISON n
2
Pour Vendredi 11 Octobre 2019EXERCICE :
Equations de degr´´ e 3 : Tartaglia ou Cardan ?On se propose de r´esoudre l’´equationpEq : x3 12x 8 0.
1. ´Etudier les variations sur R de la fonction f : x ÞÑ x3 12x 8. En d´eduire le nombre de solutions r´eelles de pEq.
f est d´erivable sur R en tant que fonction polynˆome et
@x P R, f1pxq 3x2 12 3px2 4q 3px 2qpx 2q
On obtient donc le tableau de variation ci-dessous : x f1pxq f 8 2 2 8 0 0 8 8 8 8 24 24 8 8
On en d´eduit que fpxq 0 admet exactement 3 solutions : une sur s 8r, 2, une sur s 2, 2r et une surr2, 8r d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire appliqu´e 3 fois.
2. On cherche une solution de pEq sous la forme x u v, avec u et v complexes. (a) Montrer qu’en fixant le produit uv 4, on doit avoir u3 v3 8. On a alors
x3 pu vq3 u3 3u2v 3uv2 v3 u3 v3 3uvpu vq u3 v3 12x Donc
x3 12x 8 ô u3 v3 8
(b) On d´eduit de ce qui pr´ec`ede que u3v3 43 64 et u3 v3 8 donc u3 et v3 sont solutions de l’´equation polynomiale X2 8X 64 0 dont les racines sont :
X1 4 4 ? 3i 8eiπ3 et X2 4 4?3i 8ei π 3. On a donc pu3, v3q p8eiπ3, 8ei π 3q ou pu3, v3q p8ei π 3, 8ei π 3q.
(c) D´eterminer les couples pu, vq correspondant, puis les solutions de l’´equation. Quitte `a ´echanger les noms, posons u3 8eiπ3 et v3 u3 puisqu’ils sont conjugu´es.
On a donc u 2eipπ9 2kπ 3 q avec k 0, 1 ou 2 soit : u 2eiπ9 ou u 2ei 7π 9 ou u 2ei 13π 9
En prenant en compte le fait que uv 4 on voit que u et v sont n´ecessairement conjugu´es on obtient :
pu, vq p2eiπ9, 2eiπ9q ou pu, vq p2ei7π9 , 2ei7π9 q ou pu, vq p2ei13π9 , 2ei13π9 q
En ´ecrivant sous forme alg´ebrique on obtient :
x cos π 9 ou x cos 7π 9 ou x cos 13π 9
