Univ. Paris VIII, 2017-2018
Partiel de M´ ethodes Quantitatives 2
Les calculatrices sont interdites, et les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints.
Exercice 1 - Dans cet exercice, les questions sont ind´ependantes.
1. Trouver les extrema ´eventuels de la fonctionf(x) = (x−3)2(4x+ 3) et en d´eterminer la nature.
2. Etudier la convexit´e de la fonction g(x) = exp(−√
x) sur ]0,+∞[.
3. Donner un ´equivalent simple en +∞ de x2xe+xx+ln(x)ln(x)+x.
4. Donner le d´eveloppement de Taylor-Young en 0 `a l’ordre 2 de la fonctionh(x) = ln(1 + 3x).
5. Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange en 0 `a l’ordre 3 de la fonctionj(x) = exp(−2x).
6. Calculer la matrice jacobienne de la fonctionf suivante (en pr´ecisant son ensemble de d´efinition) :
f(x1, x2, x3, x4) =x21cos(x2)
x4+ 2 , ln(x3)√
x4 , x1x23e3x4 .
Exercice 2 - Dans ce probl`eme on consid`ere la fonction f d´efinie par
f(x, y) = 1 1 +xy−x2. 1. Pr´eciser l’ensemble de d´efinition de f.
2. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 def, c’est-`a-dire ∂f∂x et ∂f∂y.
3. En d´eduire le gradient ; montrer que f poss`ede un et un seul point critique, et le pr´eciser.
4. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 def, c’est-`a-dire ∂∂x2f2, ∂∂y2f2, ∂x∂y∂2f et ∂y∂x∂2f . 5. (a) D´emontrer que la fonctiongd´efinie parg(x) =f(x,0) admet enx= 0 un extremum
local, et en pr´eciser la nature.
(b) Notonshla fonction d´efinie parh(x) =f(x,2x). D´emontrer qu’elle admet enx= 0 un extremum local, et en pr´eciser la nature.
(c) Le point (0,0) est-il un extremum local pour la fonction f?
