Programme de Colle n10 - PSI
(Mars 2020)
Une colle de math´ematiques en PSI comporte obligatoirement une question de cours suivie de un (ou deux) exercice(s) sur les chapitres ci-dessous.
Variables al´
eatoires discr`
etes
• G´en´eralit´es :
— Images r´eciproques ; — variable al´eatoire discr`ete ;
— loi d’une variable al´eatoire discr`ete ; — fonction de r´epartition ;
— lois usuelles.
• Couple de variables al´eatoires et ind´ependance : — Couple de variables al´eatoires ;
— Loi conditionnelle ;
— Ind´ependance d’un couple de variables al´eatoires ;
— Loi d’une somme de variables al´eatoires discr`etes ind´ependantes ;
— Ind´ependance de n variables al´eatoires et d’une suite de variables al´eatoires. • Variables al´eatoires r´eelles :
— D´efinition de l’esp´erance, formule de transfert ; — Propri´et´es de l’esp´erance ;
— Variance ;
— Covariance, variance d’une somme de variables al´eatoires ;
— In´egalit´e de Markov, Tchebychev et loi faible des grand nombre ; — D´efinition de la fonction g´en´eratrice ;
— D´eriv´ees en 1 de la fonction g´en´eratrice ; — Fonctions g´en´eratrices des loi usuelles.
Programme de Colle n10 - PSI
(Mars 2020)
Questions de cours
Il peut vous ˆetre demand´e une d´efinition de cours en plus d’une d´emonstration :
D´efinitions exigibles :
D´efinition d’une variable al´eatoire discr`ete, d´efinition de la loi d’une variable al´eatoire, lois usuelles, loi marginale en fonction de la loi conjointe, caract´erisation de l’ind´ependance avec les lois conditionnelles, d´efinition de l’esp´erance, formule de transfert (cas d´enombrable), variance d’une somme de variables al´eatoires, in´egalit´e de Markov, in´egalit´e de Tchebychev, loi faible des grands nombres, d´efinition de la fonction g´en´eratrice, esp´erance et variance en fonction des d´eriv´ees de la fonction g´en´eratice.
D´emonstrations exigibles :
• Loi d’une somme de deux variables ind´ependantes et application `a la loi de Poisson (M´ethode Section 5.3 et Proposition 5.5 p.23)
• Inegalit´e de Markov, de Bienaym´e-Tchebychev et loi faible des grands nombres
• Fonction g´en´eratrice (avec leur domaine de d´efinition) des lois usuelles (Proposition 8.6 p.39)
• Variance de la loi g´eom´etrique et de la loi de Poisson avec la fonction g´en´eratrice (Corollaire 8.7 p.40)
Il peut aussi vous ˆetre demand´e `a tout moment pour v´erifier que vous connaissez bien votre cours de donner n’importe quelle d´efinition ou propri´et´e essentielle du cours.
