Club de mathématique 1
Les carrés magiques
Ce document contient trop de matière pour un seul club de
mathématiques. La matière du début est plus simple (niveau milieu à fin primaire). Les choses se corsent peu à peu par la suite pour satisfaire les élèves plus avancés.
Même les élèves du secondaire peuvent débuter avec la partie facile du début, elle prépare bien pour la suite.
Première partie : pour les jeunes du primaire (3
eà 8
eannée)
Un carré magique est un carré divisé en n rangées et n colonnes (donc n2 cases) dans lequel on met un nombre dans chaque case de manière à ce que la somme des n nombres de chaque rangée, de chaque colonne et de chaque diagonale est constante. On peut appeler cette constante la constante
magique du carré.
2 7 6 9 5 1 4 3 8
est un carré magique 3 par 3,
la constante magique est 15.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
est un carré magique 4 par 4,
la constante magique est 34
Dans ce qui suit, on s’intéresse aux carrés normaux.
Instructions pour le professeur :
Les démarches suivantes expliquent la construction et la
composition du carré 3 par 3. Pourquoi par exemple le 5 doit-il être toujours au centre?
Il faut procéder lentement et laisser les enfants deviner des choses avant de tout écrire. Il faut les faire observer par eux- mêmes les différentes notions. Par exemple en regardant un carré 3 par 3 ils doivent voir par eux-mêmes qu’un nombre dans un coin apparaît dans trois lignes distinctes (une rangée, une colonne et une diagonale). Puis, en regardant les huit
combinaisons possibles de trois nombres de 1 à 9 dont la somme
est 15, ils doivent observer combien de fois chaque nombre de 1
à 9 apparaît dans ces sommes. Par exemple le 4 apparaît trois
fois (2 + 4 + 9 = 15, 3 + 4 + 8 = 15, 4 + 5 + 6 = 15). Ils
doivent comprendre ce qui se passe et faire les déductions qui
s’imposent (par exemple, le nombre 4 doit aller dans un coin)
Étude du carré 3 par 3.
Le carré 1 par 1 est sans intérêt (même s’il satisfait la définition de carré magique et est donc magique) et il n’existe pas de carré magique 2 par 2 (essayez avec les chiffres 1, 2, 3, 4). Le carré magique 3 par 3 est donc le plus petit carré magique intéressant. On va l’étudier en détail.
Premièrement : il s’agit d’un carré normal, donc il contient 9 = 32 nombres, soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
La somme de ces neuf nombres est :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
Comme il y a trois rangées (ou trois colonnes), toutes égales et dont la somme est 45, la somme dans chaque rangée (et dans chaque colonne et diagonale) doit être égale à 45 15
3 . La constante magique du carré est donc égale à 15.
Deuxièmement : on constate facilement que le carré doit contenir huit différentes sommes de trois entiers entre 1 et 9 (inclusivement) dont la somme est 15 : deux diagonales, trois lignes et trois colonnes. En observant plus attentivement on constate également ceci :
le nombre au centre du carré apparaît dans quatre sommes distinctes (une ligne, une colonne et les deux diagonales)
les nombres dans les coins apparaissent dans trois sommes distinctes (une ligne, une colonne et une diagonale)
les nombres dans les milieux des lignes ou des colonnes du contour n’apparaissent que dans deux sommes distinctes (une ligne et une colonne)
Nombre de sommes selon la position dans le carré :
3 2 3
2 4 2
3 2 3
Troisièmement, écrivons toutes les sommes de trois nombres distincts, entre 1 et 9 inclusivement, dont la somme est égale à 15. Avec un peu de patience, par essai et erreur, ou méthodiquement, peu importe, on trouve exactement 8 sommes possibles :
1 + 5 + 9
1 + 6 + 8
2 + 4 + 9
2 + 5 + 8
2 + 6 + 7
3 + 4 + 8
3 + 5 + 7
4 + 5 + 6
En observant ces sommes on aperçoit que le 5 apparaît dans quatre sommes distinctes (1 + 5 + 9, 2 + 5 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6).
On aperçoit que les nombres pairs 2, 4, 6 et 8 apparaissent chacun dans trois sommes distinctes
(par exemple pour 2 : 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7)
Finalement, on aperçoit que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9 apparaissent exactement dans deux sommes distinctes
(par exemple pour 1 : 1 + 5 + 9 et 1 + 6 + 8)
Le 5 4 sommes 2, 4, 6 et 8 3 sommes 1, 3, 7 et 9 2 sommes
En mettant « deuxièmement » et « troisièmement » ensembles, que remarque-t-on?
3 2 3 Le 5 4 sommes
2 4 2 2, 4, 6 et 8 3 sommes
3 2 3 1, 3, 7 et 9 2 sommes
On voit que le nombre 5 doit forcément être au centre du carré, c’est le seul qui intervient dans quatre sommes distinctes.
On voit ensuite que les nombres pairs, 2, 4, 6 et 8, doivent être dans les coins puisqu’ils interviennent chacun dans trois sommes distinctes.
On voit finalement que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9, doivent être dans les milieux des lignes du pourtour.
Notre carré doit donc ressembler à ceci :
Pair Impair Pair
Impair 5 Impair
Pair Impair Pair
Finalement, construisons notre carré.
On commence avec un 5 au centre
5
On continue en mettant le 2 dans n’importe quel coin. Placer le 2 permet de placer automatiquement le 8 car la diagonale qui contient 2 et 5 doit contenir 8 pour que ça fasse 15 en tout (2 + 5 + 8 = 15).
8 5 2
Ensuite on place le 4 dans un des coins restants, ce qui place automatiquement le 6 car 4 + 5 + 6 = 15.
6 8
5
2 4
Finalement les quatre cases restantes se remplissent automatiquement car la somme de chaque ligne et chaque colonne doit faire 15. On obtient le carré suivant :
6 1 8 7 5 3 2 9 4
Observations finales
Il y a huit sommes possibles de trois nombres distincts de 1 à 9 et le carré magique 3 par 3 les utilise toutes. Il n’y a pas d’autres manières de faire le carré 3 par 3.
On a vu qu’après avoir placé le 5 (placement automatique) on place le 2 dans un coin (quatre choix).
Cela place automatiquement le 8 (on complète la diagonale 2 – 5 – 8) Ensuite on place le 4 dans un des coins restants (deux choix).
Il y a donc 8 carrés 3 par 3 possibles (4 x 2 = 8)
Ces carrés sont les suivants :
2 9 4 2 7 6 4 9 2 6 7 2 7 5 3 , 9 5 1 , 3 5 7 , 1 5 9 , 6 1 8 4 3 8 8 1 6 8 3 4 4 3 8 6 1 8 8 3 4 8 1 6 9 5 1 , 7 5 3 , 1 5 9 3 5 7 2 7 6 2 9 4 6 7 2 4 9 2
et
Il s’agit en fait d’un seul et unique carré, vu de huit angles différents. On peut en effet passer d’un de ses carrés à un autre par une rotation (90, 180
ou 270) ou par une réflexion (avec comme axe de symétrie la rangée
centrale du carré, la colonne centrale du carré ou une des deux diagonales).
On dit que ces huit carrés sont équivalents.
Exemples : 2 9 4 7 5 3 6 1 8
avec une rotation de 90 (sens horaire) devient le carré
6 7 2 1 5 9 8 3 4
6 7 2 1 5 9 8 3 4
avec la réflexion par rapport à la rangée centrale devient le carré
8 3 4 1 5 9 6 7 2
Exercices possibles :
1 Après avoir bien compris que le placement initial du 5, du 2 et du 4 déterminent complètement le carré, vérifier qu’il y a huit façons de placer ces trois nombres et pour n’importe quelle de ces façons, compléter le carré.
Exemple : Le choix initial
2 4 5
conduit au carré
2 9 4 7 5 3 6 1 8
2. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes rotations
3. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes réflexions
4. Prenez un carré. Faites ses trois rotations (90, 180 et 270) dans le sens horaire. Vous avez maintenant 4 carrés. Observez que les images miroir de ces carrés donnent quatre nouveaux carrés et vérifiez que chacun de ces nouveaux carrés peut être directement obtenu du carré initial par une des quatre réflexions.
Exemple : l’image miroir de
2 7 6 9 5 1 4 3 8
est
6 7 2 1 5 9 8 3 4
.
5. Considérez les deux carrés magiques 4 par 4 suivants :
1 14 15 4 7 2 16 9
12 7 6 9 12 13 3 6
8 11 10 5 1 8 10 15
13 2 3 16 14 11 5 4
et
Montrez qu’ils ne sont pas équivalents (on ne peut pas passer d’un à l’autre par une rotation ou une réflexion, ce ne sont pas tous deux des images du même carré, ce sont deux carrés complètement différents). Cet exercice suggère qu’il y a plus de carrés 4 par 4 distincts, que de carrés 3 par 3. Il y en a en fait beaucoup plus.