• Aucun résultat trouvé

est un carré magique 4 par 4,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "est un carré magique 4 par 4,"

Copied!
17
0
0

Texte intégral

(1)

Club de mathématique 1

Les carrés magiques

Ce document contient trop de matière pour un seul club de

mathématiques. La matière du début est plus simple (niveau milieu à fin primaire). Les choses se corsent peu à peu par la suite pour satisfaire les élèves plus avancés.

Même les élèves du secondaire peuvent débuter avec la partie facile du début, elle prépare bien pour la suite.

Première partie : pour les jeunes du primaire (3

e

à 8

e

année)

Un carré magique est un carré divisé en n rangées et n colonnes (donc n2 cases) dans lequel on met un nombre dans chaque case de manière à ce que la somme des n nombres de chaque rangée, de chaque colonne et de chaque diagonale est constante. On peut appeler cette constante la constante

magique du carré.

2 7 6 9 5 1 4 3 8

 

 

 

 

 

est un carré magique 3 par 3,

la constante magique est 15.

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

 

 

 

 

 

 

est un carré magique 4 par 4,

la constante magique est 34

(2)

Dans ce qui suit, on s’intéresse aux carrés normaux.

Instructions pour le professeur :

Les démarches suivantes expliquent la construction et la

composition du carré 3 par 3. Pourquoi par exemple le 5 doit-il être toujours au centre?

Il faut procéder lentement et laisser les enfants deviner des choses avant de tout écrire. Il faut les faire observer par eux- mêmes les différentes notions. Par exemple en regardant un carré 3 par 3 ils doivent voir par eux-mêmes qu’un nombre dans un coin apparaît dans trois lignes distinctes (une rangée, une colonne et une diagonale). Puis, en regardant les huit

combinaisons possibles de trois nombres de 1 à 9 dont la somme

est 15, ils doivent observer combien de fois chaque nombre de 1

à 9 apparaît dans ces sommes. Par exemple le 4 apparaît trois

fois (2 + 4 + 9 = 15, 3 + 4 + 8 = 15, 4 + 5 + 6 = 15). Ils

doivent comprendre ce qui se passe et faire les déductions qui

s’imposent (par exemple, le nombre 4 doit aller dans un coin)

(3)

Étude du carré 3 par 3.

Le carré 1 par 1 est sans intérêt (même s’il satisfait la définition de carré magique et est donc magique) et il n’existe pas de carré magique 2 par 2 (essayez avec les chiffres 1, 2, 3, 4). Le carré magique 3 par 3 est donc le plus petit carré magique intéressant. On va l’étudier en détail.

 Premièrement : il s’agit d’un carré normal, donc il contient 9 = 32 nombres, soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La somme de ces neuf nombres est :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Comme il y a trois rangées (ou trois colonnes), toutes égales et dont la somme est 45, la somme dans chaque rangée (et dans chaque colonne et diagonale) doit être égale à 45 15

3 . La constante magique du carré est donc égale à 15.

 Deuxièmement : on constate facilement que le carré doit contenir huit différentes sommes de trois entiers entre 1 et 9 (inclusivement) dont la somme est 15 : deux diagonales, trois lignes et trois colonnes. En observant plus attentivement on constate également ceci :

le nombre au centre du carré apparaît dans quatre sommes distinctes (une ligne, une colonne et les deux diagonales)

les nombres dans les coins apparaissent dans trois sommes distinctes (une ligne, une colonne et une diagonale)

les nombres dans les milieux des lignes ou des colonnes du contour n’apparaissent que dans deux sommes distinctes (une ligne et une colonne)

Nombre de sommes selon la position dans le carré :

3 2 3

2 4 2

3 2 3

(4)

 Troisièmement, écrivons toutes les sommes de trois nombres distincts, entre 1 et 9 inclusivement, dont la somme est égale à 15. Avec un peu de patience, par essai et erreur, ou méthodiquement, peu importe, on trouve exactement 8 sommes possibles :

1 + 5 + 9

1 + 6 + 8

2 + 4 + 9

2 + 5 + 8

2 + 6 + 7

3 + 4 + 8

3 + 5 + 7

4 + 5 + 6

En observant ces sommes on aperçoit que le 5 apparaît dans quatre sommes distinctes (1 + 5 + 9, 2 + 5 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6).

On aperçoit que les nombres pairs 2, 4, 6 et 8 apparaissent chacun dans trois sommes distinctes

(par exemple pour 2 : 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7)

Finalement, on aperçoit que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9 apparaissent exactement dans deux sommes distinctes

(par exemple pour 1 : 1 + 5 + 9 et 1 + 6 + 8)

Le 5 4 sommes 2, 4, 6 et 8 3 sommes 1, 3, 7 et 9 2 sommes

(5)

 En mettant « deuxièmement » et « troisièmement » ensembles, que remarque-t-on?

3 2 3 Le 5 4 sommes

2 4 2 2, 4, 6 et 8 3 sommes

3 2 3 1, 3, 7 et 9 2 sommes

On voit que le nombre 5 doit forcément être au centre du carré, c’est le seul qui intervient dans quatre sommes distinctes.

On voit ensuite que les nombres pairs, 2, 4, 6 et 8, doivent être dans les coins puisqu’ils interviennent chacun dans trois sommes distinctes.

On voit finalement que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9, doivent être dans les milieux des lignes du pourtour.

Notre carré doit donc ressembler à ceci :

Pair Impair Pair

Impair 5 Impair

Pair Impair Pair

(6)

 Finalement, construisons notre carré.

On commence avec un 5 au centre

5

 

 

 

 

 

On continue en mettant le 2 dans n’importe quel coin. Placer le 2 permet de placer automatiquement le 8 car la diagonale qui contient 2 et 5 doit contenir 8 pour que ça fasse 15 en tout (2 + 5 + 8 = 15).

8 5 2

 

 

 

 

 

Ensuite on place le 4 dans un des coins restants, ce qui place automatiquement le 6 car 4 + 5 + 6 = 15.

6 8

5

2 4

 

 

 

 

 

Finalement les quatre cases restantes se remplissent automatiquement car la somme de chaque ligne et chaque colonne doit faire 15. On obtient le carré suivant :

6 1 8 7 5 3 2 9 4

 

 

 

 

 

(7)

 Observations finales

Il y a huit sommes possibles de trois nombres distincts de 1 à 9 et le carré magique 3 par 3 les utilise toutes. Il n’y a pas d’autres manières de faire le carré 3 par 3.

On a vu qu’après avoir placé le 5 (placement automatique) on place le 2 dans un coin (quatre choix).

Cela place automatiquement le 8 (on complète la diagonale 2 – 5 – 8) Ensuite on place le 4 dans un des coins restants (deux choix).

Il y a donc 8 carrés 3 par 3 possibles (4 x 2 = 8)

Ces carrés sont les suivants :

2 9 4 2 7 6 4 9 2 6 7 2 7 5 3 , 9 5 1 , 3 5 7 , 1 5 9 , 6 1 8 4 3 8 8 1 6 8 3 4 4 3 8 6 1 8 8 3 4 8 1 6 9 5 1 , 7 5 3 , 1 5 9 3 5 7 2 7 6 2 9 4 6 7 2 4 9 2

et

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

Il s’agit en fait d’un seul et unique carré, vu de huit angles différents. On peut en effet passer d’un de ses carrés à un autre par une rotation (90, 180

ou 270) ou par une réflexion (avec comme axe de symétrie la rangée

centrale du carré, la colonne centrale du carré ou une des deux diagonales).

On dit que ces huit carrés sont équivalents.

(8)

Exemples : 2 9 4 7 5 3 6 1 8

 

 

 

 

 

avec une rotation de 90 (sens horaire) devient le carré

6 7 2 1 5 9 8 3 4

 

 

 

 

 

6 7 2 1 5 9 8 3 4

 

 

 

 

 

avec la réflexion par rapport à la rangée centrale devient le carré

8 3 4 1 5 9 6 7 2

 

 

 

 

 

Exercices possibles :

1 Après avoir bien compris que le placement initial du 5, du 2 et du 4 déterminent complètement le carré, vérifier qu’il y a huit façons de placer ces trois nombres et pour n’importe quelle de ces façons, compléter le carré.

Exemple : Le choix initial

2 4 5

 

 

 

 

 

conduit au carré

2 9 4 7 5 3 6 1 8

 

 

 

 

 

2. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes rotations

3. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes réflexions

(9)

4. Prenez un carré. Faites ses trois rotations (90, 180 et 270) dans le sens horaire. Vous avez maintenant 4 carrés. Observez que les images miroir de ces carrés donnent quatre nouveaux carrés et vérifiez que chacun de ces nouveaux carrés peut être directement obtenu du carré initial par une des quatre réflexions.

Exemple : l’image miroir de

2 7 6 9 5 1 4 3 8

 

 

 

 

 

est

6 7 2 1 5 9 8 3 4

 

 

 

 

 

.

5. Considérez les deux carrés magiques 4 par 4 suivants :

1 14 15 4 7 2 16 9

12 7 6 9 12 13 3 6

8 11 10 5 1 8 10 15

13 2 3 16 14 11 5 4

et

   

   

   

   

   

   

Montrez qu’ils ne sont pas équivalents (on ne peut pas passer d’un à l’autre par une rotation ou une réflexion, ce ne sont pas tous deux des images du même carré, ce sont deux carrés complètement différents). Cet exercice suggère qu’il y a plus de carrés 4 par 4 distincts, que de carrés 3 par 3. Il y en a en fait beaucoup plus.

(10)

Approfondissement possible, pour des groupes plus avancés

Généralités sur les carrés 4 par 4

Après avoir étudié le carré 3 par 3 on peut parler des carrés 4 par 4. La situation est nettement plus complexe et on ne peut pas en faire une étude approfondie

facilement, on peut cependant dire plusieurs choses intéressantes.

Comme on a vu, il y a huit carrés magiques 3 par 3, mais ces carrés sont en faits équivalents et sont différentes images d’un seul et unique carré. On dira qu’il y a une seule classe d’équivalence de carrés magiques normaux 3 par 3. Un seul carré que l’on peut observer de différents angles.

Bernard Frénicle de Bessy (France, 17

e

siècle) a fait une étude complète des carrés magiques normaux 4 par 4 (publiée à titre posthume en 1693). Dans cette étude il montre qu’il y a 880 classes d’équivalences de carrés magiques 4 par 4 distinctes. Chacune de ses classes contient huit carrés magiques qui sont l’image l’un de l’autre par une symétrie (rotation ou réflexion). Il a

classé tous ces carrés magiques en fonction du placement

des paires de nombres dont la somme est 17.

(11)

Considérons maintenant à titre d’exemples les deux carrés suivants :

1 14 15 4 7 2 16 9

12 7 6 9 12 13 3 6

8 11 10 5 1 8 10 15

13 2 3 16 14 11 5 4

et

   

   

   

   

   

   

Dans le premier, les deux nombres de chaque paire dont la somme est 17 sont placés symétriquement par rapport au centre du carré. Par exemple 1 et 16 ou encore 6 et 11.

Dans le second, les deux membres de chaque paire sont placés aux extrémités d’une diagonale d’un sous-carré 3 par 3, comme le 7 et le 10 sur l’illustration suivante :

7 .

. 10 . . . . .

 

 

    

 

   

 

 

.

En fonction de ses placements, les carrés des diverses catégories ont les propriétés particulières, parfois très intéressante. Les carrés de la catégorie du second

exemple sont très intéressants, on les appelle des carrés

diaboliques. Parmi leurs propriétés, tous les sous carrés

2 par 2 de ces carrés (chacun en a 9) contient quatre

nombres dont la somme est 34, la constante magique du

carré.

(12)

Construction de carrés 4 par 4.

Construire le carré suivant en inscrivant dans l’ordre, de haut en bas et de gauche à droite, les nombres de 1 à 16.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

 

 

 

 

 

 

.

Le carré obtenu n’est pas magique. Mais il suffit d’inverser les éléments dans chaque diagonale pour obtenir le carré magique suivant :

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

 

 

 

 

 

 

.

Au lieu de commencer avec un carré dans lequel on place dans l’ordre les entiers 1 jusqu’à 16, on peut modifier la procédure : on forme

d’abord un carré en plaçant d’abord les nombres impairs 1 jusqu’à 15 et ensuite les nombres pairs 2 jusqu’à 16. Le carré obtenu n’est pas

magique, mais en inversant les diagonales comme avec l’exemple précédent, on obtient le carré magique suivant :

16 3 5 10 9 6 4 15 2 13 11 8 7 12 14 1

 

 

 

 

 

 

.

On observe que les deux carrés qu’on vient de construire sont du même

type que notre premier exemple : les paires de nombres dont la somme

est égale à 17 sont placés symétriquement par rapport au centre du

(13)

carré. Ces carrés sont dits symétriques. Notez que les trois carrés

symétriques qu’on a vus ne sont pas équivalents, ils sont bien distincts.

(Exercice : vérifiez qu’ils ne sont pas équivalents)

Propriétés des carrés 4 par 4

À priori dans un carré normal 4 par 4 nous avons 10

lignes dont la somme des quatre nombres est égale à 34 (quatre rangées, quatre colonnes et deux diagonales).

En fait il y a toujours au moins quatre autres groupes de quatre nombres dont la somme est 34. Considérons le carré suivant :

a c c a d b b d d b b d a c c a

 

 

 

 

 

 

Si ce carré est magique et normal,

la somme des quatre nombres marqués « a » est égale à 34 (les 4 coins)

la somme des quatre nombres marqués « b » est égale à 34 (le carré central)

la somme des quatre nombres marqués « c » est

égale à 34 (les nombres situés au milieu de la rangée du haut et de la rangée du bas)

la somme des quatre nombres marqués « d » est

(14)

Note : si le carré n’est pas normal mais est magique, ces quatre sommes sont toujours égales à la constante

magique du carré.

Vous pouvez vérifier que ces sommes sont bien égales à 34 sur tous les carrés vus jusqu’ici.

Preuve de cette affirmation :

Appelons A la somme des quatre nombres marquées

« a ». Appelons B la somme des quatre nombres marqués

« b ». Appelons C la somme des quatre nombres marqués « c ». Appelons D la somme des quatre nombres marqués « d ».

On voit clairement que A + B = 68 (deux diagonales). A + C = 68 (deux rangées). A + D = 68 (deux colonnes).

B + C = 68 (deux colonnes). Puisque A + B = A + C = A + D, on a B = C = D. Puisque B + C = 68 et B = C, on a B = C = 34. A + C = 68 entraîne que A = 34. A + D = 68 entraîne que D = 34.

On a bien montré que A = B = C = D = 34!

Le même raisonnement peut être fait avec n’importe quel carré magique 4 par 4 en remplaçant 34 par la constante magique du carré.

Donc, dans tout carré magique 4 par 4, il y a 14 groupes

de 4 nombres dont la somme est égale à la densité du

carré (quatre rangées, quatre colonnes, deux diagonales,

les quatre coins, le carré central, les nombres au milieu

(15)

des rangées du haut et du bas, les nombres au milieu des colonnes de gauche et de droite).

Dans le cas du carré 3 par 3 on a vu qu’on avait besoin de huit sommes de trois nombres donnant 15 et on a vu qu’il existe exactement 8 groupes de trois nombres de 1 à 9 dont la somme est 15. Chacune des huit sommes doit être utilisées.

Dans le cas du carré 4 par 4 la situation est bien

différente. On a besoin de 14 groupes de quatre nombres de 1 à 16 dont la somme est 34, il en existe 86. Le choix est beaucoup plus grand et cela explique pourquoi il y a bien plus de carrés 4 par 4 que de carrés 3 par 3.

Certains carrés ont bien plus que 14 groupes de quatre nombres, bien placés (ligne, carré, double paire, …).

Mais puisque le choix se fait parmi 86 sommes possibles,

les possibilités sont grandes.

(16)

Outre les lignes (10 lignes), les carrée 2 par 2 (9 carrés) et les doubles paires vus plus haut, bien d’autres jolies configurations sont possibles. En voici quelques-unes :

, , ,

, ,

          

       

                    

       

                    

                  

       

        

     

            

     

              

               

     

X X X X X

X X X

X X X

X X X X X

X X X

X X X X X

X X X

X

,

,

 

 

     

 

   

        

    

   

          

   

        

          

   

X X

X X

X X X

X

X X X

X

(17)

Références

Documents relatifs

Lorsque Nanard grandit, deux petites pattes poussent à l’arrière de son corps.. Puis deux

Il suffit de choisir un carré et un cube plus grand que ce carré de telle sorte que la différence entre les deux termes qui est égale à la raison soit inférieure au carré.. - Une

Soit un carré magique 4 x 4 qui utilise les entiers de 1 à 16 et dont la somme des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales est égale à 34.. Les positions des

On peut aussi éliminer assez rapidement le couple 9/16 pour la première colonne, une somme à 33 étant impossible avec 3 nombres pris parmi 7, 10, 11, 13 et 14. Nous voici donc avec

On vérifie aisément que les propriétés précédentes entraînent l’égalité de la somme des carrés des nombres lus en ligne de gauche à droite et celle des carrés des nombres

Ainsi dans le premier carré à remplir situé en haut et au milieu et de couleur vert clair, on reproduit le carré magique 3x3, puis dans le carré situé en bas à droite de

La grille ci-après a l’allure d’une grille de sudoku dans laquelle l’objectif est de compléter chacun des neuf carrés 3x3 ainsi que chaque ligne et.. chaque colonne du carré

Pour vous assurer que votre enfant a compris la leçon, vous pouvez lui demander : - Si les figures suivantes sont des triangles, des rectangles, des carrés ou autre chose.. -