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Si N possède n chiffres, le rapport entre N et s(N) est minoré par

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Academic year: 2022

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(1)

SOLUTION  61.

En base 10 trouver un entier non nul égal à 61 fois la somme de ses chiffres.

Démontrer que c’est impossible pour 62.

Un examen des premiers multiples de 61 donne immédiatement : 732 = 61  (7 + 3 + 2) Pour 62, c’est plus compliqué :

Notons s(N) la somme des chiffres de N.

Si N possède n chiffres, le rapport entre N et s(N) est minoré par  

 

n

n 9 10 1

9 ...

9 9

0 ...

100 un.

Or un est croissante (examiner le rapport un+1 / un ), et comme u5  222 > 62, il suffit d’examiner les entiers N ayant 4 chiffres au plus.

Examinons ceux qui sont compris entre 2000 et 9999 :

S’ils commencent par 2, le rapport entre N et s(N) est minoré par 68,9 62 27

2

2000  

 .

S’ils commencent par 3, le rapport entre N et s(N) est minoré par 100 62 27

3

3000  

 .

Et ainsi de suite jusqu’à 9 où le rapport est minoré par 9000 / 36 = 250 > 32.

Il ne reste à examiner que les multiples de 62 inférieurs à 2000, pour lesquels le rapport entre N et s(N) n’est entier que 6 fois, mais jamais égal à 62.

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