Courbes algébriques complexes

(d’après Philip Griffiths)

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1

Chapitres

Concepts fondamentaux . . . 3.

Normalisation des courbes algébriques complexes planes et applications . . . 35.

Fonctions elliptiques . . . 78.

Structure abstraite et structure concrète de la théorie . . . 109.

Théorème de Riemann-Roch extrinsèque . . . 118.

Applications du théorème de Riemann-Roch . . . 146.

Théorème d’Abel et applications . . . 175.

Surfaces de Riemann non compactes . . . 213.

Théorème d’approximation de Runge . . . 246.

Théorème de Mittag-Leffler et Théorème de Weierstrass . . . 258.

Théorème d’uniformisation de Riemann-Poincaré-Koebe . . . 265.

Concepts fondamentaux

§ 1. Courbes algébriques dans le plan projectif complexeP²(C)

Soit f(x, y) un polynôme en deux variables à coefficients réels. Le sous-ensemble de R²qui est défini comme le lieu d’annulation de l’équation :

(1) f(x, y) = 0

est appelé unecourbe algébrique; le degré du polynômef(x, y)est appelé ledegréde cette courbe algébrique. Par exemple, les courbes algébriques de degrés1 et2sont les droites, les ellipses, les hyperboles et les paraboles.

Toutefois, lorsqu’on étudie les courbes algébriques plus générales dans le contexte des nombres réels, de nombreux problèmes apparaissent qu’il est difficile de résoudre de ma- nière complètement satisfaisante. La raison principale en est que le corps des nombres réels n’est pas algébriquement clos.

Par exemple, supposons que l’on souhaite discuter du nombre de points d’intersection entre la courbe algébrique C définie par (1) et une droite quelconque L. Sans perte de généralité, on peut supposer que la droiteLpasse par l’origine, puisqu’on se ramène à cela après un éventuel recentrage du système de coordonnées, de telle sorte que les équations paramétriques de la droiteLs’écrivent simplement :

(2)

x=α t, y =β t,

oùαetβ sont deux constantes réelles. De plus,f se développe :

f(x, y) = f_n(x, y) +f_n−1(x, y) +· · ·+f₁(x, y) +f₀

en une somme de polynômes f_k(x, y) homogènes de degré k. Après remplacement — c’est-à-dire restriction à la droite —, on obtient :

f_n(α, β)tⁿ+f_n−1(α, β)tⁿ⁻¹+· · ·+f₁(α, β) +f₀ = 0.

Mais lorsqu’il s’agit de déterminer le nombre de racines d’une équation réelle en une va- riable t, on ne peut pas espérer une réponse nette et uniforme, car — on le sait ! —, le nombre de racines réelles dépend fortement de la nature des coefficients.

Heureusement, lorsqu’on considère f(x, y) comme étant un polynôme à coefficients complexes en deux variables (x, y) ∈ C² elles aussi complexes, et partant, la courbe (1) comme une courbe algébrique complexe dans C², alors le nombre de points d’intersec- tion entre la courbe complexe (1) et la droite complexe (2) est encore donné par la même équation à une variable complexe t. Grâce au théorème fondamental de l’algèbre dit de d’Alembert-Gauss, tant que son coefficient dominant f_n(α, β) 6= 0 sera non nul, cette équation qui gouverne le lieu d’intersection L∩C aura exactement n racines, comptées avec multiplicité. En termes géométriques, la courbe algébrique complexe C de degré n et la droite complexeL de degré1 s’intersecteront en exactement n points comptés avec multiplicité. Ainsi, les points d’intersection ensembliste deC∩Lqui correspondront à des

racines multiples de ce polynôme entdevront être envisagés comme des points d’intersec- tionmultiples.

Bien entendu, il se présente des cas exceptionnels dans cette discussion, à savoir lorsque l’on a :

f_n(α, β) =f_n−1(α, β) = · · ·=f_m+1(α, β) = 0, mais fm(α, β)6= 0,

pour un certain entierm avec 0 6 m 6 n qui peut d’ailleurs être quelconque. Dans une telle circonstance, L et C s’intersectent en seulement m points de C², toujours comptés avec multiplicité. Mais notre polynôme d’origine était de degrén!

Pour remédier à cette imperfection — et mieux appréhender la nécessité métaphysique d’introduide la géométrie projective —, nous affirmons que(n−m)points d’intersection supplémentaires existent encore, bien qu’il soient cachés à l’infini.

En voici l’explication. Substituons 1/s à t dans l’équation des intersections et multi- plions le résultat parsⁿpour éliminer les dénominateurs :

f_n(α, β) +f_n−1(α, β)s+· · ·+f₁(α, β)sⁿ⁻¹+f₀sⁿ = 0.

Lorsque dans le cas générique déjà vu on a fn(α, β) 6= 0, la valeur nulle s = 0 — qui correspond àt=∞ — ne peut visiblement pas être une racine ; mais lorsque dans un des cas exceptionnels quelconque on a :

f_n(α, β) =f_n−1(α, β) =· · ·=f_m+1(α, β) = 0, tandis que :

f_m(α, β)6= 0,

alorss = 0qui correspond àt = ∞devient une racine multiple de multiplicité égale à la quantité manquante(n−m)!

Géométriquement parlant, la droiteLet la courbeCont un point d’intersection à l’infini qui est de multiplicité(n−m). Par conséquent, si on souhaite présever la stabilité numé- rique des intersections, il est naturel d’ajouter une droite à l’infiniL_∞à l’espace euclidien complexeC², ce qui nous conduit tout naturellement au fameux espace projectif complexe P²(C)à deux dimensions.

L’objectif principal de cette partie du cours sera l’étude des surfaces de Riemann com- paces envisagées comme courbes algébriques complexes immergées dans le plan projectif complexeP²(C).

La manière la plus simple de comprendre comment on ‘ajoute’ àC²cette droite à l’infini L_∞ qui n’est autre qu’une copie de la sphère de Riemann — consiste à introduire ce qu’on appelle l’homogénéisation. Pour un point(x, y) ∈ C², il est bien connu que sescoordon- nées homogènessont un ensemble de trois nombres complexes(ζ, ξ, η)qui les représentent sous forme de quotients :

(3) x=ξ/ζ et y=η/ζ.

Visiblement, si (ζ, ξ, η) sont des coordonnées homogènes représentant (x, y), alors pour tout facteur complexe dilatant λ ∈ C\{0} non nul, λζ, λξ, λη

seront encore des coor- données homogènes représentant(x, y). Notons qu’afin d’assurer que la représentation (3) soit bien définie, il est nécessaire de supposer queζ 6= 0.

Intuitivement, dès queξetηfixés ne sont pas tous deux nuls, si l’on fait tendreζ → 0, le point deC²correspondant :

(x, y) := ^ξ_ζ, ^η_ζ

tend vers l’infini asymptotiquement dans la direction définie par la droite de pente ξ: η passant par l’origine. Par conséquent, il est naturel de s’imaginer que (0, ξ, η) sont les coordonnées homogènes d’un certain point idéal situé à l’infini dans cette directionξ: η.

De cette manière et grâce à de telles coordonnées homogènes, onajouteun point à l’infini dans chaque direction deC², et l’ensemble de tous ces points à l’infini est appelé ladroite à l’infini:

L_∞.

On verra dans peu de temps que cette droite à l’infini s’identifie aussi à un espace projectif complexeP¹(C) = C∪{∞}de dimension1qui est le plan complexe usuel d’Argand-Gauss ayant son propre point à l’infini. Ainsi,C² auquel on ajoute une telle droite à l’infiniL_∞ est-il classiquement appelé leplan projectif complexe(‘plan’ pour ‘dimension complexe2’

ici ; ‘droite’ pour ‘dimension complexe1’ aussi).

Reprenons maintenant une description plus rigoureuse et classique de cet espaceP²(C).

DansC³

{(0,0,0)}privé de l’origine, on introduit une relation∼: (4)

((ζ, ξ, η)∼ ζ⁰, ξ⁰, η⁰

si et seulement si ∃λ∈C\{0} tel que : ζ⁰ =λζ, ξ⁰ =λξ, η⁰ =λη,

qui s’avère être une relation d’équivalence, comme on s’en convaincra aisément. De la sorte, C³

{(0,0,0)} se partitionne en des classes d’équivalences qui, géométriquement, ne sont autres que les droites épointées de C³\{(0,0,0)} passant par l’origine. La classe d’équivalence d’un triplet(ζ, ξ, η)non nul est classiquement notée :

[ζ: ξ: η].

Visiblement, on a la règle d’invariance par dilatation : [ζ:ξ: η] =

λζ: λξ: λη

∀λ∈C\{0}. L’espace quotient induit par cette relation d’équivalence :

C³

{(0,0,0)}

∼

est appelé leplan projectif complexe, et il est notéP²(C), ou plus brièvementP² lorsqu’il est clair qu’on travaille sur les nombres complexes. En tant qu’espace quotient,P²(C)est muni de la topologie quotient naturelle. Un peu plus loin, on présentera la structure abstraite de variété complexe dontP²(C)peut naturellement être muni.

Il est grand temps de revenir à notre courbe complexeC dansC². Quelle est sa repré- sentation en coordonnées homogènes ? Il suffit de remplacer :

x=ξ/ζ et y=η/ζ

dans l’équation (1) et de multiplier le résultat parζⁿafin d’éliminer les dénominateurs pour obtenir une nouvelle équation :

F(ζ, ξ, η) := f_n(ξ, η) +ζ f_n−1(ξ, η) +· · ·+ζⁿ⁻¹f₁(ξ, η) +ζⁿf₀ = 0

qui a la propriété remarquable que tous ses monômes sont homogènes du même degrén.

Réciproquement aussi, à tout polynôme homogèneF(ζ, ξ, η)non identiquement nul en trois variables complexes est associée la courbe algébrique d’équation :

(5) F(ζ, ξ, η) = 0,

et le degré deF est appelé ledegréde cette courbe.

En conclusion, il y a donc une correspondance biunivoque entre algèbre et géométrie :

Polynômes à trois variables←→Courbes algébriques projectives,

qui est absolument fondamentale puisqu’elle garantit la richesse inépuisable des êtres géo- métriques grâce au foisonnement potentiellement indéfini des combinatoires symboliques.

L’équationF(ζ, ξ, η) = 0est appelée l’équation homogènede la courbe

f(x, y) = 0 . Bien entendu, si l’on restreint le propos àC² = P²

L_∞, cette courbe algébrique satisfera l’équation affine:

f(x, y) = 0, où l’on retrouve le polynômef par :

f(x, y) =F(1, x, y).

En résumé :

Proposition.L’équation polynomiale homogène : F(ζ, ξ, η) = 0

d’une courbe algébrique complexe quelconque dans l’espace projectif complexe P²(C) détermine son équation affine :

f(x, y) :=F(1, x, y) = 0 dans l’espace euclidien affine finiC² =P²

L_∞.

Inversement, le degré — soit n > 1 — d’une courbe algébrique dans C² = P² L_∞ ainsi que son équation affinef(x, y) = 0déterminent conjointement l’équation homogène :

F(ζ, ξ, η) := ζⁿf ^ξ_ζ, ^η_ζ

de son prolongement à tout l’espace projectif complexeP²(C).

§ 2. Surfaces de Riemann

Il existe une relation intime entre l’étude des surfaces de Riemann compactes et celle des courbes algébriques complexes : toute courbe algébrique plane admet une représenta- tion paramétrique holomorphe dont le domaine est une surface de Riemann compacte. Plus précisément, on a le théorème suivant ditde normalisation, dont la preuve et les concepts seront présentés ultérieurement. La normalisation est un outil très puissant en géométrie algébrique qui préfigure les théorème plus délicats de désingularisation en dimensions su- périeures.

Théorème.Pour toute courbe algébrique irréductibleC ⊂P²(C), il existe une surface de Riemann compacte :

Ce et une application holomorphe :

σ: Ce−→P²(C)

surjective :

σ Ce

=C

telle queσest bijective sur l’image inverse de l’ensemble des points géométriquement lisses deC:

Ce

σ⁻¹ Sing(C)−→∼= C

Sing(C).

Une telle surface de Riemann compacte Ce munie d’une telle application holomorphe σ est appelée la normalisation de C, l’utilisation de l’article défini ‘la’ étant justifié par l’énoncé suivant d’unicité à isomorphisme près.

Théorème.Si C, σe

et Ce⁰, σ⁰

sont deux normalisations d’une même courbe algébrique C⊂P²(C), alors il existe une application biholomorphe :

τ: Ce−→Ce⁰ qui rend commutatif le diagramme suivant :

Ce ^{τ //}

σ??????

?? Ce⁰

σ⁰

~~~~~~~

C, à savoir qui satisfait :

σ =σ⁰◦τ.

D’un autre côté, toute surface de Riemann compacte peut être représentée comme une certaine courbe algébrique, d’après un fait fondamental qui sera le point de départ du cours de cette année.

Théorème.Toute surface de Riemann compacteCepeut être obtenue comme étant la nor- malisée d’une certaine courbe algébrique complexe plane :

C⊂P²(C)

qui, si elle n’est pas géométriquement lisse, n’a comme singularités que des points doubles où C est croisements normaux (deux et seulement deux branches transverses en de tels points). Plus précisément, il existe une application holomorphe :

σ: Ce−→P²(C) telle que σ Ce

=: C est une courbe algébrique possédant au plus des points doubles ordinaires.

Définition abstraite en termes de cartes holomorphes.Les théorèmes qui précèdent et que nous démontrerons ultérieurement assurent que l’étude, d’une part, des surfaces de Riemanncompacteset celle, d’autre part, des courbes algébriques complexes planes sont équivalentes. Maintenant, énonçons la définition abstraite et générale des surfaces de Rie- mann et effectuons un survol (oral) de la topologie des surfaces pour rappeler les résultats dont nous aurons besoin dans ce cours.

Définition.Unesurface de Riemannest un espace topologiqueCséparé muni d’un recou- vrement ouvert :

U_α

α∈A

et d’une famille d’applications :

zα: Uα −→C satisfaisant les propriétés suivantes :

(a)chaquez_α: U_α −→Cest unhoméomorphismedeU_α sur son imagez_α U_α

, qui est un ouvert deC;

(b)sur chaque intersection non videU_α∩U_β 6=∅, la fonctionchangement de carte: zβ ◦z_α⁻¹: zα Uα∩Uβ

−→zβ Uα∩Uβ

est une application biholomorphe, à savoir elle est holomorphe, bijective, et son inverse z_α◦z_β⁻¹ est aussi holomorphe :

U_α∩U_β

zα

wwppppppppppp _z

β

''N

NN NN NN NN NN

zα Uα∩Uβ

zβ◦z⁻α¹

// zβ Uα∩Uβ

.

Une telle paire U_α, z_α

sera appelée une coordonnée (holomorphe) locale sur la surface de RiemannC, et la collection :

U_α, z_{α α∈A}

sera appelée unrecouvrement deCpar des ouverts de coordonnées.

Exemple. Nous affirmons que le plan complexe d’Argand-Gauss Cque l’on compactifie en lui ajoutant un point à l’infini :

C∪ {∞}

est une surface de Riemann au sens de la définition abstraite vue à l’instant. En effet, c’est un espace topologique séparé si l’on déclare que la collection des ensembles :

|z|> R: z∈C ∪ {∞},

lorsque les rayonsR >0augmentent, est une base d’ouverts de{∞}. En considérant alors son recouvrement par les deux ouverts :

U0 :=C et U1 := C\{0}

∪ {∞}, si l’on introduit les deux applications :

z₀: U₀ −→C, z 7−→z, z₁: U₁ −→C,

z 7−→

0 si z =∞, 1/z lorsque z 6=∞, alors il est clair que la composée-changement de carte :

z₁◦z₀⁻¹: C\{0} −→C\{0} z 7−→1/z

est une application biholomorphe.

D’un point de vue géométrique, nous affirmons à présent que l’on peut identifier la sphère unité :

S³ :=

(x, y, z)∈R³: x²+y²+z² = 1

dans l’espace euclidien tridimensionnel ordinaire avec notre surface de Riemann : C∪ {∞} ≡R²∪ {∞},

grâce à la projection dite stéréographique. Par conséquent, cette surface de Riemann C∪ {∞}s’identifie à une sphère, ditesphère de Riemann. Donnons quelques précisions analytiques.

Reprenons notre recouvrement

U₀,U₁ deC∪{∞}, distinguons le pôle nord et le pôle sud sur notre sphère unité :

n:= (0,0,1)∈S³ et s:= (0,0,−1)∈S³, et introduisons les deux applications suivantes :



Φ₀: S³

{s} −→C (x, y, z)7−→ x−iy

1 +z ,



Φ₁: S³

{n} −→C (x, y, z)7−→ x+iy

1−z . Puisque l’on calcule aisément :

Φ₁◦Φ⁻¹₀ : C\{0} −→C\{0} z 7−→1/z, Φ₀◦Φ⁻¹₁ : C\{0} −→C\{0}

z 7−→1/z,

il est visible que ces deux applications — mutuellement inverses — sont effectivement biholomorphes.

Toute fonction holomorphe qui envoie un ouvertUdeCsur un autre ouvertVdeC: w=f(z), où w=u+iv et z =x+iy,

définit aussi simultanément une applicationC^∞: u=u(x, y), v =v(x, y),

entre les deux même ouverts. Par conséquent, si l’on considère que les changements de cartesz_β ◦z_α⁻¹ d’une structure de surface de Riemann sontC^∞, toute surface de Riemann est automatiquement équipée aussi d’une structure de surfaceC^∞ sous-jacente, bien que moins rigide et donnant moins d’information.

Rappelons que le caractère holomorphe d’une application : z 7−→f(z) = w

équivaut à ce que ses parties réelle et imaginaire satisfassent les équations ditesde Cauchy-

Riemann: 





∂u

∂x = ∂v

∂y,

∂u

∂y =−∂v

∂x.

Orientabilité automatique des variétés complexes.Toute surface de Riemann est orien- table.

DÉMONSTRATION. En effet, lors d’un tel changement de carte holomorphe quel- conquez 7−→ f(z) = w, le déterminant jacobien de l’application induite de U ⊂ R² à valeurs dansV⊂R² :

det

_∂u

∂x

∂u

∂v ∂y

∂x

∂v

∂y

= ∂u

∂x

∂v

∂y − ∂u

∂y

∂v

∂x

= ∂u

∂x 2

+ ∂u

∂y 2

>0

est toujours forcément positif. Il en découle que tous les changements de cartes z_β ◦z_α⁻¹ conservent de manière cohérente l’une des deux orientations dont on peut munir leur espace

commun d’arrivéeR².

§ 3. Fonctions holomorphes et fonctions méromorphes

Localement, une surface de Riemann est juste un ouvert deC. Par conséquent, de nom- breux concepts et objets de la théorie des fonctions à une variable complexe (e.g.les fonc- tions holomorphes et les fonctions méromorphes) peuvent être définis sur une surface de Riemann en utilisant les coordonnées locales, autant que ces objets d’étude demeurent in- variants à travers les changement de carte.

Définition.SoitCune surface de Riemann et soit

(U_i, z_i)_i∈I un recouvrement deCpar des ouverts de cartes holomorphes :

z_i: U_i −→C.

Une fonctionméromorphe, resp.holomorphe,f surCest la donnée d’une famille d’appli- cations :

f_i: U_i −→C∪ {∞}, resp. d’applications :

f_i: U_i −→C, qui satisfont les conditions suivantes :

•sur toute intersection non videUi∩Uj 6=∅, on a coïncidence des restrictions : f_i

Ui∩Uj =f_j

Ui∩Uj;

•chaque fonction :

f_i◦z_i⁻¹: z_i U_i

−→C∪ {∞}, resp. C, est méromorphe, resp. holomorphe.

Notation.L’algèbre des fonctions holomorphes surC sera notéO(C). Le corps des fonc- tions méromorphes surC sera notéM(C).

Théorème.Sur une surface de Riemanncompacte, toutes les fonctions holomorphes sont constantes.

DÉMONSTRATION. Conséquence directe du principe du maximum.

Toutefois, comme nous le verrons, de nombreuses fonctionsméromorphesexistent sur les surfaces de Riemann compactes, et la théorie se concentre principalement sur leur construction, sur leur étude et sur leurs très nombreuses applications.

Définition (Ordre de multiplicité des fonctions).Soit C une surface de Riemann com- pacte, soitf ∈ M(C)

{0}une fonction méromorphe non identiquement nulle, et soit un pointp ∈ C. Soit aussi z une coordonnée holomorphe locale centrée au voisinage de p, à savoir qui satisfait z(p) = 0 ∈ C. Alors dans cette coordonnée, on peut factoriser de manière unique le développement de Laurent :

f(z) = z^νh(z),

avec un certain entier relatifν ∈ Z et avec une certaine fonction-reste holomorphe h(z) satisfaisanth(0)6= 0. Pour toute autre coordonnée locale centrée enp, la valeur de l’entier νreste la même (exercice impératif). Cet entier uniquement déterminé par la fonctionf est alors appelé l’ordreou lamultiplicitédef au pointpet il sera noté :

ν_p(f).

Lorsqueν_p(f)>0, le pointpest unzérodef, etν_p(f)est appelé l’ordreou lamultiplicité de ce zérop. Lorsqueν_p(f)<0, le pointpest unpôledef et la valeur absolue :

ν_p(f) est appelée l’ordreou lamultiplicitédu pôlep.

Théorème.Le corps des fonctions méromorphesM(P¹

sur la sphère de Riemann : P¹ =P¹(C) =C∪ {∞}

est isomorphe au corps :

C(z) = Frac C[z]

des fonctions rationnelles à coefficients complexes.

DÉMONSTRATION. Vue en d’autres circonstantes.

Soit maintenant un réseau : Λ =

m₁w₁+m₂w₂: m₁, m₂ ∈Z ,

dansC, oùw₁, w₂ ∈ Csont deux nombres complexesR-linéairement indépendants. À ce réseau, on associe letore complexe_C/Λ.

Théorème. Le corps des fonctions méromorphes M C/Λ

est isomorphe au corps des fonctions méromorphes doublement périodiques surCde périodesw₁etw₂.

DÉMONSTRATION. Considéré comme acquis.

En fait, à changement de coordonnée linéaire près, seul le quotientτ :=w₂/w₁compte (exercice). Soit donc :

H⁺:=

τ ∈C: Imτ > 0

le demi-plan (supérieur) de Poincaré. À chacun de ses élémentsτ ∈ H⁺, on associe donc le réseau :

Λτ :=Z+Zτ.

Définition. Une fonction elliptique par rapport à Λτ est une fonction méromorphe Λτ- périodique surC. Lacourbe elliptiqueassociée àΛτ est le quotient :

C Λ_τ.

C’est une surface de Riemann compacte, et les fonctions méromorphes surC/Λ_τ s’identi- fient aux fonctionsΛ_τ-elliptiques.

Théorème.Toute courbe elliptiqueEτ admet un plongement holomorphe — sans aucune singularité — dans l’espace projectif bidimensionnelP²(C).

RÉSUMÉ DE DÉMONSTRATION. En effet, on « sort du chapeau » la fonction de Weiers- trass définie par :

℘(z) := 1

z² + X

λ∈Λτ\{0}

1

(z−λ)² − 1 λ²

. Elle est méromorphe etΛ_τ-périodique surC. Sa dérivée :

℘⁰(z) = −2 X

λ∈Λτ

1 (z−λ)³

est elle aussi méromorphe etΛ_τ-périodique, et ensemble, le couple(℘, ℘⁰)définit un plon- gement :

℘, ℘⁰

: C/Λ_τ −→P²(C).

En fait, des calculs élémentaires sur ces deux séries doubles montrent que ℘⁰ satisfait l’équation différentielle :

℘⁰(z)2

= 4℘(z)³−g2(τ)℘(z)−g3(τ),

où les deux constantes complexes qui apparaissent sont définies en termes du réseau par les deux séries doubles normalement convergentes :

g₂(τ) := 60 X

λ∈Λτ\{0}

1

λ⁴ et g₃(τ) := 140 X

λ∈Λτ\{0}

1 λ⁶. Ainsi en dehors des pôles, l’image de(℘, ℘⁰)est à valeurs dans la courbe algébrique com- plexecubiqued’équation :

y² = 4x³ −g₂(τ)x−g₃(τ), dans des coordonnées affines(x, y)∈C² ⊂P².

Pour conclure, l’étude du corps des fonctions elliptiquesM C/Λ_τ

associées à un ré- seauΛ_τ s’avère être équivalente à l’étude de la théorie des fonctions méromorphes deP²

restreintes à cette cubique projective.

Proposition.Deux courbes elliptiques : C.

Z+τZ

et C.

Z+τ⁰Z

associées à deux pentes complexesτ, τ⁰ ∈ H⁺ de partie imaginaire positive sont biholo- morphes, en tant que surfaces de Riemann — c’est-à-dire aussi, de manière équivalente, en tant que cubiques algébriques deP² — si et seulement si il existe une matrice :

a b c d

∈^SL2(Z), a, b, c, d ∈ Z, ad−bc= 1,

telle que :

τ⁰ = aτ +b cτ +d. Ainsi, grâce à ce résultat (admis), le quotient :

H⁺

SL₂(Z)

s’identifie à l’ensemble des classes d’isomorphismes de courbes elliptiques, qu’on appelle l’espace des modulesdes courbes elliptiques.

§ 4. Théorème d’Osgood sur l’holomorphie séparée Soient(z₁, . . . , z_n)∈Cⁿdes variables complexes :

zk=xk+i yk (k= 1···n), aveci:=√

−1. On introduit les différentielles :

dz_k:=dx_k+i dy_k et dz_k :=dx_k−i dy_k, ainsi que les champs de vecteurs :

∂

∂z_k := 1 2

∂

∂x_k −i ∂

∂y_k

et ∂

∂z_k := 1 2

∂

∂x_k +i ∂

∂y_k

. La différentielle d’une fonction :

f =f x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n

de classeC^∞dans un ouvertU⊂Cⁿs’écrit alors, grâce à un micro-calcul laissé au lecteur : df =

Xn k=1

∂f

∂x_kdxk+ ∂f

∂y_k dyk

= Xn k=1

∂f

∂z_kdzk+ ∂f

∂z_kdzk

. Définition.Une fonction définie dans un ouvertU⊂Cⁿ:

f: U−→C est diteholomorphesi, en tout point :

z₀ = z₁⁰, . . . , z_n⁰

∈U, il existe unpolydisque,i.e.un produit de disques :

(z₁, . . . , z_n)∈Cⁿ: z₁−z₁⁰< ρ, . . . , z_n−z_n⁰< ρ (ρ >0),

assez petit pour être contenu dansU, dans lequel f est développable en série entière mul- tipleconvergente:

f(z) = X∞ α1=0

· · · X∞ αn=0

f_α1,...,αn

| {z }

coefficient∈C

z₁−z⁰₁α1

· · · z_n−z_n⁰αn

.

Pour qu’une convergence ait lieu, une simple estimée de la taille des coefficients du type : f_α1,...,αn6^Constante·ρ^{−α1−···−αn}

suffit, d’après un critère similaire (exercice de révision) à celui bien connu en une variable.

Théorème d’Osgood.Une fonction continue ou localement bornée définie dans un ouvert UdeCⁿ:

f: U−→C

est holomorphe par rapport aux variables(z₁, . . . , z_n)si et seulement si elle est séparément holomorphe par rapport à chacune de ses variables complexes, à savoir si et seulement si elle satisfait :

0≡ ∂f

∂z₁ ≡ · · · ≡ ∂f

∂z_n.

Mentionnons qu’un théorème plus profond dû à Hartogs établit que la conclusion de- meure valide même sans supposer la continuité def.

DÉMONSTRATION. Puisque l’implication directe est immédiate, montrons que l’holo- morphie séparée suffit.

Soit donc un point quelconque fixé :

z⁰ = z₁⁰, . . . , z_n⁰

∈U.

Introduisons untoren-dimensionnel(produit de cercles) au voisinage dez⁰: T(z⁰, ρ

:=

(z₁, . . . , z_n)∈Cⁿ: z₁−z₁⁰=ρ, . . . , z_n−z⁰_n=ρ (ρ >0), suffisamment petit pour être contenu dansU. Puisque par hypothèsef est holomorphe par rapport à chacune de ses variablesz_k, plusieurs applications successives de la formule inté- grale de Cauchy relativement à chaque variable nous donnent la représentation intégrale :

f(z₁, . . . , z_n) = 1 (2i π)ⁿ

Z

|z1−z₁⁰|=ρ

· · · Z

|zn−z_n⁰|=ρ

f(ζ₁, . . . , ζ_n)

(ζ₁−z₁)· · ·(ζ_n−z_n)dζ₁ · · · dζ_n. Or à condition de restreindre le domaine de variation à :

z_k−z_k⁰< ^ρ₂ < ρ=ζ_k−z_k⁰ .

on peut développer en série entière chacun des facteurs qui apparaissent au dénominateur : 1

ζk−zk

= 1

(ζk−z⁰_k)−(zk−z_k⁰)

= 1

ζ_k−z_k⁰ · 1 1− ^z_ζ^k−zk0

k−z_k⁰

= X∞ αk=0

1

(ζ_k−z_k⁰)^αk+1 zk−z⁰_kαk

,

En intégrant terme à terme, ce qui est justifiable grâce à la continuité def et resterait vrai si on supposait seulement quef est bornée, on en déduit la représentation def sous forme

de série entière convergente.

§ 5. Formes différentielles holomorphes et méromorphes

L’objectif principal de cette section est d’établir que que toute fonction méromorphe sur une surface de Riemann compacte possède autant de zéros que de pôles, comptés avec multiplicité. La démonstration est une simple application du théorème de Stokes. À cette fin, introduisons brièvement la notion de forme différentielle à coefficients holomorphes ou méromorphes ; une présentation plus systématique aura lieu ultérieurement.

Définition. Soit S une surface de Riemann quelconque. Une forme différentielle holo- morphe, resp.méromorpheωsurSest une famille :

U_i, z_i, ω_i , indexée par un certain ensemble d’indicesi, satisfaisant :

•les ouverts de cartez_i: U_i −→CrecouvrentS;

•dans chaque telle coordonnéez_i :

ωi =fi(zi)dzi

est une forme différentielle standard dont le coefficientf(z_i)est une fonction holomorphe, resp. méromorphe, définie sur l’ouvertz_i U_i

⊂C;

•à travers tout changement de carte holomorphe :

zi =ϕij(zj) =⇒ dzi =d ϕij(zj) défini sur une intersectionU_i∩U_j, on a la règle de transformation :

f_i ϕ_ij(z_j)dϕ_ij(z_j)

dz_j =f_j(z_j), qui assure l’invariance de :

f_i(z_i)dz_i =f_i ϕ_ij(z_j)

dϕ_ij(z_j) = f_j(z_j)dz_j.

On noteraΩ(S), resp.MΩ(S), l’espace des formes différentielles holomorphes, resp.

méromorphes, surS.

Observation immédiate et fondamentale.Étant donné deux formes différentielles méro- morphes quelconques ω₁ et ω₂ sur une surface de Riemann S, le quotientω₂/ω₁ produit toujours une fonction méromorphe surS.

DÉMONSTRATION. Il suffit de constater que cela est vrai dans un ouvert de coordonnée et de se convaincre (exercice mental) que le résultat reste invariable à travers tout change-

ment de carte.

Par exemple, si r(z) ∈ ^FracC[z] est une fraction rationnelle sur C, on vérifie (exer- cice) que r(z)dz se prolonge à la sphère de RiemannP¹(C) comme forme différentielle méromorphe.

En partant d’une fonction méromorphe surS: f =

U_i, z_i, f_i(z_i) ∈M(S),

on produit par différentiation une forme différentielle méromorphedf ∈ MΩ(S)dont les élement sont naturellement :

df = n

U_i, z_i, df_i(z_i) = ^df_dz^i(zi)

i dz_i o

.

Soit à nouveau S une surface de Riemann quelconque et soit une forme différentielle méromorphe :

ω =

U_i, z_i, f_i(z_i)dz_i ∈MΩ(S).

En un point p ∈ Ui ∩Uj qui appartient à l’intersection de deux ouverts, on observe que la non-annulation de la dérivée du biholomorphisme ϕij de changement de carte assure l’invariance de la multiplicité des coefficients méromorphesf_i :

ν_p f_i

=ν_p

f_i ϕ_ij(z_j)dϕ_ij(z_j) dzj

=ν_p

f_i ϕ_ij(z_j) · ν_p

dϕ_ij(z_j) dzj

| {z }

= 1

=ν_p f_j .

Définition.L’entier relatif :

ν_p(ω) := ν_p f_i

qui ne dépend pas de la carteU_ià laquelle appartient un pointp∈Sest appelé lamultipli- citéau pointpde la forme différentielle méromorpheω ∈ MΩ(S). Si ν_p(ω) > 0, on dit quepest unzérodeω, tandis que siν_p(ω)<0, le pointpest appelé unpôledeω.

Définition.Sur une surface de RiemannS, soit une forme différentielle méromorphe : ω =

U_i, z_i, f_i(z_i)dz_i ∈MΩ(S).

Soit aussiγ une courbeC¹ par morceaux surS qui ne passe par aucun des pôles deω, et soit :

γ =[

i

γ_i

une partition deγ dont les pièces γi ⊂ Ui sont entièrement dans les ouverts de carte. On définit l’intégrale de la forme différentielle le long deγ par :

Z

γ

ω :=X

i

Z

γi

f_i(z_i)dz_i.

Assertion.Cette définition est consistante, à savoir : la valeur de l’intégrale ne dépend pas du choix d’une partitionγ =∪iγ_i avecγ_i ⊂U_i.

DÉMONSTRATION. En effet, siγ = ∪jγ_j⁰ est une autre partition satisfaisantγ_j⁰ ⊂ U_j, alors la formule de changement de variable dans une intégrale à une variable réelle nous

donne : Z

γi∩γ_j⁰

f_i(z_i)dz_i = Z

γi∩γ⁰_j

f(z_j)dz_j, de telle sorte que :

X

i

Z

γi

fi(zi)dzi =X

i

X

j

Z

γi∩γ⁰_j

fi(zi)dzi

=X

i

X

j

Z

γi∩γ⁰_j

fj(zj)dzj

=X

j

Z

γ_j⁰

fj(zj)dzj,

ce qui conclut.

Théorème de Stokes pour les formes différentielles holomorphes.SoitSune surface de Riemann et soitV⊂S un sous-ensemble ouvert dont la fermeture :

VbS est compacte et dont le bord :

∂V=γ

est une courbeC¹par morceaux. Alors pour toute forme différentielleholomorpheωdéfinie dans un certain ouvert deS qui contientV, son intégrale sur le bord deVs’annule :

Z

∂V

ω= 0.

DÉMONSTRATION. Subdivisons l’ouvert V en un nombre fini d’ouverts relativement compacts :

Vi bUi

contenus dans nos ouverts de cartes et jouissant des propriétés : V=[

i

V_i, et ∅=V_i1 ∩V_i2 (i16=i2),

dont les bords∂V_i sont des courbes C¹ par morceaux. Si l’on souhaite justifier vraiment la possibilité topologique d’effectuer cela, on peut utiliser un théorème (vu ultérieurement) d’après lequel toute surface de Riemann est triangulable,i.e.décomposable comme on se l’imagine en un nombrefinide petits triangles bien disposés les uns par rapport aux autres.

Dans chaque ouvert de carteU_i ⊂V_i, une application de la formule de Cauchy classique (exercice) nous donne :

0 = Z

∂Vi

ω, de telle sorte que par addition :

Z

∂V

ω=X

i

Z

∂Vi

ω= 0,

puisque les contributions des morceaux des bords desV_i qui sont contenus à l’intérieur de Vs’annulent par intégration double en sens inverse (faire des figures).

Définition du résidu. Soit S une surface de Riemann et soit ω ∈ MΩ(S) une forme différentielle méromorphe. Soit un pointp∈Set soitγ_pun cercle autour depsuffisamment petit pour que ω n’ait aucun pôle dans le disque épointé∆_p\{p}bordé par γ_p (le pointp pourrait très bien n’être pas un pôle non plus). Alors lerésidudeωau pointpest le nombre complexe :

Res_p(ω) := 1 2i π

I

γp

ω.

Le théorème de Stokes-Cauchy assure que cette définition est indépendante du choix du cercleγpentourantp(exercice impératif !). De plus, si le disque∆pbordé parγpappartient

à un ouvert de carteUj, et si on représenteω =fj(zj)dzj dansUj, alors on calcule au sens de l’analyse complexe standard :

Res_p(ω) = I

γp

ω

= 1 2i π

I

γp

f_j(z_j)dz_j

=Res_p f_j(z_j) .

Théorème des résidus pour les formes méromorphes.Sur une surface de Riemanncom- pacte, la somme des résidus de toute forme méromorphe :

ω ∈MΩ(S) {0}

est toujours nulle : X

p∈S

Res_p(ω) = 0.

DÉMONSTRATION. Puisque C est compacte,ω possède seulement un nombre fini de pôles, disonsp1, p2, . . . , pm. Choisissons alors de petits disques centrés en ces points ∆1,

∆₂, . . .,∆_mdisjoints deux à deux et qui sont suffisamment petits pour que leurs bords∂∆₁,

∂∆₂, . . .,∂∆_m puissent servir à calculer les résidus ponctuels :

Res_pk(ω) = 1 2i π

I

∂∆p

ω (k= 1···m).

Introduisons aussi l’ouvert complémentaire de la réunion des fermetures de ces disques : V:=S

/

∆₁∪ · · · ∪∆_m . Alors il est clair qu’un bon choix d’orientation donne :

∂V=−∂∆₁∪ · · · ∪∂∆_m, donc par linéarité :

2i π X

p∈S

Res_p(ω) = 2i π Xm

k=1

Res_p(ω)

= Xm k=1

Z

∂∆k

ω

=− Z

∂V

ω

= 0,

l’annulation finale conclusive étant une application directe du théorème de Stokes démontré il y quelques instants, puisque tout a été fait pour que la restrictionω

V soitholomorphe.

Théorème. Soit S une surface de Riemann compacte. Si f ∈ M(S) est une fonction méromorphe non constante, alors la somme de ses multiplicités s’annule :

X

p∈S

ν_p(f) = 0.

En particulier, le nombre des zéros de f est égal au nombre de ses pôles, comptés avec multiplicité :

#

zéros(f) = #

pôles(f) .

DÉMONSTRATION. On applique le théorème qui précède à la forme différentielle mé- romorphe :

ω= df f ,

et on vérifie (exercice), que les résidus deω s’expriment comme on s’y attend en fonction

des zéros et des pôles def.

Corollaire.Sur une surface de Riemann compacteS, le nombre de préimages d’un nombre complexe a ∈ P¹(C) par une fonction méromorphe non constante f: S → P¹(C) est toujours constant :

#f⁻¹(a) = #

pôles(f)

= #

zéros(f) .

Autrement dit, la fonction f prend toute valeur le même nombre de fois. On verra que cela s’interprète topologiquement comme le fait que l’application entre surfaces de Rie- mann :

f: S−→P¹(C)

est unrevêtement(‘ramifié’ en quelques points exceptionnels).

§ 6. Formes différentiellesC^∞et formule de Poincaré-Hopf

Un nombre complexe z = x +iy ∈ C représente aussi une paire de nombres réels (x, y) ∈ R². Souvent, lorsqu’on considère la structure complexe deC, on considère aussi l’espace sous-jacent R². Par exemple, une fonction f: C −→ C de classeC^∞ peut non seulement être envisagée comme une applicationR² →R² :

u=u(x, y), v =v(x, y), mais aussi comme une applicationR² →C:

f =u(x, y) +i v(x, y).

Il est donc avisé de fixer précisément les notations pour bien distinguer si l’on parle de fonctions holomorphes ou de fonctionsC^∞.

Soit doncz =x+iy∈C. On introduit les différentielles :

dz =dx+i dy et dz =dx−i dy, ainsi que les champs de vecteurs :

∂

∂z = 1 2

∂

∂x −i ∂

∂y

et ∂

∂z = 1 2

∂

∂x +i ∂

∂y

. Alors la différentielle d’une fonction :

f =f(x, y)

de classeC^∞dans un ouvertU⊂Cs’écrit de deux manières : df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂y dy

= ∂f

∂z dz+ ∂f

∂z dz.

Il est important de pouvoir considérer formellement toute fonction C^∞ à la fois comme fonction de(x, y)et comme fonction de(z, z), via les formules standard :

f(x, y) = f ^z+z₂ , ^z_2i^−z

≡f z, z Rappelons que la condition qui définit l’holomorphie :

∂f

∂z = 0

équivaut à ce que les parties réelle et imaginaireu etv def satisfassent les équations de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x = ∂v

∂y,

∂u

∂y =−∂v

∂x.

Ensuite, rappelons aussi que sur un espace vectoriel réel ou complexeV, on définit un produit extérieurantisymétrique∧satisfaisant, pour un scalaireaet pourv₁, v₂ ∈V :

(av₁)∧v₂ =a(v₁∧v₂),

(v₁ +v⁰₁)∧v₂ =v₁∧v₂+v₁⁰ ∧v₂, v₂∧v₁ =−v₁∧v₂.

Avec ces règles algébriques, on a la relation suivante entre les différentielles réellesdx, dyet les différentielles complexesdz,dz:

dz ∧dz =−2i dx∧dy.

Définition.SoitSune surface de Riemann et soit(U_i, z_i)un recouvrement deSpar des ou- verts de cartes. Une1-forme différentielleλde classe_C^∞surSest la donnée d’expressions locales :

λ_i =f_i z_i, z_i

dz_i+g_i z_i, z_i dz_i,

dont les coefficients f_i, g_i ∈ C^∞(U_i) obéissent, à travers tout changement de carte holo- morphe :

zi =ϕij(zj) (surUi∩Uj)

aux règles de transformation :

f_i ϕ_ij(z_j), ϕ_ij(z_j)dϕij(zj)

dz_j =f_j z_j, z_j , g_i ϕ_ij(z_j), ϕ_ij(z_j)dϕ_ij(z_j)

dzj

=g_j z_j, z_j , qui assurent l’invarianceλ_i =λ_j, à savoir :

f_i z_i, z_i

dz_i+g_i z_i, z_i

dz_i =f_j z_j, z_j

dz_j +g_j z_j, z_j dz_j.