Théorème de Riemann-Roch extrinsèque

§ 1. Préliminaires

Afin d’énoncer et de démontrer le célèbre Théorème de Riemann-Roch, nous devons introduire des notations et des définitions que nous accompagnerons de commentaires es-sentiels.

Rappelons que sur une surface de Riemann S, on note O(S) l’algèbre des fonctions holomorphes, M(S) le corps des fonctions méromorphes, Ω(S) l’espace des 1-formes holomorphes etMΩ(S)l’espace1-formes méromorphes, en accord avec les notationsOS, MS,Ω_S,MΩ_Spour les quatre faisceaux afférents.

SoitSune surface de Riemanncompacteet soit : D=

Xk i=1

n_ip_i ∈ ^Div(S)

un diviseur quelconque surS, à savoir une combinaison linéaires finie de pointsp_i surS pondérés par des entiers relatifsn_i ∈Z.

Définition.Si, pour touti= 1,2, . . . , k, les poids : n_i >0

sont positifs, on dit que le diviseurDest undiviseur effectifsurS, et on abrège cela par la notation :

D >0.

Clairement, tout diviseur surS s’écrit comme différence de deux diviseurs effectifs.

Notation.On introduit l’espace suivant de fonctions méromorphes globales : L(D) :=

f ∈M(S) : div(f) +D>0 .

Le fait qu’une fonction méromorphef ∈ M(S)appartienne à cet espaceL(D)signifie deux choses (exercice mental) :

•si le poidsn_id’un pointp_idu diviseur est60, alorsf doit posséder un zéro de multipli-cité au moins|ni|enpi;

•si ce poidsn_i est> 0, alorsf est autorisée à avoir un pôle enp_i de multiplicité au plus n_i.

Visiblement,L(D)constitue unC-espace vectoriel.

Notation.On notera la dimension de cet espace :

`(D) :=dimL(D).

Notation. Pour des raisons de dualité-réciprocité qui seront révélées dans un instant, on introduit aussi l’espace suivant de 1-formes méromorphes — mind the difference in the defining inequality! — :

Ω_S(D) :=

ω∈MΩ(S) : div(ω)>D .

Le fait qu’une1-forme méromorpheω∈MΩ(S)appartienne à cet espaceΩS(D)signifie précisément deux choses :

•si le poidsnid’un pointpi du diviseur est6 −1, alorsωest autorisée à avoir un pôle de multiplicité6|n_i|enp_i;

•si ce poidsn_iest>1, alorsωdoit posséder enp_iun zéro qui est de multiplicité au moins n_i.

Visiblement,ΩS(D)constitue aussi unC-espace vectoriel.

Notation.On notera la dimension de ce deuxième espace : i(D) :=dimΩ_S(D), et on l’appellera l’indice de spécialitédeD.

Dans la démonstration du Théorème de Riemann-Roch, le cas d’un diviseur effectif D > 0 s’avérera être d’une importance notable. Dans ce cas, les fonctions constantes appartiennent à L(D), à savoir C ⊂ L(D). De plus, lorsque D > 0, l’appartenance ω ∈ΩS(D)implique que la1-forme méromorpheωest en faitholomorphe(sans pôle), et dans ce cas, on a l’inclusion :

Ω_S(D)⊂Ω(S).

Définition.Deux diviseurs :

D∈^Div(S) et E ∈^Div(S)

sur une surface de Riemann compacteS sont ditséquivalents, ce qui sera noté : D∼E,

s’il existe une fonction méromorphef ∈M(S)telle que : D−E =div(f).

Proposition.Étant donné deux diviseurs équivalents quelconques : D∼E,

sur une surface de Riemann compacteS, leurs degrés sont égaux :

degD=degE,

et leur équivalence induit deux isomorphismes d’espaces vectoriels : L(D)∼=L(E) et Ω_S(D)∼= ΩS(E).

DÉMONSTRATION. Pour commencer, puisque toute fonction méromorphe non constantef ∈M(S)sur la surface de Riemann compacte possède toujours autant de zéros que de pôles, comptés avec multiplicité :

0 = X

p∈S

ν_p(f),

et puisque par définition :

div(f) =X

p∈S

ν_p(f)·p, on déduit instantanément, pourD−E =div(f), que :

0 =deg div(f)

=degD−^degE.

Ensuite, étant donné une fonctiong ∈L(D), satisfaisant par définitiondiv(g) +D>0, on observe par un calcul simple que :

div(f g) +E =div(f) +div(g) +E

=D−E+div(g) +E

=div(g) +D>0.

Par conséquent, l’application linéaire :

L(D)−→L(E) g 7−→f g possède pour inverse l’application linéaire :

L(E)−→L(D) g 7−→ g

f, ce qui montre qu’on a bien l’isomorphisme annoncé :

L(D)∼=L(E).

On établit de manière complètement similaire (exercice) le second isomorphismeΩ_S(D)∼=

Ω_S(E).

Un autre type d’isomorphisme, plus intéressant, échange les fonctions méromorphes et les1-formes méromorphes.

Proposition (Dualité-réciprocité de Brill-Noether). Sur une surface de Riemann com-pacteS, supposons donnée une1-forme méromorphe globale :

ω ∈MΩ(S).

Alors à toute décomposition :

div(ω) =D+E

de son diviseur en somme quelconque de deux diviseurs (pas nécessairement effectifs) sont associés deux isomorphismes deC-espaces vectoriels :

L(D)∼= ΩS(E) et L(E)∼= ΩS(D).

DÉMONSTRATION. Pour toute fonctionf ∈L(D), on a par définition :

div(f)>−D, d’où avec cette1-forme méromorphe fixée :

div(f ω) =div(f) +div(ω)

>−D+D+E

=E.

On en déduit que l’application linéaire :

L(D)−→ΩS(E) f 7−→f ω, qui possède l’inverse :

Ω_S(E)−→L(D) ϕ 7−→ ϕ

ω, produisent ensemble l’isomorphisme :

L(D)∼= ΩS(E).

Le second isomorphisme s’obtient en échangeant simplement les rôles deDet deE.

Introduisons maintenant le concept de partie principale de Laurent.

Définition.Soit une série de Laurent à l’origine dansC: X∞

j=−n

a_jz^j. Sa partie singulière :

j=X−1 j=−n

a_jz^j

sera appelée lapartie principale de la série de Laurent. Lorsque a_−n 6= 0, l’entier n sera appelé l’ordrede la partie principale.

Soit maintenantSune surface de Riemann (pas forcément compacte), et soit un diviseur effectif surS:

D= Xk

i=1

n_ip_i (ni>1).

Soient z1, . . . , zk des coordonnées holomorphes locales centrées en les points p1, . . . , pk

chargés par le diviseur, i.e. satisfaisantzi(pi) = 0. Si, en tout point pi, on se donne une partie principale de Laurent quelconque :

η_i = a_i,ni

z_iⁿⁱ +a_i,ni−1

z_iⁿⁱ⁻¹ +· · ·+a_i,1

z_i ^{(i= 1···k)},

on peut naturellement poser la question : sous quelles conditions existe-t-il une fonction méromorphe globalef ∈M(S)ayant exactement ces parties principales en les pointsp_i?

LorsqueS =C, la réponse est positive, d’après le célèbre : Théorème de Mittag-Leffler.Pour toute suite de points a_n

n>1 dans le plan complexeC qui tendent vers l’infini :

∞=lim_n→∞a_n,

et toute suite de parties principales rationnelles quelconques centrées en ces points :

const_n,νn

(z−a_n)^νn +· · ·+ ^constn,2

(z−a_n)² + ^constn,1 (z−a_n), il existe une fonction méromorphe globale :

f ∈M(C),

holomorphe partout sur C

{a₁, a₂, a₃, . . . ,} et dont la partie principale de Laurent en chacun de ces points coïncide exactement avec ces fractions rationnelles prescrites.

On peut démontrer qu’il en va de même sur toute surface de Riemann non compacte, mais lorsqueS est compacte, la réponse n’est pas toujours positive, et c’est pourquoi nous commencerons par étudier le théorème de Riemann-Roch qui est une version affaiblie du problème de Mittag-Leffler.

Toutefois, ajoutons en passant quelques considérations élémentaires. Une fonction mé-romorphe sur une surface de Riemann compacte S est déterminée de manière unique par ses parties principales de Laurent en tous les points où elle a des pôles, puisque si f₁, f₂ ∈ M(S) sont deux fonctions méromorphes surS ayant les mêmes parties princi-pales en tout point, leur différence f₂ −f₁ devient partout holomorphe, donc constante à cause du principe du maximum.

Cette observation permet d’identifier l’espace vectoriel quotientL(D)

Cà un certain sous-espace vectoriel deC^degD, comme suit.

Soit donc un diviseur effectif fixé : D=

Xk i=1

n_ip_i > 0,

sur une surface de Riemann compacte, et soientz_ides coordonnées holomorphes locales sur Scentrées enpi. Étant donné une fonction méromorphef ∈L(D), ses parties principales en lesp_i sont de la forme indiquée plus haut :

η_i = a_i,ni

z_iⁿⁱ +· · ·+a_i,2 z²_i + a_i,1

z_i ,

pour certaines constantes a_i,ni, . . . , a_i,1 ∈ C. Introduisons alors les espaces vectorielsn_i -dimensionnelsP_i engendrés surCpar ces puissances négatives :

P_i :=Vect_C

1

z_iⁿⁱ, . . . , 1 z_i², 1

z_i

(i= 1···k). Les considérations qui précèdent ont convaincu le lecteur que l’application :

L(D)

C−→P₁⊕ · · · ⊕P_k [f]−→ η₁, . . . , η_k

,

où[f]désigne la classe def modulo une constante additive∈C, est bien définie et linéaire.

De plus, elle est injective (exercice mental). Si donc nous identifions chaquePi àCⁿⁱ de la manière évidente, alorsP₁⊕ · · · ⊕P_k s’identifie àC^degD,i.e.:

η₁, η₂, . . . , η_k ∼=Cⁿ¹ ⊕Cⁿ² ⊕ · · · ⊕C^nk ∼=C^degD.

C’est de cette manière — non encore explorée et cachant des mystères — que l’on peut dire queL(D)/Cs’identifie à un certain sous-espace deC^degD lorsqueD>0est effectif.

§ 2. Dimension de l’espaceΩ(S)des1-formes holomorphes globales

Dans un chapitre qui précède, nous avons établi la formule du genre qui relie la to-pologie d’une courbe algébrique complexe projective plane à son degré et au nombre de ses points doubles ordinaires. Nous avons observé que cette formulerévèle un des aspects du lien étroit entre les propriétés topologiques d’une courbe et ses invariants algébrico-géométriques.

Maintenant, la formule de la dimension pour l’espaceΩ(S)des1-formes holomorphes globales sur une surface de Riemann compacte, abstraite ou immergée dansP²(C), va ré-véler un nouvel aspect de ce lien étroit. Cette formule, un cas spécial du Théorème de Riemann-Roch, joue en fait un rôle important dans la démonstration générale dudit théo-rème, et c’est pour cette raison que nous la produisons ici.

Théorème (Formule pour la dimension de l’espace Ω(S)). La dimension de l’espace des 1-formes holomorphes globales qui vivent sur une surface de Riemann compacte S coïncide avec son genre :

dimΩ(S) =genre(S).

En fait, le théorème est déjà connu (ou laissé en exercice) dans le cas oùSest la sphère de RiemannP¹(C).

Nous allons démontrer ce théorème en deux moments, non triviaux et qui demanderont un travail substantiel. Premièrement, établissons le

Théorème.Sous les hypothèses du théorème qui précède, on a l’inégalité :

dimΩ(S)>^genre(S).

DÉMONSTRATION. Nous allons baser les arguments en admettant le théorème d’im-mersion suivant, point de départ du cours de cette année 2011–2012.

Théorème (Plongement à croisements normaux dans le plan projectif).Pour toute sur-face de Riemann compacteS, il existe une application holomorphe :

π: S −→P² dont l’image :

C:=π(S)

est une courbe algébrique projective complexe plane irréductible d’un certain degréd>1 n’ayant comme singularités (éventuelles) qu’un certain nombre,δ > 0, de points doubles à croisements normaux,p₁, p₂, . . . , p_δ. De plus,Sest la normalisation deC.

Sid= 1ou2, on aδ= 0(exercice), doncg = 0par la formule du genre, et dans ce cas, le théorème est déjà connu (exercice).

Il est donc justifié de supposer qued>3dans la suite.

Ainsi, soitπ: S → C ⊂ C² un plongement holomorphe à croisements normaux. Nous affirmons qu’après une transformation adaptée du système de coordonnées projectives sur

P²:

X: Y : Z ,

on peut supposer (une justification suit) queCn’est pas tangente à la droite à l’infini dans P²:

P¹_∞=

[X: Y : 0] ,

que, de plus, tous les points doublesp₁, . . . , p_δsont contenus dans la carte affine : (x, y)∈C² , x= ^X_Z, y= ^Y_Z,

et que, encore, aucune des2δtangentes en ces points n’est parallèle à l’axe desx, et que, enfin,C ne passe pas par le point[0 : 1 : 0] = ∞y. En effet, on peut tout d’abord sélection-ner une droite projective dansP² qui intersecte C(transversalement) endpoints distincts.

En déclarant que cette droite est leP¹_∞à l’infini, on garantit automatiquement queCetP¹_∞

ne peuvent pas être tangentes, pour la raison suivante. Supposons par l’absurde que C et P¹_∞soient tangentes en un pointq∈C∩P¹_∞; alors le nombre d’intersection entreCetP¹_∞ serait>2, ce qui impliquerait :

C·P¹_∞

>d+ 1,

en contradiction avec le théorème de Bézout. Par un raisonnement similaire, on se convainc (exercice) que la droite sélectionnée P¹_∞ ne peut passer par aucun des points doubles p₁, . . . , p_δ. Pour terminer, on sélectionne un point sur P¹_∞ qui n’est pas sur la courbe C, et on ajuste les axes de coordonnées sur leC²affine pour que ce point soit∞y = [0 : 1 : 0].

Si certaines des2δ tangentes aux points doubles sont parallèles à l’axe des x, une toute petite perturbation du système de coordonnées élimine ces alignements sans changer ce qui a été arrangé auparavant.

Maintenant, dans ces coordonnées affines, la courbe algébriqueCpossède une certaine équation polynomiale :

f(x, y) = 0.

de degréd>3. Introduisons le diviseur des points doubles : Γ :=p₁+p₂+· · ·+p_δ,

et introduisons l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré d−3 en trois va-riables :

H^d−3 :=

R(X, Y, Z)∈C[X, Y, Z] : R homogène, degR=d−3 . Par un raisonnement de combinatoire élémentaire, on se convainc que :

dimH^d−3 = ¹₂ (d−1)(d−2).

Enfin, introduisons le sous-espace vectoriel des polynômes qui s’annulent en tous les points doubles deC :

H^d−3 −Γ :=

R(X, Y, Z)∈H^d−3: 0 = R(p₁) =R(p₂) = · · ·=R(p_δ) . Quant à la dimension de ce dernier espace, puisque la condition qu’un polynôme s’annule en un pointp_i équivaut à ce que ses coefficients satisfassent une certaine équation linéaire (exercice !), et puisque les équations linéaires correspondantes pour les points p₁, . . . , p_δ peuvent éventuellement ne pas être linéairement indépendantes, on voit au moins que :

dimH^d−3 −Γ

> ¹₂(d−1)(d−2)−δ

=g, en appliquant naturellement la formule du genre.

Ainsi la prochaine idée — comme on en aura eu instantanément l’intuition — va être de montrer qu’il existe un morphismeinjectif:

H^d−3 −Γ

−→Ω(S), ce qui garantira l’obtention de l’inégalité :

dimΩ(S)>^dimH^d−3 −Γ

>g.

Procédons et raisonnons dans nos coordonnées bien disposées. À tout polynôme homo-gène :

R ∈H^d−3 −Γ ,

est associé son représentant affine :

r(x, y) := R(x, y,1),

qui est de degré6 d−3(exercice mental : oui, le degré peut baisser). Si l’on introduit les deux ouverts affines canoniques :

U₀ :=

[x:y: 1] et U₁ :=

[1 : u:v] ,

dont la réunion U₀ ∪U₁ = P²\{∞y} couvre tout P² excepté un seul point, il est clair que nous nous sommes arrangés à l’avance pour que leur réunion couvre notre courbe algébrique :

C⊂U₀∪U₁.

Bien entendu, le deuxième ouvertU₁ est issu du premier U₀ via le (1/x)-changement de carte :

u= 1

x, v = y x.

Définissons alors une 1-forme α méromorphe comme suit, tout d’abord en partant de 1-formes méromorphes surC², puis en les restreignant à la courbeC:

•sur l’intersectionC∩U₀ et en les points oùf_y := ^∂f_∂y 6= 0: α := r(x, y) dx

f_y(x, y)

| {z }

forme méromorphe surC²

C

| {z }

forme holomorphe surC∩ {fy6= 0}

;

•sur l’intersectionC∩U₀ et là oùf_x := ^∂f_∂x 6= 0(noter qu’il y a un signe−) : α:= −r(x, y) dy

fx(x, y)

| {z }

forme méromorphe surC²

C

| {z }

forme holomorphe surC∩ {fx6= 0}

.

Observons que dansU0, puisque la différentiation de l’équation affine deC : f(x, y) = 0,

donne immédiatement :

∂f

∂x dx+∂f

∂y dy= 0,

on déduit après division et placement des deux membres de part et d’autre du signe ‘=’ que l’on a :

dx fy(x, y)

C∩{fx6=06=fy}

=− dy fx(x, y)

C∩{fx6=06=fy}

,

et donc, les deux définitions de α coïncident en tous les points (génériques) où l’on a simultanément :

f_x6= 0 et f_y 6= 0.

Les difficultés éventuelles pour une définition de α peuvent seulement se produire en les points singuliersp1, . . . , pδ, où ces deux dérivées partielles s’annulent. Heureusement, l’hypothèse queCa deux tangentes distinctes enp1, . . . , pδ jamais horizontales, adjointe à

l’hypothèse que le polynôme-coefficientr(x, y)s’annule en ces points, vont assurer que la définition suivanteétenduedeα:

α := ce qui se passe à l’infini un peu plus tard).

En effet, on vient de voir que là où f_x 6= 0, la deuxième définition ne pose aucun problème. Soit donc un point doublep_ien lequelf_y =f_x= 0, et en lequel, par hypothèse, le coefficient-polynôme s’annule aussi :

r(x, y) = O(x) + O(y).

Après une translation, on se ramène àp_i = 0et les deux branches locales de C se repré-sentent sous la forme de deux graphes holomorphes locaux s’annulant en0:

x=g1y+ O(y²) et x=g2y+ O(y²),

avec deux constantes distinctesg₁ 6=g₂. Les coefficients des termes d’ordre deux def : f(x, y) = a x²+ 2b xy+c y²+· · ·

=a x−g₁y

x−g₂y +· · ·

satisfontac−b² 6= 0(deux tangentes distinctes) eta 6= 0(aucune tangente n’est horizon-tale). Sachant que le fait de "tirer en arrière" π^∗(α) revient à restreindreα à chacune des deux branches locales deC, on réalise alors que la dérivée partielle def :

f_x =a x−g₂y+x−g₁y +· · · en restriction à ces deux branches, ne s’annule qu’à l’ordre1: f_x g₁y+· · · , y et donc on voit bien que les deux formes obtenues :

−r g₁y+· · · , y sont holomorphes au voisinage de0par élimination deyen haut et en bas.

Ensuite, on prolonge naturellementαà l’infini en transférant sa première expression : α=r(x, y) dx

f_y(x, y) là où f_y 6= 0,

à travers le(1/x)-changement de carte qui induit sur les différentielles les formules : du=−dx

x² et dv= dy

x − y dx x² ,

ce qui donne une expression dont on réorganise le numérateur et le dénominateur afin d’y éliminer les _u¹ :

α=r _u¹, _u^v 1

∂f

∂y 1

u, ^v_u −du u²

=−u^d−3r ¹_u, ^v_u du u^{d−1 ∂f}_∂y ¹_u, ^v_u .

Puisquerest de degré6d−3et puisque ^∂f_∂y est de degré6d−1, nous observons en effet qu’avec cette écriture, numérateur et dénominateur deviennent des polynômes en(u, v). À présent, la droite affine à l’infini C¹_∞ = P¹_∞\{∞y} est devenue la droite {u = 0} ∼= C. Comme par hypothèse la droite à l’infini n’était nulle part tangente à la courbe, de même, la courbe transformée C^new par le (1/x)-changement de carte n’est nulle part tangente à la droite {u = 0}. Nous affirmons que cela implique la non-annulation du dénominateur u^{d−1 ∂f}_∂y ¹_u, _u^v

ci-dessus en chacun desdpoints distincts d’intersectionC^new∩ {u= 0}. En effet, l’équation la transforméeC^newest, on le sait :

k(u, v) := u^df _u¹, _u^v

= 0.

Or la dérivée partielle par rapport àv de cette équation coïncide manifestement avec notre numérateur :

∂k(u, v)

∂v =u^d−1 ∂f

∂y 1

u, v u

.

Et par hypothèse de non-tangence, cette dérivée partielle ne s’annule en aucun des points d’intersection de C^new ∩ {u = 0} (rappelons que ceci veut dire qu’au voisinage de ces points, la courbe est un graphey=y(x)).

En définitive, nous avons construit une application linéaire : H^d−3 −Γ

−→Ω(S) R 7−→π^∗(α).

Or cette application estinjective, puisque l’on aπ^∗(α) = 0si et seulement si le coefficient-polynômer(x, y)deαs’annule identiquement sur la courbe affine irréductibleC∩U₀, ce qui est impossible car nous avons supposé quedegr 6d−3. Ceci conclut la démonstration

de l’inégalité annoncée.

Ensuite, notre objectif est d’établir l’inégalité inverse :

dimΩ(S)6g.

À cette fin, il est utile d’effectuer quelques rappels (admis dans ce cours) au sujet de l’homologiedes surfacesC^∞compactes orientables (sans bord).

Soit doncS une surface de Riemann compacte de genregorientée, homéomorphe à un tore àgtrous, que l’on dispose horizontalement et étirée dans le sens de la longueur. SurS, on trace2g courbesorientées:

γ₁, . . . , γ_g, γ_g+1, . . . , γ_2g,

dont lesg premières tournent une fois "verticalement dans le sens des méridiens", et les g dernières tournent une fois "horizontalement le long des parallèles", de telle sorte aussi queγketγg+ks’intersectent transversalement en un seul point, tout en cohérence avec une orientation deS fixée à l’avance.

Fait admis dans ce cours. De telles courbes γ1, . . . , γg, γg+1, . . . , γ2g forment une base pour le premier groupe d’homologie :

H₁(S,Z) deS.

Soit alorsγune courbeC¹ par morceaux quelconque tracée surS. On a alors en homo-logie :

γ = X2g

i=1

n_iγ_i+∂Ω,

avec certains entiersn_i ∈ Zet une certaine régionΩdansS. Notons[γ]la classe d’homo-logie deγ, dans laquelle∂Ωdisparaît par définition. Une application directe du Théorème de Stokes fournit alors (exercice) la :

Proposition.Pour toute1-forme ferméeλde classeC¹ surS, l’application : η_λ: H₁(S,Z)−→C

[γ]7−→

Z

γ

λ,

oùγ est une courbeC¹par morceaux fermée surS, est bien définie.

DÉMONSTRATION. En effet, siγ⁰ est une autre courbeC¹ par morceaux homologue à γ, à savoir satisfaisant :

γ−γ⁰ =∂Ω

pour une certaine régionΩ⊂S, le théorème de Stokes fournit l’égalité : η_λ(γ)−η_λ(γ⁰) =

Proposition.Si une1-forme différentielle ferméeλ sur S est d’intégrale nulle sur toutes les courbes engendrant l’homologie :

0 = toute courbeC¹ par morceauxγ allant dep₀ àp, définissons :

f(p) :=

Z

γ

λ.

Nous affirmons alors que la définition de cette fonction ne dépend pas du choix d’une telle courbeγ. L’argument est simple : siγ⁰ est une autre courbeC¹ par morceaux allant aussi dep₀àp, alorsγ−γ⁰ est une courbe fermée surS, et donc on a en homologie :

γ−γ⁰ = X2g

i=1

n_iγ_i+∂Ω,

pour certains entiersni ∈ Zavec une certaine régionΩ ⊂ S. Mais l’hypothèse d’annula-tion :

0 = Z

γi

λ (i= 1···2g), et le théorème de Stokes : Z

∂Ω

λ = ZZ

Ω

dλ= 0,

assurent sans délai que les deux définitions éventuelles def(p)coïncident: f(p) =

Z

γ

λ= Z

γ⁰

λ,

et donc, le résultat est indépendant du choix de courbeγ. Ainsi,f est une fonctionC^∞bien définie surS (exercice : pourquoiC^∞ malgré le choix de courbesC¹ par morceaux ?), et donc par différentiation d’une primitive, on obtientdf =λ, ce qu’il fallait démontrer.

Proposition. Soit S une surface de Riemann compacte, et soient deux 1-formes holo-morphes :

ω, ϕ ∈ Ω(S).

Considérant queωetϕsont des1-formesC^∞surS, si la somme : ω+ϕ =df

est une forme exacte, égale à la différentielle d’une certaine fonctionf ∈C^∞(S), alors en fait :

ω=ϕ = 0.

DÉMONSTRATION. Dans une coordonnée holomorphe locale z sur S, ces deux 1-formes s’écrivent en effet :

ω =h(z)dz et ϕ=g(z)dz,

avechetg holomorphes, d’où trivialement par antisymétrie du produit extérieur : ω∧ϕ = 0.

Ensuite aussi, avecz =x+iy:

i

2ϕ∧ϕ =g(z)^{2 i}

2dz∧dz =g(z)²dx∧dy.

Parreductio ad absurdum, montrons queϕ = 0. Sinon, si ϕ 6≡ 0, i.e.si g(z) 6≡ 0, alors l’intégrale :

i 2

ZZ

S

ϕ∧ϕ = ZZ

S

g(z)²du∧dv >0

est positive, puisque son intégrande est une fonctionpartout positiveetstrictement positive sur un ouvert non vide. Mais par hypothèse :

ϕ∧ϕ =ϕ∧ω+ϕ∧ϕ =ϕ∧ ω+ϕ

=ϕ∧df, et nous allons prouver dans un instant que l’on a l’annulation :

ZZ

S

ϕ∧df = 0,

ce qui contredira directement la positivité de notre intégrale, donc montrera queϕ ≡0.

Afin d’établir cette annulation, observons tout d’abord que :

(∗) d f ϕ

=df ∧ϕ+f∧dϕ.

Or le coefficientg deϕétant holomorphe :

∂g

∂z = 0,

on déduit par un calcul fort simple (et déjà connu) que la différentielle deϕs’annule : dϕ=d g dz

Or puisquef ϕ est une1-formeC^∞ sur notre surface de Riemann compacteS sans bord, l’intégrale totale s’annule grâce au théorème de Stokes :

ZZ

Nous pouvons maintenant établir la seconde inégalité du Théorème en cours.

Théorème.Sur toute surface de Riemann compacteS, on a l’inégalité inverse :

dimΩ(S)6^genre(S).

DÉMONSTRATION. Supposons par l’absurde quedimΩ(S)>g+ 1. Soit donc(g+ 1) formes différentielles holomorphes :

ω₁, . . . , ω_g+1 ∈Ω(S)

qui sont linéairement indépendantes surC. Introduisons alors les équations linéaires : Z d’homolo-gieH₁(S,Z). Puisqu’il y a donc deux inconnues en plus par rapport au nombre d’équations 2g, ce système linéaire possède nécessairement des solutions non triviales. Notons alors :

λ¹₀, . . . , λ^g+1₀ , η¹₀, . . . , η^g+1₀

une telle solution non nulle. Alors en choisissant les deux1-formes holomorphes : ω:=

globales surS, on obtient les annulations : Z

γi

ω+ϕ

= Z

γi

Xg+1 j=1

λ^j₀ω_j +η₀^jω_j

= 0,

pour touti = 1, . . . ,2g. Alors la proposition pénultième montre qu’il existe une certaine fonctionf ∈C^∞(S)telle que :

ω+ϕ=df,

et la proposition qui précède montre que l’on a nécessairement : ω=ϕ = 0.

Or puisque les constantesλ¹₀, . . . , λ^g+1₀ , η₀¹, . . . , η^g+1₀ ne sont pas toutes nulles, ceci contredit

l’indépendance linéaire deω₁, . . . , ω_g+1.

§ 3. Deux théorèmes importants

Les résultats contenus dans la section qui précède contiennent en fait les démonstrations de deux théorèmes importants : le Théorème de Hodge et le Théorème de de Rham dans le cas d’une surface de Riemann compacte. Nous allons présenter quelques considérations à leur sujet, avant de passer au Théorème de Riemann-Roch.

Définition.Sur une surface de Riemann compacteS, le premier groupe decohomologie à valeur dansCest le dual du premier groupe d’homologie :

H¹(S,C) :=Hom_C H₁(S,Z), C

= n

applicationsC-linéaires H₁(S,Z)⊗ZC−→Co . Définition.Le premier groupe de cohomologie de de Rham :

H_dR¹ (S)

est le groupe quotient des1-formesC^∞fermées surSmodulo les1-formesC^∞exactes.

Soit donc λ une1-forme fermée sur S. Plus haut, nous avons (déjà) défini une forme linéaire associée :

η_λ: H₁(S,Z)−→C [γ]7−→

Z

γ

λ, qui définit en fait un élément :

η_λ ∈H¹(S,C).

De plus, lorsque la1-formeλvarie,λ7−→η_λ est linéaire, donc on a un homomorphisme : η:

1-formes ferméesC^∞surS −→H¹(S,C) λ 7−→η_λ.

Enfin, une proposition qui précède (laquelle ?) montre que cet homomorphisme est injectif en restriction au premier groupe de cohomologie de de Rham :

η: H_dR¹ (S)−→H¹(S,C).

Par ailleurs, une autre proposition démontrée précédemment affirme, après

Par ailleurs, une autre proposition démontrée précédemment affirme, après

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