§ 1. Orientation vers la géométrie algébrique complexe
Dans le cours de cette année 2012–2013, nous avons fait le choix d’étudier les surfaces de Riemann compactes du point de vue de lagéométrie algébrique complexe, c’est-à-dire en voyant les surfaces de Riemann compactes comme des courbes algébriques complexes immergées dans P2(C) avec comme seules singularités (éventuelles) un nombre fini de points doubles à croisements normaux. Cette orientation théorique est justifiée par un théo-rème de plongement qui possède de nombreuses généralisations en dimensions supérieures (notamment le célèbreThéorème de plongement de Kodaira).
Théorème de plongement à croisements normaux dans P2(C). Pour toute surface de Riemann compacteS, il existe une application holomorphe :
π: S−→P2(C)
dont l’imageπ(S)est une certaine courbe algébrique complexe projective : π(S) =:C ⊂P2(C)
qui n’a comme singularités :
Sing(C) =
p1, . . . , pδ
qu’un nombre fini — éventuellement nul — de points doubles à croisements normaux (deux et seulement deux branches transverses en ces pointspj), telle que, de plus, la res-triction :
S
π−1 Sing(C) ∼
−→C
Sing(C)
est un biholomorphisme, de telle sorte que l’application complèteπ:S →Cconstitue une normalisation deC.
Or nous aimerions résumer une démonstration possible de ce théorème, qui apparaît dans les notes de cours de l’année précédente 2011-2012 distribuées aussi cette année 2012–2013, et dont nous parlerons brièvement au tableau. Dans ce qui suit, pour une meilleure appréhension-compréhension des idées principales, les théorèmes intermédiaires qui constituent les ingrédients de ce théorème de plongement à croisements normaux se-ront survolés sans développer les démonstrations complètes, lesquelles apparaissent dans les notes de 2011–2012.
Tout d’abord, rappelons que dans la définition d’une surface de Riemann abstraite, il n’est absolument pas stipulé qu’il doive exister des fonctions holomorphes ou méro-morphes non constantes, puisque la définiton est — rappelons-la — purement topologico-géométrique.
Définition.Unesurface de RiemannS est un espace topologique séparé muni d’un recou-vrement ouvert :
Uα
α∈A, Uα ⊂S, et d’une famille d’applications :
zα: Uα −→C satisfaisant les propriétés suivantes :
(a)chaquezα: Uα −→Cest unhoméomorphismedeUα sur son imagezα Uα
, qui est un ouvert deC;
(b)Sur chaque intersection non videUα∩Uβ 6=∅, la fonctionchangement de carte: zβ ◦zα−1: zα Uα∩Uβ
−→zβ Uα∩Uβ
est une application biholomorphe, à savoir elle est holomorphe, bijective, et son inverse zα◦zβ−1 est aussi holomorphe :
Uα∩Uβ zα
wwppppppppppp zβ
''N
NN NN NN NN NN
zα Uα∩Uβ
zβ◦z−α1
// zβ Uα∩Uβ
.
Or pourfaire naîtredes fonctions sur un objet géométrique, on doit incontournablement utiliser de l’Analyse. Puisque toute surface de RiemannS(compacte ou non compacte) est, de manière sous-jacente, aussi munie d’une structure de variété différentielleC∞(smooth manifold), et puisqu’il existe toujours des fonctionsC∞locales ou globales sur une variété C∞, on possède au moins gratuitement de nombreuses fonctions C∞ et de nombreuses 1-formes ou2-formes différentiellesC∞, bien qu’il ne soit pas clair qu’il en existe qui sont holomorphes ou méromorphes. Par exemple, dire qu’une fonctionf ∈ C∞(S)n’est pas holomorphe revient à dire que dans une coordonnée holomorphe localezsur la surface de RiemannS, sa dérivée ∂f∂z ne s’annule pas identiquement. Mais que faire avec cela ?
§ 2. Finitude deH1 S,OS
via le Théorème de Dolbeault
Heureusement, il existe un outil d’Analyse très puissant qui permet decorrigerla non-holomorphie des fonctionsC∞, c’est le célèbre :
Théorème de Dolbeault.Sur un disque ouvert de rayon quelconque : DR:=
z ∈C: |z|< R ,
éventuellement infini0< R6+∞, pour toute fonctiong ∈C∞(DR,C), il existe toujours une fonctionf ∈C∞(DR,C)définie surDRtout entierqui résout l’équation :
∂f
∂z =g
surDR.
Naturellement, la solutionfn’est en rien unique, puisqu’on peut trivialement lui ajouter des constantes, et même des fonctions holomorphes quelconques dansDR. La démonstra-tion utilise une formule intégrale double dite deCauchy-Green-Pompeiu: c’est de lavraie Analyse Complexe (élémentaire) à une variable.
2. Finitude deH1 S,OS via le Théorème de Dolbeault 111
Rappelons ensuite que l’on note ∂ et ∂ les opérateurs (parfois notés d0 et d00 dans les traités "anciens") agissant sur les fonctionsf de classe au moinsC1par :
∂f := ∂f
∂z dz et ∂f := ∂f
∂z dz,
de telle sorte que l’opérateur de Poincaré-Cartan coïncide avec leur somme : d=∂+∂.
Reformulation du théorème de Dolbeault.Étant donné une(0,1)-forme quelconque : ψ dz ∈Γ DR, T∗(0,1)DR
de classeC∞sur un disqueDR ⊂C, il existe toujours une fonction : φ∈C∞(DR,C)
qui résout l’« équation∂» :
∂φ=ψ dz.
Grâce à cette reformulation du théorème de Dolbeault, on peut aisément démontrer (voir les notes de cours de l’année 2011–2012) le :
Théorème d’annulation locale du H1. Le premier groupe de cohomologie de ˇCech à valeurs dans le faisceau structural ODR des fonctions holomorphes sur un disque ouvert DRs’annule :
H1 DR,ODR
= 0.
Pour commenter brièvement la démonstration, rappelons que l’annulation du H1 pour les faisceaux CD∞R ou CS∞ des fonctions C∞ sur un disque DR ou sur une surface S de classeC∞ sont des conséquences élémentaires de l’existence de partitions de l’unité ; le théorème de Dolbeault permet en un sens de corriger la non-holomorphie des cochâines quand on localise l’étude au moyen des partitions de l’unité.
Ensuite, un second théorème beaucoup plus élaboré techniquement parlant et dont la démonstration est relativement longue et laborieuse prolonge l’utilisation du Théorème de Dolbeault bien au-delà de ce premier théorème, et permet, avec des localisations-partitions de l’unité contrôlées, d’établir un théorème de finitude fondamental qui a été ensuite gé-néralisé par Serre à tous les faisceaux algébriques cohérents sur des variétés complexes algébriques ou analytiquescompactesde dimension quelconque.
Théorème (Finitude du premier groupe de cohomologie du faisceau structural). Le premier groupe de cohomologie de ˇCech du faisceau structural OS de toute surface de Riemann compacteSest de dimension finie :
dimH1 S,OS
<∞.
Grâce à ce théorème, on peut définir le genre sans référence ni à la topologie, ni à la géométrie, d’une manière purement cohomologique basée sur l’Analyse.
Définition abstraite.Legenred’une surface de Riemann compacte abstraiteSest l’entier : g :=dimH1 S,OS
. Par exemple, on démontre aisément queH1 P1,OP1
= 0, à savoir le genre de la sphère de Riemann est nul.
Grâce à ce théorème de finitude basée sur l’Analyse (Théorème de Dolbeault sur des ouverts de cartes emboîtés), on est en mesure (enfin !) d’établir qu’il existe des fonctions ! Théorème (Existence de fonctions méromorphes non constantes). Soit S une surface de Riemann et soitT bS un sous-ensemble ouvert relativement compact. Alors pour tout pointa ∈ T, il existe une fonction méromorphe non constantef ∈ M(T)qui possède un
vrai pôle enaet qui est holomorphe surY\{a}.
En manipulant algébriquement de telles fonctions méromorphes, on en déduit avec des méthodes élémentaire un résultat d’interpolation finie qui montre que les fonctions méro-morphes sont assez nombreuses et flexibles :
Corollaire.SoitS une surface de Riemann compacte et soient a1, . . . , an des points dis-tincts deSen nombre finin. Alors pour tout choix dennombres complexesc1, . . . , cn ∈C, il existe une fonction méromorphef ∈M(S)telle que :
f(ai) =ci,
pouri= 1, . . . , n.
§ 3. Théorème de Riemann-Roch via la finitude deH1 S,OS
Puisque nous avons maintenant la certitude qu’il existe toujours des fonctions méro-morphes non constantes sur toute surface de Riemann compacte S — fait absolument évident dans le cas d’une courbe C ⊂ P2, par restriction à C de fractions rationnelles surP2 —, il est justifié d’introduire, pour tout diviseur
D=n1p1+· · ·+nkpk (pj∈S; nj∈Z)
surS, l’espace :
L(D) :=
f ∈M(S) : div(f) +D>0 .
En vérité, cet espace s’identifie à l’espace des sectionsglobalesd’un certain sous-faisceau OD, du faisceau structuralOS des fonctions holomorphes surS, dont les sections sur tout ouvertU⊂S sont, par définition :
OD(U) :=
f ∈M(U) : ordx(f) +D(x)>0 pour tout x∈U , de telle sorte que l’on a en effet la coïncidence notationnelle :
OD(S)≡L(D).
On se convainc aisément en effet qu’avec les applications naturelles de restriction, OD
constitue un faisceau, lequel généralise le faisceauOS des fonctions holomorphes surS.
Tout d’abord, pour que ce faisceauOD ait des sections globales, il faut que le diviseur Dne soit pas trop négatif. Rappelons que le degré d’un diviseur :
D=n1p1+· · ·+nkpk (pj∈S; nj∈Z)
est la somme de ses poids :
degD=n1+· · ·+nk.
Théorème.SoitS une surface de Riemann compacte et soitD ∈ Div(S)un diviseur sur S. Si son degré est strictement négatif :
deg(D)6−1,
3. Théorème de Riemann-Roch via la finitude deH S,OS 113
alors aucune fonction méromorphe globable non nulle dont le diviseur est minoré par−D n’existe :
0 =H0 S,OD
.
DÉMONSTRATION. Supposons par l’absurde qu’il existe une fonctionf ∈H0 S,OD
non nulle. En prenant le degré de l’inégalité div(f)>−D, on déduit :
16−deg(D)6degré div(f)
= 0,
ce qui contredit le fait que toute fonction méromorphe possède autant de zéro que de pôles
(comptés avec multiplicité).
Soit maintenantP un point quelconque d’une surface de Riemann compacteS.
Définition. On définit le faisceau gratte-ciel CP surS par les espaces suivants pour tout ouvertU⊂S :
CP(U) :=
C siP ∈U, 0 siP 6∈U,
les morphismes de restriction étant évidents. Pour ces faisceaux gratte-ciel associés à des pointsP ∈S, on a visiblement :
H0 S,CP)∼=CP(S)∼=C.
Lemme.Le premier groupe de cohomologie de ˇCech deCP s’annule : 0 =H1 S,CP
.
Soit maintenant D un diviseur arbitraire sur une surface de Riemann compacte quel-conqueS. SiP ∈ S est un point quelconque, on notera par la même lettre P à la fois le pointP et le diviseur associé qui prend la valeur1enP et zéro ailleurs. On voit donc que D6D+P et que l’on a une inclusion naturelle (suite exacte de faisceaux) :
0−→OD −→OD+P. En analysant plus avant cela, on établit le
Lemme.Il existe une courte suite exacte de faisceaux fondamentale :
0−→OD −→OD+P
−→β CP −→0 .
Grâce au théorème qui associe une (longue) suite exacte de cohomologie à toute courte suite exacte, on obtient l’exactitude de la suite d’espace vectoriels :
0−→H0 S,OD
−→H0 S,OD+P
−→H0 S,CP
−→
−→H1 S,OD
−→H1 S,OD+P
−→H1 S,CP
, d’où en appliquant le lemme pénultième :
(∗) 0−→H0 S,OD
−→H0 S,OD+P
−→C−→
−→H1 S,OD
−→H1 S,OD+P
−→0.
Corollaire.SoientD6 D0 deux diviseurs sur une surface de Riemann compacteS. Alors l’inclusion de faisceaux :
OD −→OD0
induit un épimorphisme de faisceaux : H1 S,OD
−→H1 S,OD0
−→0.
Théorème de Riemann-Roch.SoitDun diviseur sur une surface de Riemann compacteS de genreg. Alors on la finitude des deux groupes de cohomologie à valeurs dans le faisceau OD :
dimH0 S,OD
<∞ et dimH1 S,OD
<∞,
et ces deux dimensions sont reliées au genre deSet au degré deDpar la relation fonda-mentale :
dimH0 S,OD
−dimH1 S,OD
= 1−g+deg(D) .
Corollaire (Inégalité de Riemann). Sous les mêmes hypothèses, on déduit immédiate-ment :
dimH0 S,OD
>1−g+deg(D) . Définition.On appelle l’entier :
i(D) :=dimH1 S,OD
l’indice de spécialitédu diviseurD. En ces termes, le théorème de Riemann-Roch se refor-mule comme :
dimH0 S,OD
= 1−g+degG+i(D) .
Théorème.Soit S une surface de Riemann compacte de genreg et soit a ∈ S l’un quel-conque de ses points. Alors il existe une fonction méromorphenon constantef sur S qui possède un pôle d’ordre6g+1enaet qui est holomorphe partout ailleurs surS\{a}.
§ 4. Résidu intégral et dualité de Brill-Noether-Serre
(Les dix lignes qui suivent peuvent être sautées en première lecture.) Soit S une sur-face de Riemann compacte. Dans le chapitre sur les longue suites exactes de cohomologie associées à des courtes suites exactes de faisceaux, on a vu que la suite exacte de faisceaux :
0−→ΩS −→TS∗(1,0) −→d Λ2TS∗ −→0 induit — puisqueH1 S, TS∗(1,0)
s’annule grâce aux partitionsC∞de l’unité — le fameux isomorphisme de Dolbeault :
H1 S,ΩS ∼= Γ S,Λ2TS∗.
d Γ(S, TS∗(1,0)) ,
où l’on noteΓ(S,F)≡F(S)l’espace des sections globales surSd’un faisceauF surS.
Soit alors une classe de cohomologieξ ∈H1 S,ΩS
et soit une 2-formeτ ∈ Γ S,Λ2TS∗ qui fournit un représentant deξviacet isomorphisme. On peut alors définir lerésidu inté-graldeξpar :
Res(ξ) := 1 2iπ
ZZ
S
τ , ce qui produit uneforme linéaire:
Res: H1 S,ΩS
−→C.
On vérifie que cette définition est indépendante du choix d’un représentantτ.
Soit toujours S une surface de Riemann compacte. Pour tout diviseur D ∈ Div(S), on introduit (à nouveau1) le faisceau ΩD dont les sections, pour tout ouvert U ⊂ S, sont définies par :
ΩD(U) :=
ω∈MΩ(U) : ordx(ω)>D(x) pour tout x∈U .
Attention ! !Les notes de 2011-2012 demandent ordx(ω)>−D(x)pour toutx∈U, mais cette année, on choisitdiv(ω)>+D! !
Théorème de dualité de Brill-Noether-Serre. Pour tout diviseur D sur une surface de Riemann compacteS, l’application :
ιD: H0 S,ΩD
−→H1 S,OD
∗ ω 7−→ ξ 7→Res(ξ ω) est un isomorphisme :
H0 S,ΩD∼=H1 S,OD
∗
.
Redéfinition équivalente du genre).Le genregd’une surface de Riemann compacteS dé-fini précédemment comme la dimension du 1ergroupe de cohomologie de ˇCech du faisceau OSdes fonctions holomorphes surS:
g :=dimH1 S,OS
est aussi égal à la dimension de l’espace vectoriel des1-formes holomorphes globales sur S:
g =dimH0 S,ΩS
.
Reformulation du Théorème de Riemann-Roch.Pour tout diviseur D sur une surface de Riemann compacteS de genreg, on a :
dimH0 S,OD
−dimH0 S,ΩD
= 1−g+degD . Pour compléter la dualité de Brill-Noether-Serre, on a aussi le :
Théorème.Si D est un diviseur sur une surface de Riemann compacteS, alors on a les deux isomorphismes :
H0 S,ΩD
∼=H1 S,OD
∗ , H0 S,OD
∼=H1 S,ΩD∗
.
§ 5. Plongement des surfaces de Riemann compactes dans l’espace projectif Nous sommes enfin en mesure de survoler les idées de la démonstration du théorème de plongement dansP2 à croisements normaux énoncé au tout début de cette leçon ; la fin du Chapitre 18 des notes de cours de l’année 2011–2012 contient les détails des démonstra-tions.
1. Toutefois, il y a une différence de signe : la conditiondiv(ω)>−Dest utilisé dans les notes de cours de 2011-2012, tandis que celles de cette année 2012–2013 utilisentdiv(ω)>D.
Définition. On dit que le faisceau OD est engendré par ses sections globales si, en tout points∈S, il existe une fonction méromorpheglobale:
f ∈H0 S,OD
telle que :
OD,s =OS,sf,
à savoir : tout germe de fonction méromorpheϕs ∈OD,savecords ϕs
>−D(s)peut être écrit comme :
ϕs=ψsfs,
avec un certain germe de fonctionψs ∈ OS,s, oùfs désigne le germe en sde la fonction globalef.
Théorème.SoitSune surface de Riemann compacte de genreg et soitDun diviseur sur Sde degré :
degD>2g.
AlorsOD est engendré par ses sections globales.
Des exemples d’applications holomorphesF: S → PN à valeurs dans un espace pro-jectif de dimension éventuellement grande peuvent être construits de la manière suivante.
Soientf0, . . . , fN ∈ MS(S)des fonctions méromorphes qui ne s’annulent pas identique-ment. On définit une application :
F :=
f0:f1: · · ·:fN
: S −→PN
comme suit. Pours∈S, soit(V, z)un voisinage de coordonnée desavecz(s) = 0et soit : k :=minjordk(fj).
SurV, on peut écrire :
fj =zkgj,
oùgj est holomorphe dans un voisinage deset où, pour au moins un entierj, on agj(s)6= 0. Posons alors :
F(s) :=
g0(s) : · · ·:gN(s) . On vérifie que cette application estholomorphe.
Théorème d’annulation cohomologique. Soit X une surface de Riemann compacte de genreg et soitDun diviseur surX. Alors dès que :
degD>2g−2 + 1,
on a annulation du premier groupe de cohomologie du faisceauOD : 0 =H1 X,OD
,
donc l’inégalité de Riemann(-Roch) se transforme en une égalité :
dimH0 X,OD
= 1−g+degD.
Voici enfin le théorème de plongement, dans lequela fortioridegD >2g−2 + 1, donc le théorème d’annulation de0 =H1 S,OD
s’applique.
Théorème. Soit S une surface de Riemann compacte arbitraire de genre g quelconque.
Pour tout diviseurD∈ Div(S)de degré :
degD>2g−2 + 3,
et pour toute base
f0, f1, . . . , fN deH0 S,OD
de cardinal : 1 +N = 1−g+degD, l’application holomorphe associée :
F =
f0:f1: · · ·:fN
: S−→PN
fournit un plongement deSdans l’espace projectif complexePN. Enfin, pour obtenir un plongement de S à croisements normaux dans P2, on vérifie par des raisonnements de géométrie différentielle relativement élémentaire que l’énoncé suivant est satisfait ; pour s’en convaincre intuitivement, on pourra penser à une courbeC∞ difféomorphe à S1 située dans l’espace euclidien ordinaire R3 que l’on projette sur des plans affines∼=R2choisis de manière appropriée.
Théorème géométrique.Étant donné une sous-variété complexe (holomorphe) Σde di-mension1dans l’espace projectif complexePN(C)àN >3dimensionsi.e.une surface de Riemann compacte plongée dansPN, pour presque toute projection linéaire :
PN −→H2
sur un 2-plan projectif (affine) H2 ∼= P2(C) parallèlement à presque tout(N − 2)-plan transverseHN−2 ∼= PN−2(C), l’image deΣdansH2 est une courbe algébrique complexe projective plane dansH2n’ayant comme singularités qu’un nombre fini — éventuellement
nul — de points doubles à croisements normaux.
Ceci conclut notre description résumée du théorème fondamental qui ramène l’étude des surfaces de Riemann compacteabstraitesà l’étude des courbes algébriques complexes concrètesdansP2(C).
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