L'addition de deux spins ½

Le couplage de deux spins ½

La raie à 21 cm de l'atome d'hydrogène Le paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen

Chapitre 13, paragraphes 1 et 3 Chapitre 14, paragraphe 1

mercredi 19 mars 2003

1.

L'addition de deux spins ½

Un système de deux spins ½

électron + proton atome d'hydrogène neutron + proton noyau de deutérium

{

} {

}

On va s'intéresser ici à E_spin =E_spin^{( )a} ⊗E_spin^{( )b} : espace de dimension 4 Système composé :

L'opérateur spin total

ˆ ˆ_a ˆ_b ˆ_a 1ˆ_b 1ˆ_a ˆ_b S!=S! +S! =S! ⊗ + ⊗S!

observable de moment cinétique : Sˆ_x,Sˆ_y=i S" ˆ_z

Nous allons montrer que les résultats possibles lors d'une mesure de S²et S_zsont

2 2

ˆ : ( 1)

S " s s+ avec

s =1

s =0

ˆ_z : , 0,

S " −" m=+1,0,-1

ˆ_z : 0

S m=0

2.

La structure hyperfine de l'atome d'hydrogène (niveau fondamental)

µ^!e µ^!_p

ˆ ˆ

e e

e

qS

µ! =m⁻ ! ˆ_p 2, 79 ˆ_p

p

q S µ! = m ! u!

Le niveau fondamental de l'atome d'hydrogène

( ) ( ) ( ) ( )

externe spin externe spin

e e p p

E ⊗E ⊗E ⊗E

De l'espace des états total, on ne garde que le niveau fondamental :

état lié

fondamental (1s) ^Ψ1s

( )

e p

r= r! −r!

2

1 2 0, 053 nm a

=me" ≈

rayon de Bohr

Dégénérescence 4 pour le niveau fondamental Espace des états pour l'électron : E_externe^{( )e} ⊗E_spin^{( )e}

pour le proton : E_externe^{( )p} ⊗E_spin^{( )p}

L'interaction magnétique électron - proton

Rappel de magnéto-statique :

µ^!e µ^!_p

u!

( ) ( )

( )

0

3 3

4 ^{e p e p}

W u u

r

µ µ µ µ µ

= π ! ⋅ ! − ! ⋅! ! ⋅!

Ordre de grandeur : r ≈^a1=0,053 nm

e 2

e

q µ = m"

2, 79

p 2

p

q

µ = m"

10 5eV 10 eV

W ≈ ⁻ # (écart typique entre niveaux d'énergie 1s – 2s) interaction magnétique << interaction coulombienne

2 0

3 ^{e p} ( )r µ µ µ δ

− ! !⋅ !

0 13

4

e p

W

a µ µ µ

≈ π

Action de sur le niveau fondamental W ˆ

On doit trouver les états propres de la matrice 4 4×

1s ⊗ e:σ_e ⊗ p:σ_p

W ˆ

Les valeurs propres correspondantes donneront les déplacements des sous-niveaux d'énergie issus du niveau fondamental

Après calcul de la partie orbitale, on se ramène à la diagonalisation de l'opérateur de spin : e:σ_e ⊗ p:σ_p e:σ'_e ⊗ p:σ'_p

ˆ

H

1 03 2

1

2 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

3 ^{e p e p}

H A S S

µ µ µa

= − π ! ⋅ ! = ! ⋅ !

"

L'hamiltonien de structure hyperfine

1 2

ˆ ˆ

ˆ e p

H = A S! ⋅S!

" avec A=5,87 10× ⁻⁶ eV

Diagonalisation de ˆ ˆ

e p

S! ⋅S!

( )

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ

e p 2 e p e p

S S  S S S S 

⋅ =  + − − 

 

! ! ! !

2 2

1 ˆ 3

2S 4

= − "

c'est-à-dire :

2 2

1 2

ˆ 1, 3 1, 1,

4 4

s s s

A A

H s m   s m s m

= =  −  = = =

"

"

"

1

ˆ 0, 0 3 0, 0

s 4 s

H s= m = = − A s= m =

Observation de la raie hyperfine

A / 4 3A / 4 triplet

singulet niveau 1s

Durée de vie du niveau triplet 10⁷ans

Expériences de résonance entre niveaux triplet et singulet

maser à hydrogène: ν =Α/h= 1 420 405 751, 768 4 (17) Hz λ = c/ν= 21,1... cm

A partir des sources astrophysiques :

observation des photons émis par émission spontanée àλ=21cm 5,87 10 6 eV

A= × ⁻

Bras du Sagittaire Carène

Bras Ecu-croix

Bras du Cygne

Bras de Persée Soleil

centre galactique

Notre galaxie

200 milliards d'étoiles

Forme spirale Diamètre :

100 000 années-lumière Epaisseur :

1000 années-lumière

L'hydrogène dans notre galaxie

Entre les étoiles, matière diffuse : 10 % de la masse totale

Dans ce gaz interstellaire, 90% des atomes sont de l'hydrogène 0,3 atome/cm³en moyenne

Nuages de masse comprise entre 0,1 et 1000 masses solaires

Matière pour la formation de nouvelles générations d'étoiles

Observation de la raie à 21 cm

On observe avec des radio-télescopes la raie émise à 21 cm par ces nuages

Effet Doppler :

température : 20 à 100 Kelvins vitesse moyenne (jusqu'à 250 km/s) Effet Zeeman : champ magnétique local

Le message de Pioneer

3.

Le paradoxe Einstein – Podolsky - Rosen

Les propriétés étonnantes des états intriqués

( )

1 : : : :

2 a + ⊗ b − − a − ⊗ b + comme l'état singulet :

L'indéterminisme de la mécanique quantique

( )

1

2 + + − +

−

Indéterminisme équivalent à celui d'un tirage à pile ou face ?

Non : il ne résulte pas d'une mauvaise connaissance des conditions initiales ou du mouvement ultérieur

Einstein : "Dieu ne joue pas aux dés"

Une théorie déterministe donnant les mêmes résultats que la mécanique quantique peut-elle exister ?

Expériences à une particule :on ne peut pas conclure Expériences à deux ou plusieurs particules

Systèmes corrélés en physique quantique

On considère deux sous-systèmes Aet B:

{ }

{ }

Etat du système total : _,

,

i j i j

i j

γ α β

Ψ =

∑

Etat corrélé ou "intriqué" s'il ne peut pass'écrire : Ψ = ψ_A ⊗ ϕ_B

Version de Bohm du paradoxe EPR

a!

b!

Alice Bernard

Etat singulet de spin : ¹

(

)

2 e + ⊗ p − − e − ⊗ p +

e^- p⁺

Corrélations entre Alice et Bernard

Etat singulet : ¹

(

)

2 e + ⊗ p − − e − ⊗ p +

Alice a une probabilité +1/2 de trouver dans sa mesure de ±"/ 2 Se z,

Si Alice trouve , l'état du système après sa mesure est +"/ 2 e:+ ⊗ p:− Bernard est alors certain de trouver dans sa mesure de −"/ 2 S_{p z,}

Si Alice trouve , l'état du système après sa mesure est −"/ 2 e:− ⊗ p:+ Bernard est alors certain de trouver dans sa mesure de +"/ 2 S_{p z,} Corrélation totale entre le résultat d'Alice et celui de Bernard

L'argument E.P.R.

"Lorsque, sans perturber en quoi que ce soit un système, nous pouvons prédire avec certitude (c'est-à-dire une probabilité de 1) la valeur d'une quantité physique, alors il existe un élément de réalité physique correspondant à cette quantité physique."

"Il faut donc abandonner l'une des deux assertions :

• La description au moyen de est complète

• Les états réels de deux objets séparés sont indépendants l'un de l'autre"

Ψ

Mais la mécanique quantique ne fournit aucun "élément de réalité physique" associé àS_pzpour un système dans l'état singulet :

( )

1 : : : :

2 e + ⊗ p − − e − ⊗ p +

L'argument de Bell (1964)

Une théorie plus complète que le mécanique quantique fournira pour chaque paire électron - proton un paramètre λ∈ Λ

Hypothèse : λdétermine entièrement le résultat des mesures d'Alice et Bernard. Il existe une fonction donnant le résultat d'Alice^A

( )

( ) ( )

( )

/ 2 si

, / 2 si

A a a

a λ λ

λ ₋⁺

+ ∈ Λ

=− ∈ Λ

" !

! !

" avec Λ = Λ+

( )

( )

∪ De même pour Bernard : ^B

( )

Localité : ^A

(

)

La fonction de corrélation

( )

Alice et Bernard disposent de Npaires e^-p⁺ Pour chaque paire :

Alice mesure la composante de selon S!_e a! Bernard mesure la composante de selon S!_p

b! Ils font le produit de leurs résultats : p= ± "²/ 4

Ils moyennent ensuite ce produit sur les Npaires :

( )

/ 4 E a b! ! = p

"

Remarques : ^{E a b}

( )

Si , alors a!=b! ^{E a b}

( )

Le théorème de Bell

Pour une théorie à variables cachées, la quantité

( ) ( ) ( ) ( )

S=E a b! ! +E a b! ! +E a b! ! −E a b! ! vérifie S ≤2

2

( , ) 4 ( , ) ( , ) ( )

E a b^{! !} =_"

∫

( , ) ( , ) ( , ) ( , ') ( , ') ( , ') ( , ') ( , ) A λ a B! λ b! +Aλ a B! λ b! +A λ a! B λ b! −A λ a! B λ b!

{ }

( , ) ( , ) ( , ')

A λ a! B λ b! +B λ b! ^{A( , ')λ a!}

{

}

0 ou

2/ 2

±"

2/ 2

±"

ou 0

( , ) , ( , ) / 2 Aλ a! B λ b! = ±

"

Prédiction de la mécanique quantique pour l'état singulet et le choix d'angles ci-contre :

2 2 S= −

L'expérience (A. Aspect, P. Grangier, G. Roger & J. Dalibard) a tranché en faveur de la mécanique quantique.

a!

' a! b!

' b! La prédiction quantique

( , )

E a b! ! = − ⋅a b! !

(à montrer en exercice)

Violation de l'inégalité de Bell !!!S ≤2

Les expériences d'Orsay (1)

f (J= 0) e₁ (J= 0, τ = 15 ns)

Laser

e₂ (J= 1, τ = 5 ns)

Cascade atomique (calcium)

Etat de polarisation de la paire de photons :

( )

1 : : : :

2 a b a b

Ψ = ↑ ⊗ ↑ + → ⊗ →

λa= 551 nm λb= 422 nm

Les expériences d'Orsay (2)

Compteurs

PM A₊

PM A₋

PM B₊ PM B₋

S_exp=2,697 (15) S_{theo M.Q.}=2,70 Triomphe de la mécanique quantique

Défaite des théories à variables cachées locales Source