Le couplage de deux spins ½

(1)

Le couplage de deux spins ½

La raie à 21 cm de l'atome d'hydrogène Les corrélations Einstein-Podolsky-Rosen

Chapitre 13, paragraphes 1 et 3 Chapitre 14, paragraphe 1

mercredi 17 mars 2004

1.

L'addition de deux spins ½

électron + proton atome d'hydrogène neutron + proton noyau de deutérium

{

^a^:^±

} {

^b^:^±

}

On va s'intéresser ici à E_spin =E_spin^{( )}^a ⊗E_spin^{( )}^b : espace de dimension 4 Système composé :

L'opérateur spin total

ˆ ˆ_a ˆ_b ˆ_a 1ˆ_b 1ˆ_a ˆ_b S =S +S =S ⊗ + ⊗S

observable de moment cinétique : S Sˆ ˆ_x, _y = i Sˆ_z

Nous allons montrer que les résultats possibles lors d'une mesure de S²et S_zsont

2 2

ˆ : ( 1)

S s s+ avec

s =1

s =0

ˆ : ,0,_z

S − m=+1,0,-1

ˆ : 0_z

S m=0

2.

La structure hyperfine de l'atome d'hydrogène (niveau fondamental)

µe µ_p

ˆ ˆ

e e

e

qS

µ =m⁻ ˆ_p 2,79 ˆ_p

p

q S µ = m

u

(2)

Le niveau fondamental de l'atome d'hydrogène

( ) ( ) ( ) ( )

externee spine externep spinp

E ⊗E ⊗E ⊗E

De l'espace des états total, on ne garde que le niveau fondamental :

état lié

fondamental (1s) ^Ψ¹^s

(

^{r r}^{e p}^,

)

^∝ ^exp(⁻^{r a}^{/ )}¹

e p

r= r −r

2

1 2 0,053 nm

a =me ≈ rayon de Bohr

Dégénérescence 4 pour le niveau fondamental Espace des états pour l'électron : E_externe^{( )}^e ⊗E_spin^{( )}^e

pour le proton : E_externe^{( )}^p ⊗E_spin^{( )}^p

L'interaction magnétique électron - proton

Rappel de magnéto-statique :

µe µ_p

u

( ) ( )

( )

0

3 3

4 ^e ^p ^e ^p

W u u

r

µ µ µ µ µ

= π ⋅ − ⋅ ⋅

2 0

3µ µ µ δ^e ^p ( )r

− ⋅

Ordre de grandeur :

r ≈a₁=0,053 nm ^e 2 _e q µ = m

2,792

p p

q µ = m

10 eV5 10 eV

W ≈ ⁻ (écart typique entre niveaux d'énergie 1s – 2s) interaction magnétique << interaction coulombienne

0 13

4 W e p

a µ µ µ

≈ π

Action de sur le niveau fondamental

W ˆ

On doit trouver les états propres de la matrice 4 4×

1s ⊗ e:σ_e ⊗ p:σ_p

W ˆ

1s ⊗ e: 'σ _e ⊗ p: 'σ _p

Les valeurs propres correspondantes donneront les déplacements des sous-niveaux d'énergie issus du niveau fondamental

Après calcul de la partie orbitale, on se ramène à la diagonalisation de l'opérateur de spin : e:σ_e ⊗ p:σ_p

H ˆ

1 e: 'σ _e ⊗ p: 'σ _p

1 03

1

2 ˆ ˆ

ˆ 3 ^e ^p

H a

µ µ µ

= − π ⋅

L'hamiltonien de structure hyperfine

1 2

ˆ ˆ

ˆ A _e _p

H = S S⋅ avec A=5,87 10× ⁻⁶ eV

Diagonalisation de ˆ ˆ

e p

S S⋅ ^{S S}^ˆ^e^⋅ ^ˆ^p ⁼¹₂^^_

(

^S^ˆ^e⁺^S^ˆ^p

)

²⁻^S^ˆ^e²⁻^S^ˆ²^p^^_

2 2

1 ˆ 3

2S 4

= −

c'est-à-dire :

2 2

1 2

ˆ 1, 3 1, 1,

4 4

s A s A s

H s m   s m s m

= =  −  = = =

1 3

ˆ 0, 0 0, 0

s 4A s

H s= m = = − s= m =

(3)

Observation de la raie hyperfine

A / 4 3A / 4 triplet

singulet niveau 1s

Durée de vie du niveau triplet 10⁷ans

Expériences de résonance entre niveaux triplet et singulet

maser à hydrogène: ν =Α/h= 1 420 405 751, 768 4 (17) Hz λ = c/ν= 21,1... cm

A partir des sources astrophysiques :

observation des photons émis par émission spontanée àλ=21cm 5,87 10 6 eV

A= × ⁻

3.

Les corrélations Einstein – Podolsky – Rosen et l’inégalité de Bell

Les propriétés étonnantes des états intriqués

( )

1 : : : :

2 a + ⊗ b − − a − ⊗ b + comme l'état singulet :

L'indéterminisme de la mécanique quantique

( )

1

2 + + − +

−

Indéterminisme équivalent à celui d'un tirage à pile ou face ?

Réponse quantique : Non.

Cet indéterminisme est intrinsèque et ne résulte pas d'une mauvaise connaissance des conditions initiales ou du mouvement ultérieur

Einstein : "Dieu ne joue pas aux dés"

Une théorie déterministe donnant les mêmes résultats que la mécanique quantique peut-elle exister ?

Mais est-on sûr que la mécanique quantique soit la théorie ultime ?

Que serait une théorie déterministe reproduisant les résultats quantiques ?

L’état de chaque atome incident serait caractérisé par un paramètre

λ (variable cachée)

inaccessible au « physicien quantique » λ∈ Λ

La connaissance de λpermettrait de déterminer avec certitude le résultat de la mesure de S_zpar l’intermédiaire d’une fonctionA_z(λ)

λ∈Λ₊z

λ∈ Λ₋z

λ∈Λ₊z

λ∈ Λ₋z

z z

+ −

Λ = Λ ∪ Λ

( ) / 2 Az λ = +

( ) / 2 Az λ = −

(4)

Une théorie déterministe équivalente à la M.Q. peut elle exister ?

• Pour des expériences comportant une seule mesure (S_z) sur une particule unique (spin ½), on ne peut pas conclure.

• Pour des expériences consistant à mesurer des corrélations entre observables, la réponse est NON: théorème de Bell.

Alice Bernard

e^- p⁺

Mesure la composante

de selon S_e a b

Mesure la composante de selon S_p

2/ 4 p= ± produit des deux résultats pour chaque paire :

( )

^, ₂

/ 4 E a b = p

fonction de corrélation : |E| ≤1

Corrélations à deux particules dans une théorie « à variable cachée »

( ) ( )

( )

/ 2 si

, / 2 si

A a a

a λ λ

λ ⁺₋

+ ∈ Λ

= − ∈ Λ avec Λ = Λ+

( )

^a ∪Λ−

( )

^a

Alice Bernard

e^- p⁺

λ

De même pour Bernard : ^B

( )

^λ^,^b

2

( , ) 1 ( , ) ( , ) ( )

E a b = / 4

∫

Aλ a B λ b P λ λd ^{A, B, P}en M.Q. !!!^inconnues Localité ^A

(

^λ^{, ,}^{a b}

) (

^{, ,}

)

B λ a b

a b

Le théorème de Bell

( ) ( ) (

^, ^{, '} ^{', '}

) ( )

^',

S=E a b +E a b +E a b −E a b

Comme |E| ≤1, on a bien sûr |S| ≤4. J.S. Bell a montré pour une théorie à variables cachées locales l’inégalité beaucoup plus forte : |S| ≤2

2

( , ) 4 ( , ) ( , ) ( ) E a b =

∫

Aλ a B λ b P λ dλ

( , ) ( , ) ( , ) ( , ') ( , ') ( , ') ( , ') ( , ) A λ a B λ b +Aλ a B λ b +Aλ a B λ b −Aλ a B λ b

{ }

( , ) ( , ) ( , ')

A λ a B λ b +B λ b ^A^{( , ')}^λ ^a

{

^B^{( , ')}^λ ^b ⁻^B^{( , )}^λ ^b

}

0 ou

2/ 2

±

2/ 2

± ou 0

( , ) , ( , ) / 2 A λ a B λ b = ±

Corrélations quantiques dans l’état singulet

Alice a une probabilité +1/2 de trouver dans sa mesure de ± / 2 S_{e z}_,

Si Alice trouve , l'état du système après sa mesure est + / 2 e:+ ⊗ p:− Bernard est alors certain de trouver dans sa mesure de − / 2 S_{p z}_, Si Alice trouve , l'état du système après sa mesure est − / 2 e:− ⊗ p:+

Bernard est alors certain de trouver dans sa mesure de + / 2 S_{p z}_,

( )

1 : : : :

2 e + ⊗ p − −e − ⊗ p +

a e= z

Alice Bernard

e^- p⁺

b e= z

Corrélations EPR (Einstein-Podolsky-Rosen)

(5)

Corrélations quantiques dans l’état singulet (suite)

( , )

E a b = − ⋅a b

Prédiction de la mécanique quantique pour le choix d'angles ci-dessous :

= −2 2

Violation de l'inégalité de Bell !!!S ≤2 a

' a b

' b π/4

π/4 π/4

1 1 1 1

2 2 2 2

S= −    + −    + −    −  La corrélation totale entre les résultats d’Alice et Bernard entraîne :

( , )_z _z 1 E e e = −

Cette corrélation totale reste valable tant qu’Alice et Bernard choisissent le même axe d’analyse : u E u u( , )= −1

Plus généralement :

Les expériences d'Orsay (1)

f (J= 0) e₁ (J= 0, τ = 15 ns)

Laser

e₂ (J= 1, τ = 5 ns)

Cascade atomique (calcium)

Etat de polarisation de la paire de photons :

( )

1 : : : :

2 a b a b

Ψ = ↑ ⊗ ↑ + → ⊗ →

λ_a= 551 nm λ_b= 422 nm

A. Aspect, P. Grangier, G. Roger & J. Dalibard

Les expériences d'Orsay (2)

Compteurs

PM A₊

PM A₋

PM B₊ PM B₋

S_exp=2,697 (15)

S_{theo M.Q.}= 2,70 ≈S_exp : triomphe de la mécanique quantique Source

|S_exp| > 2 : défaite des théories à variables cachées locales

4.

La raie à 21 cm de l’hydrogène en astrophysique

(6)

Bras du Sagittaire Carène

Bras Ecu-croix

Bras du Cygne

Bras de Persée Soleil

centre galactique

Notre galaxie

200 milliards d'étoiles

Forme spirale Diamètre :

100 000 années-lumière Epaisseur :

1000 années-lumière

L'hydrogène dans notre galaxie

Entre les étoiles, matière diffuse : 10 % de la masse totale

Dans ce gaz interstellaire, 90% des atomes sont de l'hydrogène 0,3 atome/cm³en moyenne

Nuages de masse comprise entre 0,1 et 1000 masses solaires

Matière pour la formation de nouvelles générations d'étoiles trop "froide" pour être vue optiquement

Observation de la raie à 21 cm

On observe avec des radio-télescopes la raie émise à 21 cm par ces nuages

Effet Doppler :

température : 20 à 100 Kelvins vitesse moyenne (jusqu'à 250 km/s) Effet Zeeman : champ magnétique local

Le couplage de deux spins ½