Calculs de limites par DL

Calculs de limites par DL

Exercice 1. Fonctions circulaires et hyperboliques 1) 1

sin²x− 1 sh²x−→

x→0

2 3. 2) sinxshx−tanxthx

sh⁴x−th⁴x −→

x→0−1 12.

3) (chx)^α−(shx)^α −→

x→+∞

(+∞ siα >2, 1 siα= 2, 0 siα <2.

4) exp(x²)−ch(x√ 2 )

(chx−cosx)(ch 2x−cos 2x)−→

x→0

1 12. 5) (2x²−3x+ 1) tanπx −→

x→1/2

1 π. 6) cosπx

4x²−9 −→

x→3/2

π 12. 7) sin 3x

1−2 cosx −→

x→π/3−√ 3.

8) e^sinx−e^x sinx−x −→

x→01.

9) 1

xln chx −→

x→+∞1.

Exercice 2. Logarithme et exponentielle 1) 1

xlne^x−1 x

−→

x→0

1 2. 2) x^x−1

lnx−x+ 1−→

x→1±∞.

3) x^a−a^x

log_a(x)−log_x(a)−→

x→a

a^a+1lna(1−lna)

2 .

4)

a^x+b^x 1 +c^x

^1/x

−→x→0exp

a+b−c 2

.

5) x^xx x^x−1 −→

x→0⁺0.

dlimite.tex – mardi 5 juin 2018

Exercice 3. Exposants variables 1) x^arcsinx −→

x→0⁺1.

2) (sinx)^sinx−1 x^x−1 −→

x→0⁺1.

3) (2−x)^tan(πx/2)−→

x→1e^2/π. 4) (2−x)^tan(πx/2) −→

x→2⁻1.

5) (sinx+ cosx)^1/x−→

x→0e.

6) (cos 2x−2 sinx)^1/x−→

x→0e⁻². 7) (sinx)^tanx −→

x→π/21.

8) (tanx)^{cosx/cos 2x} −→

x→π/4e^−1/

√2.

9) (tanx)^{cosx/cos 2x} −→

x→(π/2)⁻1.

10) (sinx)^1/lnx −→

x→0⁺e.

11) (lnx)^x−1 −→

x→1⁺1.

12) (lnx)^ln(e−x) −→

x→e⁻1.

Exercice 4. Radicaux 1)

√x+ 3−√³ 3x+ 5 1−tan(πx/4) −→

x→10.

2) sh√

x²+x−sh√

x²−x −→

x→+∞+∞.

3)

√3x+ 1−√ x+ 1

sinx −→

x→01.

Exercice 5. Sommes de cotangentes Soient a1, . . . , an ∈R. CNS pour que Pn

k=1akcotan(kx) ait une limite finie en 0 ? Exercice 6.

1 n

Pn−1 k=0

1 + k n

^1/pp

On poseu_n,p= 1

n Pn−1

k=0

1 + k n

^1/pp

.

Trouver : v_p= lim_n→∞u_n,p,v= lim_p→∞v_p,w_n= lim_p→∞u_n,pet w= lim_n→∞w_n. Exercice 7. Ensi P 91

Calculer lim_n→∞Pn

k=1sin k

n² puis lim_n→∞Pn k=1f k

n²

oùf est une fonction de classeC²surRvérifiant f(0) = 0.

dlimite.tex – page 2

Exercice 8. Recherche de tangentes

Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour x= 0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente.

1) y=e^sinx−1 x . 2) y= 1

shx−1 x. 3) y= 1

arcsinx−1 x. 4) y= (2e^x−e^−x)^1/x. 5) y= 2

e^2x−1− 1 x. 6) y=p

1 +√ 1 +x.

Exercice 9. Comparaison de fonctions

On pose : f(x) = 1/(1 +x),g(x) =e^−x,h(x) =√

1−2 sinx,k(x) = cos(√ 2x).

Préciser les positions relatives de Cf,Cg,Ch,Ck au voisinage de 0.

Exercice 10. Recherche d’asymptotes

Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en +∞et déterminer la position s’il y a lieu :

1) y=p

x(x+ 1).

2) y= r x³

x−1. 3) y= (x²−1) ln

x+ 1 x−1

. 4) y= (x+ 1) arctan(1 + 2/x).

5) y=x.arctanx.e^1/x. 6) y=e^2/x√

1 +x²arctanx.

7) y=√

x²−xexp 1

x+ 1

.

dlimite.tex – page 3

solutions

Exercice 5.

Pn k=1

a_k

k = 0 =⇒L= 1 3

Pn k=1a_k. Exercice 6.

v_p=

2^1+1/p−1 1 + 1/p

^p

,w_n= exp 1

n Pn−1

k=0ln 1 +k

n

,v=w= 4 e. Exercice 7.

Pn k=1fk

n² −→

n→∞

f⁰(0) 2 .

Utiliser|f(x)−xf⁰(0)| ≤ 1 2 sup

0≤t≤1

|f⁰⁰(t)|pour 0≤x≤1

Exercice 8.

1) y= 1 +x 2 −x³

8 . 2) y=−x

6 + 7x³ 360. 3) y=−x

6 −17x³ 360 . 4) y=e³(1−4x+ 16x²).

5) y=−1 +x 3 −x³

45. 6) y=√

2

1 +x 8 −5x²

128

.

Exercice 9.

h≤k≤g≤f.

Exercice 10.

1) y=x+ 1 2− 1

8x. 2) y=x+ 1

2+ 3 8x. 3) y= 2x− 4

3x. 4) y=πx

4 +π

4 + 1− 1 3x². 5) y=πx

2 +π

2 −1 +π/4−1 x . 6) y=πx

2 +π−1 + 5π/4−2 x . 7) y=x+ 1

2− 9 8x.

dlimite.tex – page 4