Utilisation des DL

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1

Exercices sur les développements limités Apprendre à manier les DL

Exercice 1 (Des exemples)

1. On note f :x7→(x−2)²+ (x−2)³lnx. Justifier quef admet un développement limité au voisinage de 2 à tout ordre, puis expliciter ce DL aux ordres 1,2,3 et 4.

2. La fonction ln admet-elle unDL1 en 0 ?

3. La fonction racine carrée admet-elle unDLn(0) pourn∈N? 4. Déterminer leDL3 en ^π₃ de la fonction cos.

5. Déterminer leDL3 en 1 de ln(1 +x) par deux méthodes différentes.

Exercice 2 (Opérations sur les DL) Déterminer les DLsuivants au voisinage de 0 : 1. √

2 + 3xà l’ordre 3. 2. (1 + cosx) sh(x²) à l’ordre 6. 3. tanxà l’ordre 4.

4. √1 + sinxà l’ordre 3. 5. √1 + cosxà l’ordre 4. 6. e^sinxà l’ordre 3.

7. ln(cos(2x) à l’ordre 6. 8. e^cosxà l’ordre 4. 9. ^ln(1+x)_1+x à l’ordre 3.

10. ch 2x shxà l’ordre 5. 11. _cos^ex_x à l’ordre 4. 12. _sh^x_x à l’ordre 5.

Exercice 3 Déterminer leDL7(0) de la fonction F définie par F(x) =Z x

1

e^−t2dt.

Exercice 4 Déterminer leDL3(0) de th (on pourra exprimer th^′(x) à l’aide de th²(x)).

Exercice 5 On propose le calcul duDL5(0) de tan par une méthode différente du cours.

1. Justifier que tan admet unDL5(0) de la forme tanx=ax+bx³+cx⁵+o(x⁵).

2. En déduire en fonction des réels a,b,c, leDL4(0) de 1 + tan²x. Conclure

Exercice 6 (Un DL implicite) Soitf une fonction de classeC² surRvérifiant la relation x(f(x)−2) + e^f(x)−1−1 = 0.

1. Justifier quef admet unDL2 en 0 puis déterminer ceDL.

2. En déduire l’allure de la courbe def au voisinage de 0.

Utilisation des DL

Exercice 7 (Prolongement) On considère la fonctionf :x7→ 1−cosx tan²x .

1. Donner l’ensemble de définition de la fonctionf puis un ensemble sur lequel il suffit d’éudierf. 2. Donner un équivalent def en 0. En déduire quef peut être prolongée par continuité en 0.

3. Donner unDL3 en 0 de la fonctionf.

4. En déduire que la fonctionf ainsi prolongée est dérivable sur [0,^π₂[. Préciser l’allure locale de la courbe au voisinage de 0.

5. Pour cette question, vous pouvez utiliser la calculatrice. La fonction f peut-elle être prolongée en une fonction continue ou dérivable sur [0,^π₂] ? sur [0, π] ?

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Exercice 8 (Prolongement bis) Démontrer que la fonctionx7→ 1 x− 1

sinxpeut être prolongée en une fonction de classeC¹ sur [0,^π₂].

Exercice 9 (Étude d’une fonction) Soitf la fonction définie parf(x) = 1

xlne^x−1 x . 1. Démontrer que pour xau voisinage de 0, on a

f(x) =1 2 + x

24− x³

2880+o(x³).

2. En déduire que f se prolonge par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0. Préciser la position de la tangente.

3. Déterminer l’ensemble de définition def, puis exprimerf(−x) en fonction def(x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative def?

4. Étudier les variations et les limites def, puis tracer sa courbe représentative.

Exercice 10 Étudier la fonctionf :x7→ sinx

arcsinx au voisinage de 0.

Exercice 11 (Branches infinies) Étudier les branches infinies des fonctions f :x7→(x+ 1)e^x1 et g:x7→x

rx−1 x+ 1.

Exercice 12 (Tangentes) Déterminer l’équation et la position de la tangente au point d’abscissex0. 1. f(x) = lnx

x avecx0= 1. 2. f(x) = 1

1 + e^x avecx0= 0.

Exercice 13 (Encore cette suite) On considère la suiteudéfinie parun=

1 + 1 n

ⁿ . 1. Déterminer la limitel de cette suite.

2. Démontrer que

un−l= −e 2n +o(1

n).

La convergence est-elle rapide ? Comparer avec d’autres suites qui convergent vers l.

Exercice 14 (Recherche d’équivalents) Donner un équivalent simple de : 1. xcosx−sinx

ln(1 +x) au voisinage de 0. 2. (n+ 1)ⁿ¹ −nⁿ¹ au voisinage de +∞.

Exercice 15 (Se ramener à 0 à tout prix) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞de f(x) =x(π

2 −arctanx)− 3x² 1 + 3x².

Exercice 16 (Raccord de solutions d’ED) Résoudre surRl’équation différentielle (e^x−1)y^′(x) + e^xy(x) = cosx.

On pourra étudier la fonction

f :x7→ sinx+a e^x−1 .