Nom :
Groupe : TMATHS2
Devoir maison n°2
Etude de fonctions et calculs de limites
à préparer pour le : 26 / 11 / 20
Exercice 1 : n° 19 p 95 Exercice 3 : n° 24 p 96
Correction du DM n°2 Exercice 1 : n° 19 p 95
Les questions 1 et 2 ont été traitées en classe.
Correction des questions 3 et 4 : On pose =
= =
De plus > ⇔ > ⇔ < ⇔ <
On en déduit le tableau de signes suivant : -∞ 3 +∞
+ –
Ainsi, = et =
On en déduit, par quotient :
= -∞ et = +∞ puisque <
Exercice 2 : n° 22 p 96
1. Pour étudier le sens de variation d'une fonction on étudie le signe de sa dérivée.
∀ ∈ R, = =
∆ = = = =
∆ > . On en déduit deux racines distinctes :
= = = =
= = =
Le trinôme est du signe de = 3 > sauf entre ses racines. On en déduit :
• > ⇔ ∈ ]-∞; [ ∪ ] ;+∞[
• < ⇔ ∈ ] ; [
Ainsi, la fonction est croissante sur ]-∞; ] puis décroissante sur [ ; ] et de nouveau croissante sur [ ;+∞[.
2. La limite en l'infini d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Donc = = -∞
Et = = +∞
3. Après calcul des valeurs (exactes) de et de on en déduit le tableau de variation suivant :
-∞ +∞
+ – +
+∞ -∞
Exercice 3 : n° 24 p 96
1. ∀ ∈ R\{ }, = = avec = et =
=
= =
=
> et ∀ ∈ R\{ }, > donc >
On en déduit que est croissante sur ]-∞; [ puis sur ] ;+∞[.
2. La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par celui du dénominateur.
Donc = = =
Et = =
La droite d'équation = est asymptote horizontale à la courbe représentative de en -∞ et en +∞.
xlim!3
3 6 x
x 2 2x 6 6¡2x 0
6¡2x x
O
xlim!3 x<3
6¡2x
x2¡10 32¡10 -1 x2¡10
6¡2x f(x)
6¡2x 0¡
xlim!3 x>3
0+
xlim!3 x<3
xlim!3 x>3
f(x) f(x) -1 0
x g(x) x3¡x2 ¡5x+ 1 3x2 ¡2x¡5 g0(x)
b2¡4ac (-2)2¡4£3£(-5) 4 + 60 64 0
-b¡p
¢ x1 2a
2¡p 64 6
2¡8
6 -1
x2
-b+p
¢ 2a
2 + 8 6
5 3
0 a
g0(x) 0 x g0(x) 0 x
-1 -1
5 5 3
3
-1 -1 5
5 3 3
g
xlim!-1g(x) lim
x!-1x3
x!lim+1g(x) lim
x!+1x3
x -1 5
3 g0(x)
4
-148 27
O O
g(-1) g(5
3)
x f(x) x
4¡2x
u(x) v(x) 4¡2x
v(x) x
u(x)
f0(x) u0(x)v(x)¡v0(x)u(x) v(x)2
f0(x) 1(4¡2x)¡(-2)x (4¡2x)2
4¡2x+ 2x (4¡2x)2 4
(4¡2x)2 f0(x)
x
0 0
4 (4¡2x)2 f0(x) 0
2
2 f g
2 2
xlim!-1 lim
x!-1
x!lim+1 lim
x!+1
f(x) x
-2x lim
x!-1
-1 2
-1 2
f(x) x
-2x -1 -1 2 y 2
f
3. =
De plus > ⇔ > ⇔ < ⇔ <
On en déduit le tableau de signes suivant :
-∞ +∞
+ –
Ainsi, = et =
On en déduit, par quotient :
= +∞ et = -∞
Ainsi, la droite d'équation = est asymptote verticale à la courbe représentative de . 4. On en déduit le tableau de variation suivant :
-∞ +∞
+ +
+∞ -∞
f(x) f(x)
0 2x x x
x
0+ 0¡
O x
xlim!2 2
4¡2x 4 4
2 2
2 4¡2x
4¡2x 4¡2x
xlim!2 x<2
xlim!2 x>2
xlim!2 x>2 xlim!2
x<2
2
x f
x 2
f f0(x)
-1 -1 2
2
