DM n°3 : Étude de fonctions

Nom :

Groupe : TMATHS2

Devoir maison n°3 Etude de fonctions

à préparer pour le : 11 / 12 / 20

Exercice 1 : n° 56 p 98 Exercice 2 : n° 70 p 100

Correction du DM n°3

Exercice 1 : n° 56 p 98 4. ∀ ∈ R*, =

= =

= =

Ainsi, = =

et = =

Ce qui justifie que la droite ∆ d'équation = est bien asymptote oblique à c en -∞ et en +∞.

Exercice 2 : n° 70 p 100

1. ∀ ∈ Z, ∀ ∈ R, =

Donc = =

Ainsi = , = , = , etc.

On en déduit l'identification des courbes sur le graphique précédent.

g(x) f(x)¡(x+ 3) g(x) x²+ 3x+ 1

x ¡ (x+ 3)x x g(x) x²+ 3x+ 1

x ¡ x²+ 3x x g(x) x²+ 3x+ 1¡x²¡3x

x

1 x

g(x) 1

x 0

x!lim+1g(x) lim

x!+1

1 x 0

x!lim-1 lim

x!-1

y x+ 3 f

k x fk(x) x¡2 +k e^-x fk(0) 0¡2 +k e⁰ k¡2

c₁

c₀ c_-1 c_-2

c_-3 c₂ c₃

c₄

f0(0) -2 f1(0) -1 f2(0) 0 x

2. a) ∀ ∈ Z, ∀ ∈ R, =

= +∞ et = +∞ donc, par composition de limites, = +∞ On en déduit :

◦ Si > 0 alors = +∞

◦ Si < 0 alors = -∞

De plus, = -∞. On en déduit, par somme de limites : = -∞ si < 0.

Lorsque > 0, -∞ + ∞ est une forme indéterminée. Levons l'indétermination :

= = =

D'après le théorème des croissances comparées, = . On en déduit = . On a montré que, si > 0 alors = +∞. On en déduit = .

Ainsi, on obtient par somme, = puis, par produit : = +∞ si > 0

Enfin, si = 0 on a = =

Dans ce cas, = = -∞

b) ∀ ∈ Z, ∀ ∈ R, =

= -∞ et = 0 donc, par composition de limites, = 0 On en déduit, par produit : ∀ ∈ Z, = 0

De plus, = +∞

Ainsi, par somme, ∀ ∈ Z, = +∞

3. a) Pour étudier les variations de la fonction , on étudie le signe de selon la valeur de :

∀ ∈ Z, ∀ ∈ R, =

Donc =

◦ 1 ^er cas : Si ≤ 0

Alors ∀ ∈ R, > 0 et ≥ 0 On en déduit ≥ ≥ 0

Ainsi ≥ 0 et par conséquent la fonction est croissante sur R.

-∞ +∞ +

+∞ -∞

◦ 2 ^ème cas : Si > 0

Alors = 0 ⇔ =

= = = De même, > 0 ⇔ >

Enfin, =

= =

= =

On en déduit le tableau de variations de : -∞ +∞

– +

+∞ +∞

b) Lorsque > 0, les points A ( ; ) correspondent au minimum de la courbe c . Les coordonnée ( ; ) des points A vérifient la relation = . On en déduit que lorsque > 0, les points A sont tous alignés entre eux sur la droite d'équation = .

k x fk(x) x¡2 +k e^-x

xlim!-1x¡2

x!lim-1-x lim

X!+1e^X lim

x!-1e^-x

k lim

x!-1k e^-x

k lim

x!-1k e^-x

x!lim-1fk(x) k k

f_k(x) x¡2 +k e^-x k e^-x( x

k e^-x ¡ 2

k e^-x + 1) k e^-x(x e^x k ¡ 2

k e^-x + 1)

xlim!-1x e^x 0 lim

x!-1

x e^x

k 0

k lim

x!-1k e^-x lim

x!-1 2 0 k e^-x

xlim!-1

x e^x k ¡ 2

k e^-x + 1 1 lim

x!-1fk(x) k k f₀(x) x¡2 + 0£ e^-x x¡2

x!lim-1f₀(x) lim

x!-1x¡2 k x f_k(x) x¡2 +k e^-x

-x e^X e^-x

x!lim+1 lim

x!+1 Xlim!-1

x!lim+1k e^-x k

x!lim+1x¡2

x!lim+1f_k(x) k

f_k(x)

fk k

k x f_k(x) x¡2 +k e^-x f_k⁰(x) 1¡k e^-x

k

x e^-x -k e^-x 1¡k e^-x 1 f_k⁰(x)

f_k

f_k⁰(x) fk

x

k

1¡k e^-x e^-x 1 k -x ln(1

k) -x -ln(k)

x ln(k) 1¡k e^-x x ln(k)

f_k x

f_k⁰(x) fk

ln(k) f_k(ln(k)) fk(ln(k)) fk(ln(k)) fk(ln(k))

ln(k)¡2 +k e^-ln(k) ln(k)¡2 +k e^ln(

1 k⁾ ln(k)¡2 +k£ 1

k

ln(k)¡2 + 1 ln(k)¡1

ln(k)¡1

k k ln(k) ln(k)¡1 k

k y x¡1

y x

k y x¡1

k