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Classe : 1ère Spé Maths G1
Test du DM n°3
Fonctions trigonométriques et probabilités le 16 / 01 / 20
Note :
… / 14
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Démontrer qu'une fonction est périodique.
Déterminer la parité d'une fonction.
Déterminer l'expression d'une fonction sinusoïdale.
Justifier la parité d'une fonction sinusoïdale par l'observation de sa courbe représentative.
Calculer.
Interpréter les variations d'une fonction sinusoïdale dans un contexte donné.
Calculer des probabilités / Interpréter des notations dans le contexte d'un exercice.
Exercice 1 : … / 3
On considère la fonction définie sur R par : =
1. Montrer que la fonction est périodique de période .
Indication : Quel que soit le réel on admet que : = et =
………
………
………
………
………
2. Déterminer la parité de la fonction .
………
………
………
………
………
Exercice 2 : … / 2
Un signal sinusoïdal est caractérisé par la formule = , où désigne le temps en seconde.
La nature du signal peut correspondre à une pression (son), à un déplacement (corde qui vibre), à une quantité d'électrons en déplacement (courant électrique) ou encore à une onde électromagnétique.
est l'amplitude du signal, appelée aussi valeur de crête. est la pulsation de la grandeur, exprimée en rad.s . est la phase à l'origine et est exprimée en radian. Le nombre est la phase instantanée, en radian.
Par exemple, si on mesure une pression sonore, l'unité du signal est le décibel (db).
1. Exprimer la fonction d'un signal sonore dont l'amplitude vaut db, la pulsation rad.s et la phase à l'origine rad.
………
2. Quelle est, au bout d'une durée de s, la valeur en db du signal sonore ? Arrondir à près.
………
3. On admet que la fonction est périodique de période . 4. La courbe représentative de est donnée ci-dessous.
5. est-elle paire ? Impaire ? Justifier la réponse.
………
………
………
………
sin(2x) +cos(x)sin(x) f(x)
¼ f
f
G sin(!t+Á) g(t)
! -1
G
t
Á !t+Á
-1
¼ 6
g 15 2
¼ 120
g g
g
sin(µ+¼) -sin(µ) µ cos(µ+¼) -cos(µ)
10-1
Exercice 3 : … / 3,5 On considère le circuit électrique ci-contre comprenant :
• un condensateur dont la capacité, exprimée en farad, a pour valeur .
• une bobine dont l'inductance, exprimée en henry, a pour valeur .
• un interrupteur.
Le temps est exprimé en seconde. A l'instant = , on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelle la valeur de la charge, exprimée en coulomb (C), du condensateur à l'instant .
On admet que la fonction est définie pour tout réel ≥ par : =
1. Calculer . En déduire que la fonction est périodique.
………
………
………
………
………
………
………
………
2. Montrer que la fonction n'est ni paire, ni impaire.
………
………
………
………
………
………
3. On a tracé la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [ ; ].
On peut conjecturer que la fonction est croissante sur [ ; ], décroissante sur [ ; ] puis de nouveau croissante sur [ ; ]. Interpréter ces conjectures.
………
………
………
4. Quelle était la charge du condensateur à l'instant = ? (Valeur exacte attendue puis à près.)
………
………
C L
t t 0
t q(t)
t
q 0
q(t) 1
200 sin(200t+ ¼ 4) q(t+ ¼
100) q
q
q
q
0 ¼ 100
0 0,004 0,004 0,02
0,02 ¼ 100
t 0 10-4
Exercice 4 : … / 2,5 Dans une population, % des individus ont les yeux marrons, % ont les cheveux blonds et % ont les yeux marrons et les cheveux blonds.
1. Compléter le diagramme ci-dessous.
2. On choisit un individu au hasard dans cette population. On considère les événements suivants :
◦ M : « L'individu a les yeux marrons »
◦ B : « L'individu a les cheveux blonds »
a) Quelle est la probabilité qu'il ait les yeux marrons ou les cheveux blonds ?
………
………
b) On constate que cet individu a les yeux marrons. Quelle est la probabilité qu'il ait aussi les cheveux blonds ?
………
………
c) On constate que cet individu a les cheveux blonds. On admet que la probabilité qu'il ait aussi les yeux marrons est égale à .
Exercice 5 : … / 3
Dans un magasin de sport, une étude statistique a montré que % des clients achètent des baskets. Parmi eux, % achètent des articles soldés alors qu'une personne sur quatre qui n'achète pas de baskets profite des soldes.
On choisit un client au hasard et on considère les événements suivants :
• B : « Le client achète des baskets »
• S : « Le client profite des soldes »
Calculer les probabilités suivantes et les traduire par une phrase contextualisée.
a) P
………
………
b) P
………
………
c) P
………
………
65 15 5
1 3
60 40
B(¯S)
(B\S)¯
( ¯B\S)
Correction du DM n°3 Exercice 1 :
On considère la fonction définie sur R par : =
1. Montrer que la fonction est périodique de période .
∀ ∈ R on a : ∈ R et : = = Or, on sait que : ∀ ∈ R :
• =
• =
• =
On en déduit : = = =
Ainsi, la fonction est - périodique.
2. Déterminer la parité de la fonction .
∀ ∈ R on a : ∈ R et : =
Or, la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. Autrement dit : ∀ ∈ R :
• =
• =
On en déduit : = = = -
Ainsi, la fonction est impaire.
Exercice 2 :
Un signal sinusoïdal est caractérisé par la formule = , où désigne le temps en seconde.
La nature du signal peut correspondre à une pression (son), à un déplacement (corde qui vibre), à une quantité d'électrons en déplacement (courant électrique) ou encore à une onde électromagnétique.
est l'amplitude du signal, appelée aussi valeur de crête. est la pulsation de la grandeur, exprimée en rad.s . est la phase à l'origine et est exprimée en radian. Le nombre est la phase instantanée, en radian.
Par exemple, si on mesure une pression sonore, l'unité du signal est le décibel (db).
1. Exprimer la fonction d'un signal sonore dont l'amplitude vaut db, la pulsation rad.s et la phase à l'origine rad.
=
2. Quelle est, au bout d'une durée de s, la valeur en db du signal sonore ? Arrondir à près.
= = ≈ db
3. Montrer que la fonction est périodique de période .
∀ ∈ R on a : ∈ R et : = =
Or, la fonction sinus est - périodique donc, quel que soit le réel on a : =
On en déduit : = =
Ainsi, la fonction est - périodique.
4. La courbe représentative de donnée ci-dessous peut être obtenue à l'aide de la calculatrice.
5. est-elle paire ? Impaire ? Justifier la réponse.
Graphiquement, cette courbe représentative n'est pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ni par rapport à l'origine du repère. On en déduit que la fonction n'est ni paire, ni impaire.
f(x) sin(2x) +cos(x)sin(x)
f ¼
f
g(t) G sin(!t+Á) t
G ! -1
Á !t+Á
g 15 2 -1
¼ 6
120
g
g
x x+¼ f(x+¼) sin(2 (x+¼)) +cos(x+¼)sin(x+¼) f(x+¼) sin(2x+ 2¼) +cos(x+¼)sin(x+¼) µ
sin(µ+ 2¼) sin(µ) cos(µ+¼) -cos(µ) sin(µ+¼) -sin(µ)
f(x+¼) sin(2x)¡cos(x)£(-sin(x)) sin(2x) +cos(x)sin(x) f(x)
f ¼
x -x f(-x) sin(-2x) +cos(-x)sin(-x)
µ -sin(µ)
cos(µ) sin(-µ)
cos(-µ)
f
f(-x) -sin(2x) +cos(x)£(-sin(x)) -sin(2x)¡cos(x)sin(x) f(x)
g(t) 15sin(2t+ ¼ 6)
g(120) 15sin(2£120 + ¼
6) 15sin(240 + ¼
6) 14,7
10-1
¼ g
sin(µ+ 2¼) sin(µ)
¼
t + t+¼ + g(t+¼) 15sin(2 (t+¼) + ¼
6) 15sin(2t+ 2¼+ ¼ 6)
2¼ µ
g(t+¼) 15sin(2t+ ¼
6) g(t) g
g
Exercice 3 :
On considère le circuit électrique ci-contre comprenant :
• un condensateur dont la capacité, exprimée en farad, a pour valeur .
• une bobine dont l'inductance, exprimée en henry, a pour valeur .
• un interrupteur.
Le temps est exprimé en seconde. A l'instant = , on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelle la valeur de la charge, exprimée en coulomb (C), du condensateur à l'instant .
On admet que la fonction est définie pour tout réel ≥ par : =
1. Calculer . En déduire que la fonction est périodique.
= = =
Or, la fonction sinus est - périodique donc, quel que soit le réel on a : = On en déduit : = = . Ainsi, la fonction est - périodique.
2. Montrer que la fonction n'est ni paire, ni impaire.
On peut conjecturer que la fonction est croissante sur [ ; ], décroissante sur [ ; ] puis de nouveau croissante sur [ ; ]. Interpréter ces conjectures.
Lorsque le temps varie entre et s, la charge du condensateur augmente puis elle diminue jusqu'à s avant de ré-augmenter jusqu'à s.
4. Quelle était la charge du condensateur à l'instant = ? (Valeur exacte attendue puis à près.)
= = = = ≈ C.
A l'instant = , la charge du condensateur était d'environ C.
C L
t t 0
q(t) t
q t 0
q(t) 1
200 sin(200t+ ¼ 4) q(t+ ¼
100) q
q
q 0 0,004 0,004 0,02
0,02 ¼ 100
t 0 q(t+ ¼
100) 1
200sin(200 (t+ ¼
100) +¼ 4) 1
200sin(200t+ 200¼ 100 + ¼
4) q(t+ ¼
100) q(t+ ¼
100) 1
200sin(200t+ 2¼+ ¼ 4)
2¼ µ sin(µ+ 2¼) sin(µ)
q(t+ ¼
100) 1
200 sin(200t+ ¼
4) q(t) q ¼
100
0 0,004 0,02
¼ 100
q(0) 1
200 sin(200£0 + ¼ 4) 1
200 sin(¼ 4) 1
200 p2
2
p2 400
t 0 0,0035
10-4
0,0035
Exercice 4 :
Dans une population, % des individus ont les yeux marrons, % ont les cheveux blonds et % ont les yeux marrons et les cheveux blonds.
1. Compléter le diagramme ci-dessous.
2. On choisit un individu au hasard dans cette population. On considère les événements suivants :
◦ M : « L'individu a les yeux marrons »
◦ B : « L'individu a les cheveux blonds »
a) Quelle est la probabilité qu'il ait les yeux marrons ou les cheveux blonds ? P = P(M) + P(B) – P = + – =
La probabilité qu'un individu choisi au hasard ait les yeux marrons ou les cheveux blonds est .
b) On constate que cet individu a les yeux marrons. Quelle est la probabilité qu'il ait aussi les cheveux blonds ?
P = = =
Sachant que l' individu choisi au hasard a les yeux marrons, la probabilité qu'il ait les cheveux blonds est . c) On constate que cet individu a les cheveux blonds. Quelle est la probabilité qu'il ait aussi les yeux marrons ?
P = = =
Sachant que l'individu choisi au hasard a les cheveux blonds, la probabilité qu'il ait les yeux marrons est . Exercice 5 :
Dans un magasin de sport, une étude statistique a montré que % des clients achètent des baskets. Parmi eux, % achètent des articles soldés alors qu'une personne sur quatre qui n'achète pas de baskets profite des soldes.
On choisit un client au hasard et on considère les événements suivants :
• B : « Le client achète des baskets »
• S : « Le client profite des soldes »
Calculer les probabilités suivantes et les traduire par une phrase contextualisée.
a) P
Dans ce magasin de sport % des personnes qui achètent des baskets, achètent des articles soldés.
P = 1 – P = =
Ainsi, la probabilité qu'un client choisi au hasard, parmi ceux qui achètent des baskets, ne profite pas des soldes est .
b) P
P = P × P = =
La probabilité qu'un client, choisi au hasard, achète des baskets et ne profite pas des soldes est . c) P
P = P × P = =
La probabilité qu'un client, choisi au hasard, n'achète pas des baskets et profite des soldes est .
65 15 5
60 40
B(¯S)
(B\S)¯
( ¯B\S)
0,65 0,05 0,15
(M[B) (M\B) 0,65 0,15 0,05 0,75
M(B) P(M\B) P(M)
0,05 0,65
1 13
1 13 0,75
B(M) P(M\B) P(B)
0,05 0,15
1 3
1 3
B(¯S) B(S) 1¡0,4 0,6 40
0,6
(B\¯S) (B) B(¯S) 0,6£0,6 0,36
0,36
( ¯B\S) ( ¯B) B¯(S) 0,4£0,25 0,1
0,1
