DM 3

DM n

3

Exercice

SoitB= (e₁, e₂, e₃) une base d’un espace vectorielE. Pour tout r´eel a, on consid`ere l’endomorphismef_a deE d´efini par

f_a(e₂) = 0_E et f_a(e₁) =f_a(e₃) =a e₁+e₂−a e₃. 1. (a) D´eterminer une base de Im(fa).

(b) D´eterminer la dimension de Ker(f_a) et montrer que (e₂, e₁−e₃) est une base de Ker(f_a).

(c) Donner la matrice def_a dansB.

2. On posee⁰₁=f_a(e₁),e⁰₂=e₁−e₃, e⁰₃=e₃. (a) Montrer que (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est une base deE.

(b) Donner la matriceAdef_a dans cette base et calculerA². En d´eduire sans calculf_a◦f_a. (c) Montrer queA n’est pas inversible.

3. Pour tout r´eelxnon nul, on poseB(x) =A−x I3,I3 d´esignant la matrice identit´e deM3(R).

(a) Montrer queB(x) est inversible.

(b) Calculer (A−x I3)(A+x I3) puis ´ecrire (B(x))⁻¹ en fonction dex,I3 etA.

(c) Pour toutn∈N, d´eterminer (B(x))ⁿ en fonction dex,n,I3 etA.

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Exercice facultatif

f : [2; +∞[ −→ R

x 7−→ 1

√x²−1

1. D´emontrer que, pour tout r´eelxsup´erieur ou ´egal `a 2 : 1

x≤f(x)≤ 1

√x−1.

2. Pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, on d´efinit l’int´egrale :

In= Z n

2

f(x) dx.

(a) D´emontrer que : lim

n→+∞I_n= +∞.

(b) On d´efinit la fonction

F: [2; +∞[ −→ R x 7−→ ln (x+√

x²−1).

Calculer la d´eriv´ee deF, et en d´eduire une expression deIn en fonction den.

(c) D´eterminer la limite deIn−ln (n) quandntend vers +∞.

3. On d´efinit, pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2 :

S_n=

n

X

k=2

√ 1 k²−1.

(a) ´Ecrire en Scilab un algorithme calculant la sommeS_n, l’entier n´etant demand´e `a l’utilisateur.

(b) Montrer que :

I_n+1≤S_n ≤I_n+ 1

√3.

Indication : ´ecrire In=

n−1

X

k=2

Z k+1

k

f(x)dx.

(c) Montrer que

S_n ln (n) −→

n→+∞1.

2