mp* 20-21 : DM 3
23/11/2020
. . .mais il est conseillé de s’y mettre avant le DS du 16/11.
Enoncé A : Pour tout le monde. Endomorphismes cycliques, un grand classique, qui ne se démode pas puisque l’un des deux sujets Centrale 2019 portait sur ce thème. Très bon sujet de révision sur la réduction.
Enoncé B: Facultatif. Sujet X 2010 (début). Un sujet X assez technique, de vraies diffi- cultés. Probablement plus dur que l’énoncé C, mais nettement moins long.
Enoncé C : Facultatif. Sujet ENS Lyon-Cachan 1997. Surtout pour celles et ceux visant les ens : ce n’est pas un bon sujet de synthèse sur la réduction. . .mais c’est un très bon entraînement ens, les questions ne sont pas forcément horribles, en temps libre on sera moins gêné par la nécessité d’absorber un certain nombre de définitions.
Enoncé A
NOTATIONS
Pourp etq entiers deN, avec p≤q,[p, q]désigne l’ensemble des entiers compris au sens large entrep etq.
E désigne un espace vectoriel de dimension finie n,n≥2, sur le corpsK, avecK=R ou K=C.
Dans tout le problèmef désigne un endomorphisme deE; on a
f2 =f ◦f et de mêmefk+1 =fk◦f;I désigne l’identité et0 désigne l’application nulle.
Par conventionf0 =I.
Si R ∈ K[X] , R(X) = a0+a1X +· · ·+apXp, on note R(f) l’endomorphisme a0I+ a1f +· · ·+apfp. On note alors K[f] l’algèbre des polynômes de f. C’est-à-dire K[f] = {R(f) / R∈K[X]}. On notePf(X) = det(XI−f) le polynôme caractéristique def. Pour une matriceM ∈ Mn(K), on pourra également introduire le polynôme caractéristique deM défini par PM(X) = det(XIn−M) oùInest la matrice unité de Mn(K).
On dit quefest cyclique si et seulement si il existex0dansEtel que x0, f(x0), . . . , fn−1(x0) soit une base deE.
On appelle commutant def l’ensembleC(f) = {g∈ L(E) / f ◦g=g◦f}. On admettra que C(f) est un espace vectoriel de dimension au moins n sur K. On admet aussi que (C(f),+,◦) est un anneau.
GLn(K) est l’ensemble des matrices inversibles d’ordren, surK.
PREMIÈRE PARTIE : matrice compagne d’un endomorphisme cyclique
I
I.1
Montrer quef est cyclique si et seulement si il existe une base B deE dans laquelle f a pour matrice
C=
0 0 −a0
1 0 0 −a1
0 1 . .. −a2
... . .. ... ... ... ... . .. 1 0 −an−2 0 . . . 0 1 −an−1
avec(a0, . . . , an−1)∈Kn. On dira queC est la matrice compagne de f.
I.2
On conserve les notations de la question précédente. Soit
Q(x) =Xn+an−1Xn−1+· · ·+a0. Déterminer, en fonction deQ, le polynômePC carac- téristique deC. On dira aussi que C est la matrice compagne de PC.
I.3
Soit λ une valeur propre de C; déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
Déterminer une base de ce sous-espace propre.
Remarque : j’ai hésité à laisser cette dernière question, assez désagréablement calcula- toire. En temps libre, c’est l’occasion de s’entraîner à faire un calcul un peu pénible en le présentant convenablement.
DEUXIÈME PARTIE : endomorphismes nilpotents
II
II.4
On suppose dans cette question fn−1 6= 0 et fn = 0. Montrer que f est cyclique et déterminer sa matrice compagne. Quelle est la dimension du noyau def?
II.5
On suppose maintenantf nilpotent : c’est-à-dire qu’il existe un entierp supérieur ou égal à 2 tel quefp−16=0 etfp =0. On pose pour k∈[0, p],Nk = Ker(fk) etnk= dim(Nk).
On suppose également quen1 = 1.
II.5.1
Montrer que∀k∈[0, p−1] Nk⊂Nk+1 etf(Nk+1)⊂Nk. II.5.2
En considérant l’application
φ : Nk+1 −→ Nk x 7−→ f(x)
montrer que∀k∈[0, p−1]nk+1 ≤nk+ 1.
II.5.3
Montrer par récurrence que nk = nk+1 ⇒ ∀j ≥ k Nj = Nk. En déduire que p = n et déterminernk pourk∈[0, n].
TROISIÈME PARTIE : Une caractérisation des endomorphismes cycliques
III
III.6
Montrer que sif est cyclique, (I, f, . . . , fn−1) est libre dans L(E). Ce résultat sera égale- ment utilisé dans la quatrième partie.
On suppose, dans cette partie, que (I, f, . . . , fn−1) est libre et on se propose de montrer que f est cyclique.
III.7
Dans cette question,K=C. On factorise le polynôme caractéristiquePf defsous la forme Pf(X) =
p
Y
k=1
(X−λk)mk où lesλksont lespvaleurs propres distinctes def et lesmk dans N∗ leur ordre respectif de multiplicité. Pourk∈[1, p]on pose Ek= Ker ((f −λkI)mk).
III.7.1
Montrer que les sous-espaces vectorielsEk sont stables parf et que E =E1⊕ · · · ⊕Ep
. III.7.2
Pourk∈[1, p], on note φk l’endomorphisme : φk : Ek −→ Ek
x 7−→ f(x)−λkx Déterminerφmkk. Quelle est la dimension deEk?
Montrer queφmkk−1 n’est pas l’endomorphisme nul.
III.7.3
En déduire l’existence d’une base B de E dans laquelle f a une matrice « diagonale par
blocs », ces blocs appartenant àMmk(C), et étant de la forme :
λk 0 . . . 0 1 λk . .. ... 0 1 λk . .. ... ... . .. ... ... ...
... . .. λk 0
0 . . . 0 1 λk
(on pourra utiliser la partieII).
III.7.4
En utilisant la matrice compagne dePf, montrer quef est cyclique.
III.8
On suppose, dans cette question uniquement, queK=R.
III.8.1
Soit A et B deux matrices de Mn(R) semblables dans Mn(C) : A =QBQ−1 avec Q∈ GLn(C). On écritQ=Q1+iQ2 avecQ1 etQ2 dansMn(R). Montrer que{λ∈R / Q1+ λQ2 ∈ GLn(R)} est non vide. En déduire queA etB sont semblables dansMn(R).
III.8.2
Montrer quef est cyclique. Conclure.
QUATRIÈME PARTIE : Une autre caractérisation des endomorphismes cycliques
IV
IV.9
On supposef cyclique et on choisitx0 dansE tel que x0, f(x0), . . . , f(n−1)(x0)
soit une base deE.
IV.9.1
Soitg∈ C(f). En écrivantg(x0) =
n−1
X
k=0
αkfk(x0), montrer que g∈K[f].
IV.9.2
Montrer queg ∈K[f] si, et seulement si, il existe un unique polynôme R ∈Kn−1[X]tel queg=R(f).
IV.10
On suppose queC(f) =K[f]. Montrer quef est cyclique. Conclure.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE
MP
CONCOURS D’ADMISSION 2010
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
? ? ?
Sur les sous-groupes finis de GL2(C)
Notations et conventions
SoitGun groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal|G|. On note1G l’unité deG.
On rappelle que tout élémentg de Gvérifie g|G|=1G.
SiE est un C-espace vectoriel de dimension finie, on note GL(E)le groupe des endomor- phismes inversibles deE et IdE l’identité de E. Siϕest un endomorphisme de E, on note Tr(ϕ) la trace de φet det(ϕ) son déterminant.
SiG est un sous-groupe fini de GL(E), et V un sous-espace vectoriel de E, on note VG l’ensemble des vecteurs deV fixés par G :VG ={v ∈V | ∀g ∈G, g(v) =v}. On dit que V est stablepar G si quels que soient g∈ G,v ∈V, on ag(v)∈ V et on dit que E est irréductible pourGsi les seuls sous-espaces stables parGsont E et{0}.
On noteMn(C)l’espace des matrices carrées de taillenà coefficients complexes et GLn(C) le groupe des matrices inversibles dansMn(C).
On identifie un élément deMn(C) et l’endomorphisme de Cn qui lui est canoniquement associé. En particulier, six= (x1, . . . , xn), on note aussix=
x1
... xn
, et siA∈ Mn(C), on
pourra considérerAxaussi bien comme l’image dex par l’endomorphisme canoniquement associé àA que comme le produit par la matriceA du vecteur colonnex=
x1
... xn
.
On note(Ei,j)1≤i,j≤n la base canonique deMn(C).
I - Sous-groupes finis de GL(E)
1.SoitE unC-espace vectoriel de dimension finie et soitGun sous-groupe fini de GL(E).
a.Démontrer que, pour toutg∈G,gest diagonalisable.
b.Démontrer que si G est commutatif, tous les éléments de G sont diagonalisables dans une même base.
II - Lemme de Schur
Notons A = Mn(C) et E = Cn. Notons In la matrice identité de Mn(C). On appelle homothétie une matrice de la forme λIn, λ∈ C. Soit G un sous-groupe fini de GLn(C).
Pour toutB ∈G, on note i(B) l’application : i(B) : A −→ A
M 7−→ BM B−1
2.Montrer que i : B 7→ i(B) est un morphisme de groupes de G dans GL(A), et que i est injectif si et seulement siGne contient pas d’homothétie autres que l’identité.
On noteGe l’image paride GetAGe l’ensemble des matrices M ∈ Atelles que i(B)(M) =M pour tout B ∈G.
3.SoitM ∈ AGe. Démontrer que Ker(M) et Im(M)sont des sous-espaces stables parG.
4. On suppose que E est irréductible pour G. Soit M ∈ AGe, démontrer que M est soit nulle, soit inversible. En déduire queAGe est de dimension 1.
5. Soient M, N ∈ A. On considère l’endomorphisme de A suivant, Φ : X 7→ M XN. Démontrer que Tr(Φ) =Tr(M) Tr(N).
6.SoitP = 1
|G|
X
B∈G
B.
6.a.Démontrer que P2 =P. En déduire que P est diagonalisable.
6.b.Démontrer que Im(P) =EG et en déduire que dim(EG) = 1
|G|
X
B∈G
Tr(B).
7. Démontrer que dim
AGe
= 1
|G|
X
B∈G
Tr(B−1)Tr(B) (on pourra d’abord considérer le cas oùiest injectif).
On suppose, jusqu’à la fin de cette partie, que E est irréductible pour G.
8.a. Soit X dans A une matrice qui commute avec toutes les matrices de G. Démontrer queX= 1
nTr(X)In. 8.b.Soit Y = X
B∈G
Tr(B−1)B. Démontrer queY = |G|
n In.
9.On garde la notationY jusqu’à la fin de cette partie. Soitζ =e2iπ/|G|. On note ZG={a0ζ0+a1ζ1+· · ·+a|G|−1ζ|G|−1, ai ∈Z}
etZG[G]les combinaisons linéaires, à coefficients dans ZG, de matrices deG.
9.a.Démontrer que pour toutB ∈G, Tr(B)est dans ZG, puis que Y est dans ZG[G].
9.b. On note (Ck)1≤k≤|G|2 les |G|2 matrices ζiB (où 1 ≤ i ≤ |G| et B ∈ G) de ZG[G].
Démontrer que pour tous 1 ≤ k ≤ |G|2, on peut trouver des coefficients (ai,j)1≤i,j≤|G|2 dansZtels que Y Ck= X
1≤`≤|G|2
a`,kC`. 9.c.On pose A= (ai,j)1≤i,j≤|G|2 etR= |G|
n I|G|2−A. Démontrer que det(R) = 0.
9.d. Démontrer que |G|
n est racine d’un polynôme à coefficients dans Z de degré |G|2 et de terme dominant égal à 1. En déduire quendivise |G|.
Enoncé C
Les calculatrices sontinterdites.
? ? ?
Une remarque typographique : la lettre grecque χ (chi, prononcer ki) se situe assez bas par rapport à la ligne d’écriture. Ne voulant pas abuser des\raisebox et autres fantaisies, je l’ai laissée comme LATEX la produit. Dans l’énoncé, les indices de χ (par exemple χE) paraissent donc assez hauts ; sur une copie, en écriture manuscrite, on aura avantage à dessiner unχplus haut pour mieux le distinguer de l’indice :χE est plus lisible queχE
Dans tout l’énoncé,Kdésigne le corps R ouC etΓ un groupe fini dont l’élément neutre est noté1Γ. Tous lesK)-espaces vectoriels qui interviennent sont de dimension finie. SiE, F sont deux K-espaces vectoriels, on note L(E, F) l’espace des applications K-linéaires de E dans F; si E = F, on utilise L(E) au lieu de L(E, E); on note GL(E) le groupe des bijections linéaires deE sur lui-même (pour la loi de composition). Enfin, siX est un ensemble fini, on note]X son cardinal.
Certaines définitions ou notations sont données au fur et à mesure ; en général, elle sont annoncées par un point• et à l’aide de mots en gras.
Partie I : Formule de Burnside et représentations linéaires
•UnΓ-espaceou unereprésentation linéaire deΓest la donnée d’unK-espace vectoriel Ede dimension finie et d’un morphisme de groupesρ : Γ→GL(E). Cette donnée définit une opération Γ×E → E, à savoir (γ, x) 7→ ρ(γ)(x), que l’on note souvent (quand cela ne prête pas à confusion) γ.x au lieu de ρ(γ)(x) et qui vérifie donc les propriétés (pour x, y∈E,γ, γ0 ∈Γ, λ∈K) :
γ.(x+y) =γ.x+γ.y, γ.(λx) =λ(γ.x), 1Γ.x=x, γ.(γ0.x) = (γγ0).x
Réciproquement, une telle opération Γ×E → E définit un morphisme de groupes Γ → GL(E). Avec les abus de langage habituels, on dira parfois dans la suite « soit E un Γ- espace » ou bien « soit E une représentation linéaire de Γ», sans référer nécessairement
au morphisme Γ → GL(E), sauf bien sûr si le contexte est ambigü. On écrira parfois ργ
au lieu deρ(γ) (ργ : E→E est donc l’application linéairex7→γ.x).
•SiE,F sont deuxΓ-espaces, unΓ-morphismeϕ : E →F est une application linéaire satisfaisant à ϕ(γ.x) = γ.ϕ(x) pour tout x ∈ E, γ ∈ Γ. Un Γ-isomorphisme est un Γ-morphisme bijectif.
1. Soit E un Γ-espace ; on note EΓ le sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs Γ-invariants c’est-à-direEΓ ={x∈E |γ.x=x ∀γ ∈Γ} et on définitπ : E→E par :
π= 1 ]Γ
X
γ∈Γ
ργ
Montrer queπ est un projecteur d’imageEΓ. En déduire que la trace deπ est donnée par Tr(π) =dim(EΓ)
• A toute représentation linéaire ρ : Γ → GL(E) de Γ, on associe son caractère χE (que l’on note parfois χρ) qui est la fonction Γ → K définie à l’aide de la trace par : χE(γ) =Tr(ργ).
•Uncaractère du groupeΓ est une fonctionχ : Γ→Ktelle qu’il existe unΓ-espaceE vérifiantχ=χE.
2. Soit χ un caractère. Montrer que tous les Γ-espaces E tels que χE = χ ont même dimension que l’on peut calculer à partir de χ. Dans la suite, on notera dim(χ) cette dimension.
3.Montrer l’égalité :
1 ]Γ
X
γ∈Γ
χE(γ) =dimEΓ
•Une opération (ou une action) du groupe Γ sur un ensembleX est une « loi » . : Γ×X −→ X
(γ, x) 7−→ γ.x
ayant les propriétés suivantes :
∀x∈X 1Γ.x=x
∀(γ, γ0)∈Γ2 ∀x∈X γ.(γ0.x) = (γγ0).x
4.Etant donnée une opération deΓsur X, montrer que la relation définie par h
xRyi
⇐⇒ h
∃γ ∈Γy=γ.x i
est une relation d’équivalence surX.
• Les classes d’équivalence pour R sont appelées lesorbites de X sous Γ. L’action de Γ surX est ditetransitive siX est une orbite.
Etant donné un ensemble finiX, on noteKX leK-espace vectoriel constitué de toutes les applications deX dansK. La base canonique deKX est la base (ex)x∈X définie par
ex(y) =
(1 si y=x 0 si y6=x
(si X = {1,2, . . . , n}, KX s’identifie à Kn). A toute action de Γ sur X, on associe une représentation linéaire deΓsurKX par
γ.ex =eγ.x ou, ce qui revient au même,
∀f ∈KX, γ.f : x7−→f γ−1.x
5.Caractériser lesf ∈KX invariants par Γ. En déduire que la dimension du sous-espace des invariants deKX est égale au nombre d’orbites de X sous Γ.
6.On dit quex∈X est fixé parγ ∈Γ siγ.x=x.
a. On désigne par χX : Γ→K le caractère de la représentationΓ →GL(KX), et pour γ∈Γ, par rγ le nombre d’éléments deX fixés par γ. Montrer que :
χX(γ) =rγ
b.On désigne parsle nombre d’orbites ; déduire des questions précédentes la formule dite
« de Burnside » :
X
γ∈Γ
rγ =s×]Γ
7.Déduire de la formule de Burnside un lemme dû à Jordan : si Γagit transitivement sur un ensembleXnon réduit à un singleton, alors il existeγ sans point fixe (i.e.γ.x6=xpour toutx∈X).
Partie II : Propriétés élémentaires des caractères des représentations
8.Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et u ∈L(E), v ∈ L(F); on définit une application linéaireψ : L(E, F)→L(E, F)par
∀f ∈L(E, F) ψ(f) =v◦f ◦u
Montrer que Tr(ψ) =Tr(u) Tr(v).
9.SoientE,F deuxΓ-espaces.
a. Pour γ ∈ Γ, u ∈ L(E, F), on définit γ.u ∈ L(E, F) par γ.u : x 7−→ γ.u(γ−1.x).
Montrer que l’on munit ainsi L(E, F) d’une structure de Γ-espace dont le caractère est notéχL(E,F).
b. Si χ : Γ → K est une fonction quelconque, on note χ∗ : Γ → K la fonction γ7−→χ(γ−1). Déduire de la question8.l’égalité
χL(E,F) =χ∗EχF
c’est-à-dire, pour toutγ ∈Γ,χL(E,F)(γ) =χE(γ−1) χF(γ).
•On noteKΓ leK-espace vectoriel de toutes les applications deΓdansKque l’on munit de la forme bilinéaire, notéeh , i :
pour(f, g)∈(KΓ)2 hf, gi= 1 ]Γ
X
γ∈Γ
f(γ)g(γ−1)
10.a.Vérifier que cette forme bilinéaire est symétrique.
10.b.Vérifier que, si f ∈KΓ est telle que
∀g∈KΓ hf, gi= 0
alorsf = 0.
10.c. Pour deux Γ-espaces E, F on note homΓ(E, F) le sous-espace vectoriel deL(E, F) constitué desΓ-morphismes. Montrer l’égalité
hχE, χFi=dim(homΓ(E, F))
En déduire quehχE, χEi est un entier strictement positif siE6={0}.
11.a.Vérifie que la fonction constanteγ 7−→1 est un caractère que l’on noteraχunitpuis que pour toutΓ-espaceE,hχE, χuniti est la dimension du sous-espace EΓ de E constitué
des vecteursΓ-invariants.
11.b. Si χ, χ0 sont deux caractères, montrer que χ+χ0 en est un (munir le produit de deuxΓ-espaces d’une structure deΓ-espace).
11.c.Siχest un caractère, montrer queχ∗en est un (siE est unΓ-espace, munirL(E,K) d’une structure deΓ-espace).
11.d.Siχ,χ0 sont deux caractères, montrer queχχ0 est un caractère.
12. Dans cette question, on suppose K= C. Montrer, pour tout caractère χ : Γ → C, queχ∗ =χ; retrouver le fait quehχ, χi>0.
Partie III : Représentations irréductibles et orthogonalité des caractères
•Un Γ-sous-espaceF d’unΓ-espaceE est un sous-espace vectoriel tel que∀γ ∈Γ γ.x∈ F.
• Une représentation deΓ d’espaceE non réduit à {0} est dite irréductible si les seuls Γ-sous-espaces sont E et{0}.
• Un caractère irréductible du groupe Γ est une application χ : Γ → K telle qu’il existe une représentation irréductible(E, ρ) de Γtelle que χ=χE.
13.a.Soit φ : E→F unΓ-morphisme entre deuxΓ-espaces. Montrer les implications : E irréductible ⇒ φest soit nul soit injectif
F irréductible ⇒φ est soit nul soit surjectif
En déduire qu’un Γ-morphisme entre deux espaces irréductibles est soit nul soit un iso- morphisme.
13.b.On rappelle que pour deuxΓ-espacesEetF,hχE, χFi=dim(homΓ(E, F))(question 10.c.). SiE etF sont irréductibles, montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes : (i)hχE, χFi>0
(ii)E,F sont Γ-isomorphes (iii)χE =χF
En particulier, deux caractères irréductibles distincts sont « orthogonaux » pour la forme bilinéaireh., .i.
13.c. En déduire que l’ensemble des caractères irréductibles de Γ est une partie libre de KΓ, finie, de cardinal inférieur ou égal à celui de Γ. Montrer également que l’ensemble des classes deΓ-isomorphie de Γ-espaces irréductibles est en bijection avec l’ensemble des caractères irréductibles deΓ.
14.a.Etant donnéf ∈L(E, F)oùE etF sont deuxΓ-espaces, on définitfb : E→F par
∀x∈E fb(x) = 1 ]Γ
X
γ∈Γ
γ.f γ−1.x
Vérifier quefbest un Γ-morphisme.
14.b. Soit F ⊂ E un sous-espace de E stable par Γ et π : E → E un projecteur quelconque d’imageF. Vérifier quebπest un projecteur d’imageF et en déduire l’existence d’un sous-espaceF0⊂E stable parΓ tel que E=F ⊕F0.
14.c.En déduire que toute représentation est une somme directe (finie) de représentations irréductibles c’est-à-dire que tout Γ-espace E s’écrit (de manière non unique en général) comme une somme directeE =E1⊕· · ·⊕Ekoù chaqueEj est unΓ-sous-espace irréductible deE.
15. Soient χ1, . . . , χs les caractères irréductibles d’un groupe Γ; pour chaque χi, on fixe une représentation irréductibleVi deΓayantχi pour caractère (toutΓ-espace irréductible est doncΓ-isomorphe à un et un seul des Vi).
15.a. Soit E une représentation linéaire de Γ. En utilisant une décomposition de E en sous-espaces irréductibles, montrer l’existence et l’unicité d’une suite d’entiers positifs ou nulsd1, . . . , ds tels que
χE =d1χ1+· · ·+dsχs
Vérifier que
hχE, χii=dihχi, χii, hχE, χEi=
s
X
i=1
d2ihχi, χii
et que pour une décomposition de E en sous-espaces irréductibles, E = E1 ⊕ · · · ⊕Ek, l’entierdi est le nombre de Ej Γ-isomorphes àVi.
•Pour 1≤i≤s, on pose di(E) = hχE, χii
hχi, χii, que l’on appelle la multiplicité de Vi dans la représentationE.
15.b.En déduire l’équivalence pour deuxΓ-espacesE etF : des trois propriétés suivantes : (i)E est Γ-isomorphe à F
(ii)χE =χF
(iii)di(E) =di(F),i= 1, . . . , s
16.Dans cette question, on suppose queK=C.
16.a. Soit E un Γ-espace irréductible etϕ : E → E un Γ-morphisme ; en utilisant une
valeur propre deϕ, montrer queϕest une homothétie.
16.b.En déduire qu’unΓ-espaceE est irréductible si et seulement si hχE, χEi= 1.
16.c. On suppose Γ abélien. Soit (E, ρ) une représentation de Γ avec E 6= {0}; montrer que les endomorphismes de E ργ, γ ∈ Γ, ont un vecteur propre en commun. En déduire queΓest irréductible si et seulement si dim(E) = 1.
