En calculant de deux mani`eres l’int´egrale α= Z (R+)2 dxdy (1 +x)(1 +xy2), trouver la valeur de Z

Ann´ee 2013-2014 MATMECA

Analyse Fonctionnelle et Int´egration : TD3.

Exercice 1. Calculer Z

Ω

(1 +x+xy) dxdy, Ω ´etant le triangle du plan de sommets (0,0), (1,0), (0,1).

Exercice 2. En calculant de deux mani`eres l’int´egrale α= Z

(R⁺)²

dxdy

(1 +x)(1 +xy²), trouver la valeur de

Z +∞

0

ln t t²−1dt.

Exercice 3. En int´egrant sur le domaine [1,+∞[×[0,+∞[ la fonction f : R² → R, d´efinie par f(x, y) =e^−xysin(2y), montrer que

Z +∞

0

e^−ysin(2y)

y dy= arctan 2.

Exercice 4. A l’aide d’un changement de variables en coordonn´ees sph´eriques, calculer l’int´egrale Z

Ω

(x²+y²+z²) dxdydz, o`u Ω est la boule euclidienne ouverte de rayon 1 centr´ee `a l’origine.

Exercice 5. Soit T = {(x, y, z) ∈R³; x ≥0, y ≥0, z ≥ 0, x+y+z ≤1}. Calculer `a l’aide du changement de variablesx+y+z=X,y+z=XY,z=XY Z, l’int´egrale:

Z

T

xyz(1−x−y−z)dx dy dz.

Exercice 6. D´eterminerα∈Rpour que la fonctionx∈Rⁿ7→ 1

(1 +kxk)^α soit int´egrable surRⁿ etβ∈Rpour que la fonction x7→ 1

kxk^β soit int´egrable sur B(0,1), la boule unit´e de Rⁿ. Exercice 7. Les fonctions suivantes appartiennent-elles `a L^p(]0,+∞[) pourp∈[1,+∞[ ? a. f(t) = exp(−t) pourt >0 ; b. g(t) = 1/[√

t(1+|lnt|)] pourt >0 . Exercice 8. Montrer en utilisant l’in´egalit´e de H¨older que : Rπ

0 sinx

x^1/4 dx ≤ π^3/4. Exercice 9. Soit (u_k)_k une suite d’´el´ements de L²(R) telle que:

a)u_k−→0pp,

b) |uk(x)|≤K, ∀x∈R, ∀k∈N, c)R

(1 +x²)|u_k(x)|² dx ≤ M, ∀k∈N. Montrer queu_k−→0 dans L²(R).

Exercice 10. Soit (X,T, µ) un espace mesur´e. Soient p et q dans [1,∞] tels que ¹_p + ¹_q = 1.

Soient (fn) une suite d’´el´ements de L^p(X) tendant vers f dansL^p(X) et (gn) une suite d’´el´ements deL^q(X) tendant versg dansL^q(X). Montrer quef_ng_n tend versf gdansL¹(X).

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