MODIFICATION SPECTRALE D'UNE VIBRATION LUMINEUSE MONOCHROMATIQUE PAR RÉFLEXION SUR UN MIROIR OSCILLANT

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Submitted on 1 Jan 1966

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MODIFICATION SPECTRALE D’UNE VIBRATION

LUMINEUSE MONOCHROMATIQUE PAR

RÉFLEXION SUR UN MIROIR OSCILLANT

Jean Roig

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MATIQUE

PAR

RÉFLEXION SUR UN MIROIR OSCILLANT

par Jean ROIG

Laboratoire d'optique Physique. Faculté des Sciences de Montpellier

Résumé. - Il faut distinguer essentiellement deux cas :

1) La durée z du train d'ondes est courte par rapport à la période d'oscillatioiz Ti du miroir. La raie est décomposée en deux satellites d'égale intensité dont la séparation est proportion- nelle à la vitesse linéaire maxima V I du miroir. On a un mécanisme Doppler.

2 ) La durée z du train d'ondes est longue par rapport à Ti. On observe, après réflexion, une composante centrale non perturbée et deux satellites déplacés symétriquement en fréquence. Leur séparation est le double de la fréquence du miroir. On a un mécanisme Raman.

On peut classer dans ce deuxième cas l'influence des ondes thermiques sur la lumière réfléchie, dans un milieu transparent. L'application de la théorie de Ewald montre que cette agitation ther- mique ne produira aucune modification observable pour le profil de la raie.

Abstract. - Two cases are to be discriminated :

1 ) The duration of the wave train is short with regard to the oscillation time Ti of the mirror : the line is resolved into two satellites, of equal intensity, with a separation proportional to the highest linear speed V I of the mirror. A Doppler effect is obtained.

2) The duration of the wave train is long with regard to Ti. After reflexion, we observe one cen- tral unperturbed component and two satellite lines, with frequencies symmetrically displaced. Their separation is double than the frequency of the mirror. It is a Raman mechanism.

The effect of thermal waves, in a transparent medium, on the reflected light, can be classified in this second case. The Ewald theory shows, that this thermal motion does not produce any obser- vable change of the line contour.

II. Expression de la vibration réfléchie. - Nous 1

allons examiner quelles modifications spectrales subit

I

;

_{FIG. 1.} un train d'ondes sensiblement monochromatique quand

il se réfléchit sur un miroir oscillant et nous discuterons La source monochromatique S fournit une vibra- la possibilité de les observer. tion de fréquence No, de pulsation 52,. Si le miroir est Nous prendrons, pour simplifier, une incidence nor- immobile, l'observateur reçoit en B la vibration réflé- male, mais les résultats se généralisent sans difficulté. chie.

Soit M un point de la surface du miroir ; Mo sa posi- y = A sin CC?, t

+

$1

.

5

1. Cinteraction d'un oscillateur quantique avec des tion d'équilibre. Nous prenons Mo pour origine et un photons constitue l'effet Raman. L'interaction des axe de référence Mo x normal au plan du miroir. photons et des phonons des ondes thermiques donne L'abscisse du point M s'écrit :

l'effet Brillouin. O n peut observer des mécanismes _{x =}

_cl

_sin

_{w ,}

_{t .} analogues en étudiant les perturbations apportées par

un système macroscop~que à une radiation lumineuse x sera compté positivement dans le sens de la lumière monochromatique. Connes, Tuan et Pinard [ I l et [2] réfléchie (Fig. 1).

ont mis en évidence la modulation en amplitude et en phase d'une onde lumineuse par une cellule de Kerr alimentée par une tension HF de plusieurs mégahertz. Si No est la fréquence optique, n l la fréquence de la

modulation, on observe facilement les fréquences X' Mo No, NO

+

n i , NO

-

n,. I I l I 1 _{i n c l d e n t} ,,.. x-

1

C--- -S " MI B X

1

-

I

C 2 - 6 6 JEAN ROIG

Dans le cas du miroir mobile, il y aura une avance de phase de 4 nx//Zo :

Posons :

y = Asin

[ao

t

+

51/

+

y sino, t]. (1) Cette expression est valable pendant toute la durée z d'un train d'ondes, dont nous supposerons, pour simplifier, l'amplitude A constante.

Nous examinerons deux cas particuliers qui se prê- tent facilement aux calculs et aux mesures.

III. Premier Cas. - To 6 z 4 T l ; y % 1. To période des vibrations lumineuses, T l période du miroir, z durée du train d'ondes. La durée z du train d'ondes est donc ici, par hypothèse, très courte par rapport à la période d'oscillation du miroir.

Pendant le temps z, le miroir se déplace de Ax 4

5 ,

;

entre les instants t et t

+

z, la vitesse du miroir est pratiquement constante ; on a les conditions classiques de l'effet Doppler.

Posons, au voisinage de l'instant t , :

t = t1 f t ' ; O < t l < . t - ; sin o, t = sin [ml t,]

+

o,(cos o, t,) t' ; y = A sin [(QO

+

ym, cos o1 f , ) t'

+

+Qat, + y s i n w , t l + i C / ] , (2) Posons

vl est la vitesse maxima de translation du miroir vl =

cl

ml ; 2 u, est la vitesse maxima de déplacement de l'image S' de la source.

Posons enfin : n = a cos 2 nnl t1

.

Durant le temps de passage z du train d'ondes, la vibration réfléchie, observée en B a une pulsation f2 et une fréquence N ; l'équation (2) donne immédiatement :

Nous supposons que la source rayonne une inten- sité constante au cours du temps (elle comporte un grand nombre de centres lumineux)

A l'instant t, on a : n = a cos o, t, et, entre t et t

+

dt, l'énergie se répartit dans la bande spectrale de largeur dn :

dn = a o , sin w1 t df

.

Nous éliminons dt entre les expressions de d 1 et dn. d i = 3 dn - - - 3 dn

aml sin ml t _ml Ja2 - n 2

Chaque train d'ondes, de durée z 4 Tl, correspond pratiquement à un point de la courbe I(n). Comme ces trains d'onde atteignent M à tout moment de l'oscilla- tion du miroir, on obtient la distribution spectrale indiquée par la figure 2.

Malgré la présence de branches asymptotiques, l'énergie lumineuse totale répartie dans le spectre reste évidemment finie

On retrouve bien l'énergie reçue pendant le temps T1/2 nécessaire pour balayer le domaine spectral de

On peut comparer ce mécanisme à celui de l'effet Doppler. En réalité la source n'est jamais rigoureuse- ment monochromatique, précisément parce que le train d'ondes a une durée limitée. Si T est cette durée,

la largeur de la raie, dans l'échelle des fréquences est de l'ordre de 117. On observera une distribution spec- trale résultant d'une convolution entre la distribution de l'intensité dans la raie et la distribution précédente ;

les ailes seront d'autant plus aiguës que la raie sera plus fine. La figure 3 montre le profil de la raie réfléchie.

IV. Possibilités d'observer expérimentalement cette

distribution. - Il faut :que 2 a soit notablement plus grand que la largeur de la raie incidente

1 1 0

2 n

>

- ; v , > w , en posant w , z = -

.

(4)

z 4

A sa vitesse maxima, le miroir doit balayer durant le temps z une distance nettement supérieure à Â0/4. On aurait d'ailleurs un résultat analogue en obser- vant l'effet Doppler sur un miroir en translation uni- forme :

Si la condition, (4) est remplie, le pouvoir de résolu- tion de l'appareil analyseur devra de plus permettre de séparer les deux composantes distantes de 2a.

avec

Il faudra donc réaliser des vitesses linéaires v, aussi grandes que possible. On peut imaginer divers procédés pour réaliser le miroir mobile :

a ) vibrations ultra sonores d'un quartz ou d'un corps piézo-électrique ;

b) vibrations d'une tige d'acier excitée à la réso- nance par magnétostriction ;

c ) miroir monté sur un diapason ou une lame

vibrante ;

d) miroir entraîné mécaniquement, par exemple par le piston d'un moteur à explosion.

Ces divers procédés donnent pour O, des ordres de grandeurs voisins. Pour le quartz, l'amplitude des oscillations mécaniques augmente avec la puissance, mais est limitée par la rupture du cristal.

Admettons, par exemple, pour le quartz: n , = 106 s-',

E~ = 1 micron ; on aura Sv, 12 ms-'. Pour une lame vibrante, on peut admettre n1 = 103 s-',

t 1 = 1 millimètre ; 2v1 12 m s-'. L'utilisation de réflexions successives, entre un miroir fixe et un miroir oscillant, permet facilement de gagner un facteur 10. Prenons 20 réflexions sur M et par suite

Si nous utilisons un étalon de Perot et Fabry, avec une finesse voisine de 25, on devra atteindre un ordre d'interférence k supérieur à 30 000 ; pour une radiation voisine de 0,6 micron, cela exige une épaisseur entre lames, supérieure à 1 cm environ. Ces conditions sont facilement réalisables ; calculons maintenant la valeur de z ; d'après l'équation (4)

La longueur de cohérence du train d'ondes doit être supérieure à

C 2 - 6 8 JEAN ROIG

Un laser à rubis peut donner des longueurs de cohérence de plusieurs dizaines de mètres ; par exem- ple : L = 100 mètres, z

-

3 x S. Générale- ment on obtient plusieurs modes longitudinaux ;

mais si l'épaisseur de l'étalon analyseur est un mul- tiple entier de l'épaisseur optique du rubis (ou plus simplement lui est égale) tous les modes longitudinaux donnent la même figure d'interférences.

On pourra alors prendre Ti N 100 z ou 3 x s ;

n, = 3 x 104 hertz. L'oscillateur sera alors un oscillateur à quartz. Durant la durée totale de l'émis- sion des trains d'onde par le laser à rubis (ordre de s) le miroir fera un grand nombre d'oscillations et l'on balaiera toute la bande spectrale

(No - a, No

+

a).

On pourra également prendre comme source un laser à gaz (7

-

s). La condition Tl 9 7

impose alors l'emploi d'un oscillateur mécanique. V. Deuxième cas.

a) Si l'oscillateur peut être traité comme un oscillateur quantique, la théorie fait simplement le bilan final des énergies ; l'oscillateur pourra céder ou emprunter un quantum hnl au quantum lumineux, on aura, comme dans l'effet Raman, les fréquences réémises No, No

+

n, No - n. La composante négative sera, dans le cas d'un grand nombre d'oscillateurs quan- tiques, plus forte que la composante positive, car le pourcentage des oscillateurs de grande énergie est alors le plus faible.

Pour un oscillateur macroscopique unique, le nombre des quanta hn, sera très élevé, soit par exem- ple P. On aura la fréquence No

+

n si

P

passe à P - 1, No

-

n si P passe P

+

1 ; ces probabilités de transi-

tion entre niveaux très voisins peuvent être considérées comme égales. On aurait deux satellites de même amplitude.

Si maintenant nous voulons analyser, non le résul- tat final, mais le mécanisme même du choc photon- miroir nous pouvons considérer le choc d'un photon comme un phénomène instantané. On retrouverait alors le même mécanisme d'effet Doppler que dans le premier cas et par suite la même dtcornposition spec- trale.

Toutefois une telle hypothèse supposerait que le photon est parfaitement localisé dans le temps, durant l'émission du train d'ondes. Pour un train d'ondes de durée z, la bande spectrale est AY E 117, l'incertitude

sur l'impulsion est Ap = h AvJc, et l'incertitude sur la

position x est donnée par

Ax Ap,

-

h ; Ax

-

cz = L

Si le domaine de localisation du photon porte sur toute la longueur de cohérence du train d'ondes, il est difficile de conserver l'hypothèse d'un choc instantané. b) Dans ces conditions nous examinerons les conclusions d'une théorie électromagnétique. Repre- nons l'expression de la vibration réfléchie en B (équa- tion 1)

y = A sin [Q, t

+

$

+

y sin o, 11

.

Toutefois l'amplitude de la lumière réfléchie n'est pas constante au cours d'une période du miroir ;

si v est la vitesse instantanée du miroir, comptée positivement vers la source, le miroir reçoit durant le temps dt l'énergie comprise dans un cylindre de hauteur (v

+

c) dt ; cette énergie à l'instant (t

+

dt) se trouve, pour la lumière réfléchie, comprise dans un cylindre de hauteur (c - v) dt. La densité d'énergie au cours du temps dans la lumière réfléchie varie comme c f u

-

ou (1

+

y)

.

L'amplitude s'écrira : c - v A = A o ( l + : ) = A , [ l

+

ol

cl

cos c o, t

1

4 n E~ Nous posons y, = -- c Tl

y = A, 1

[ 2

+

-cos o, t

1

sin [(Q, t

+

$)

+

q sin o, t]

.

En négligeant les termes du deuxième ordre, on a :

A0 Y i

y = A, sin

[a,

t

+

$1

+

--cos o i t sin [Q, t -t

$1

+

A, y sin o, t cos

(a,

t

+

iI/)

2

On obtient ainsi : par translation. On a parfois décrit cette dernière a) une composante principale non perturbée,

identique à celle que donnerait le miroir fixe ;

b) deux composantes latérales faibles, de fréquence No

+

nl et No

-

n l .

c) La modulation de l'intensité totale réfléchie, régie par y,, est donc négligeable.

d) L'amplitude relative des composantes latérales est 1712, soit 271 <,/Ao ; l'intensité relativ-, est 4nZ 5;/12, :

elle ne dépend pas de la fréquence nl du miroir. Notre calcul suppose de plus que Q est petit devant l'unité et que l'on peut confondre sin Q et Q . Si par exemple

rj = 0,1, l'intensité d'un satellite sera quatre cents fois plus faible que celle de la raie principale. L'ampli- tude

5 ,

du miroir doit être nettement inférieure à A, pour réaliser les conditions du calcul, ce qui facilite la réalisation de l'oscillateur ; mais il faut cependant que l'intensité des composantes reste mesurable ; on ne doit pas avoir de trop faibles valeurs de

5,.

Pour des valeurs plus grandes de y, on pourra observer des harmoniques supérieurs dont I'amplitude se calcule par des fonctions de Bessel.

Ces résultats peuvent être rapprochés de l'effet Raman, mais ici la raie positive serait neuf fois plus intense que la raie négative.

Il serait donc particulièrement intéressant de réaliser l'expérience et de préciser ainsi le comportement du photon au cours d'un choc sur le miroir.

VI. Possibilités d'observer expérimentalement cette deuxième distribution spectrale.

-

Les satellites étant faibles, on aura intérêt à choisir des conditions d'ob- servation qui suppriment ou du moins atténuent la composante principale. On peut utiliser un filtre absor- bant par résonance la raie principale ou un interfé- romètre. Le miroir Ml sera l'un des miroirs d'un interféromètre de Michelson ; M, sera réglé pour que l'on observe des anneaux à centre noir quand Ml est immobile. On placera un diaphragme de faible rayon au centre des anneaux. On aura alors pour l'intensité lumineuse une composante variable selon la loi :

Un tel i.ésultat ne serait pas très probant, car ces variations d'intensité s'observeraient tout aussi bien à

faible différence de marche avec une raie de largeur bien supérieure à ni. Cela revient à faire défiler les anneaux de Michelson quand on déplace un miroir

expérience comme un phénomène de battements optiques entre la raie incidente et la raie réfléchie déplacée par effet Doppler (dans le cas d'une transla- tion uniforme). En réalité si l'on observe dix maxima d'intensité par seconde, en faisant défiler dix anneaux, on ne pourrait parler de battements que si le train d'ondes observé durait un temps z au moins égal à une seconde. Or, même avec un laser à gaz, la durée z est au mieux de l'ordre de secondes et durant le passage de ce train d'ondes, dans l'expérience précédente, l'amplitude résultante est pratiquement constante (il aurait défilé 1/100 franges).

En conclusion, pour mettre en évidence la décompo- sition spectrale de la raie après réflexion, on ne peut se borner à analyser les variations de l'intensité émer- gente au cours du temps. Il faut analyser la lumière réfléchie avec un appareil à haute résolution. On a :

Prenons No = 5 x 1014 hertz; on a intérêt ici à

prendre n , aussi grand que possible, par exemple nl = IO7 hertz.

Avec un étalon de Perot et Fabry de finesse 25, il faudra un ordre d'interférences k au moins égal à IO6 et pour 1 = 0,6 micron un écartement des lames supérieur à 30 centimètres. La raie incidente devra avoir une finesse suffisante :

mais nous avons précisément supposé z $- Tl. Si n1 = IO7 hertz, z > secondes ; la longueur de cohérence du faisceau doit être supérieure à 30 mètres. Cette condition sera facilement réalisée avec un laser

à gaz.

Dans ces conditions, on observera les deux compo- santes No

+

nl et No

-

nl et probablement une composante No si la compensation n'est pas parfaite.

On pourra prendre y = 1/10, soit

r1

= A0/40 TC.

L'oscillateur sera un oscillateur à quartz

.

C 2 - 7 0 JEAN ROIG

par effet Doppler un élargissement de la raie réfléchie. L'expérience a tou-jour été négative [3-4-5-61.

Parmi les explications qui en ont été données, on peut citer celle de M. Jean Cabannes [7]. Il étudiait la propagation de la lumière dans un milieu continu, en négligeant la structure corpusculaire. L'agitation thermique intervenait en créant des fluctuations de densité et créait ainsi des hétérogénéités locales, sans détruire la continuité du milieu. Il résulte de la forme linéaire des équations de Maxwell que l'énergie lumi- neuse se partage en deux termes.

10 Un terme principal pour lequel l'équation de propagation est celle du milieu au repos.

20 Un terme faible qui correspond à la lumière diffusée à la suite des fluctuations de densité et qui représente la perturbatiion due à l'agitation thermique. Toutefois l'analyse de Cabannes porte sur l'équation différentielle au sein du milieu optique et devrait être complétée par une discussion sur les conditions aux limites, c'est-à-dire précisément à la surface de sépa- ration des milieux.

Ewald [8] et Oseen (91 ont rendu compte de la propagation de la lumière dans un milieu matériel,

à structure corpusculaire, et de la réflexion de la lumière

à la surface de séparation de deux milieux en super- posant à une onde incidente primaire, qui se propage dans le vide intermoléculaire, une onde secondaire due à la diffusion de la lumière par les particules qui constituent le milieu. A une onde primaire plane correspond une onde secondaire plane qui se propage vers l'avant; la combinaison des deux ondes donne un retard de phase proportionnel à l'épaisseur tra- versée ; il y a simultanément une onde secondaire plane qui se propage vers i'arrière et qui rend compte de la lumière réfléchie. La lumière réfléchie provient ainsi de toute l'épaisseur du milieu optique, la surface n'intervient que pour définir une limite d'intégration.

Nous allons, pour simplifier, raisonner sur une couche très mince, d'épaisseur 1

<

A,.

Elle réfléchira évidemment une très faible intensité lumineuse. Si les particules qui la composent sont immobiles, chacune d'entre elles diffuse vers l'arrière une vibration cohé- rente y = A sin (9, t

+

$) ; $ ne dépend que de la distance de l'observateur à la couche, pour un obser- vateur situé à très grande distance. Nous supposons que l'onde incidente est une onde plane perpendicu- laire à la normale x' x à la couche.

Si de plus, les molécules sont soumises à l'agitation thermique, nous supposerons que leur mouvement projeté sur x' x est :

c l , q i caractérisant chaque particule. Les périodes de l'agitation thermique sont de l'ordre Tl N 10-l3 s ,< z.

Nous sommes bien dans le deuxième cas que nous avons envisagé. On a alors :

Le premier terme fournit, dans la théorie de Ewald l'onde plane cohérente réfléchie ; si l'incidence est normale, toute l'énergie est réémise dans la direction normale ; l'amplitude de cette onde est ~ x s i N est le nombre de particules. L'énergie dans la direction qui correspond au maximum d'émission est propor- tionnelle à N2

A2.

Si l'agitation thermique est parfaitement désordonnée, les valeurs de q1 (et d'ailleurs aussi de A ) sont distri- buées au hasard ; les composantes (9, i- w,) et (9, - ml) sont formées de lumière incohérente et sont diffusées dans toutes les directions ; leur intensité est proportionnelle à

NZ'

; N est évidemment négli- geable devant N2 ; de plus :

La valeur de

t1

dépend de la température et de la masse de la particule. On peut en évaluer un ordre de grandeur en écrivant que l'énergie de l'oscillateur est:

h n , = 3 k T ; kT =

3

mm:

rf

( l ,

élongation maximale). Au voisinage de la température ordinaire, la première relation donne n,

-

1013 hertz. La deuxième donne pour

ci

des valeurs de l'ordre de quelques centièmes d'angstrom.

Prenons

c,

-

micron ; 1, = 0,5 micron ;

cl/Ao

= 2 x 10-5 ; q

-

2,5 x 1 O U 4 ; q2 N Par

geable par rapport à celle de la raie réfléchie ; on ne peut les observer commodément que par diffusion, hors du trajet géométrique du faisceau transmis ou réfléchi.

On ne peut donc en aucun cas constater un élar- gissement des raies par réflexion sous l'action de l'agitation thermique. Dans le cadre de la théorie électromagnétique, ce résultat négatif tient essentiel- lement au fait que la modulation de la raie a lieu suivant le deuxième mécanisme Tl

<

z ; q 4 1.

Note ajoutée à la correction. - T . T . Burgess a étu-

dié dans un article récent (applied optics, 1966, 5, 1239) l'influence d'une grande vitesse de translation d'un

miroir sur le facteur complexe de cohérence mutuelle dans un montage interférométrique.

Bibliographie

[l] CONNES, TUAN, PINARD, J. Physique, 1962, 23, p. 173. [2] CONNES, TUAN, PINARD, J. Physique, 1962, 23, p. 208. [3] ROCARD et ROTHSCHILD, C. R. Acad Sci., 1928, 186,

. -

p. 313.

[4] ROIG et GOBERT, C. R. Acad. Sci., 1945, 221, p. 620. J. Physique Rad., 1947, 8, p. 360.

[5] WOLFERS, J. Physique Rad., 1947, 8, p. 14. J. Physique Rad., 1948, 9 , p. 1.

[6] LENNUIER, C. R. Acad. Sci., 1948, 226, p. 708. [7] CABANNES, C. R. Acad. Sci., 1948, 226, p. 710. [8] EWALD, Ann. Physik, 1916, 49, p. 1.