Oscillateur spatial

(1)

1

α M_O

O x

OSCILLATEUR SPATIAL 1) Définition.

C'est un point matériel, de masse m, soumis à une force centrale attractive f = −kOM, avec k0, où O est un point fixe dans (R) galiléen.

L'oscillateur est amorti s'il est soumis en plus à une force de frottement s'opposant à son mouvement, par exemple une force de frottement fluide f '= −hv= −h˙r , h0, r = OM.

2) Moment cinétique. L_O= r∧mv et dL_O

dt = MOf MOf ' = r∧f '= −hr∧v ⇒ dL_O

dt =−h

mL_O= −2λL_O. λ=1

2 h

m est le coefficient d'amortissement.

On en déduit L_O= A e⁻²^λ^t avec A = r₀∧v₀, si à t=0, r = r₀ et v= v₀. L_O a une direction fixe, perpendiculaire au plan r₀,v₀: L_O=mr₀∧v₀e⁻²^λt. Donc la trajectoire est plane, dans le plan r_0,v₀.

Remarques : •Si l 'oscillateur est amorti , L₀ diminue constamment: le mouvement ne suit pas la loi des aires.

•Si r₀=0, ou si v₀=0, ou si r₀ et v₀sont parallèles, alors L₀= 0.

Le mouvement est rectiligne: c'est un oscillateur linéaire.

3) Énergie.

On peut considérer f comme une force intérieure au système (O,M), dérivant d'une énergie potentielle E_ptelle quef = −grad E_p, d ' où−k r= − dE_p

dr ⇒ E_p=1

2k r²constante.

Avec la convention E_p=0 quand r=0 : E_p= 1 2k r².

D'après le théorème de l'énergie mécanique totale: ∆E=E₂−E₁=W_ext=Wf '.

∆E= −

∫

t1

t2

hv⋅v dt= −

∫

t1

t2

h v²dt0: l'énergie totale diminue constamment, sauf si h = 0.

4) Trajectoire.

a . Relation fondamentale.

mr¨= ff '= −kr−h˙r ⇒ ¨r2λr˙ω0r = 0 ; ω0=



^m^k ⁼ pulsation propre.

Les solutions sont de la forme r = Ae^α¹^tB e^α²^t où α₁ et α₂ sont les racines de l'équation caractéristique α²2λ αω02

=0, de discriminant réduit ∆'=λ²−ω02.

b . Oscillateur non amorti :λ=0. v₀

Les deux racines sont imaginaires conjuguées: α1=−α2=jω0. r = A cosω0tBsinω0t avec A = r₀ et B = v₀

ω₀. r₀ r = r₀cosω0tv₀

ω₀sinω0t.

Le mouvement est périodique, de période T₀= 2π ω0

=2π



^m^k^.

La trajectoire est une ellipse inscrite dans le parallélogramme



^^r⁰^,^ω^^v⁰⁰



et le mouvement suit la loi des aires, la seule force appliquée étant centrale.

La constante des aires vaut C=2S

T₀ = 2πa b

T₀ =ω₀a b ; a et b sont les demi-axes de l'ellipse.

Le moment cinétique en O est constant: L₀= r₀∧mv₀=mCk ⇒ C=r₀v₀sinα. L'énergie totale est aussi constante: 2E=k r²m v²=k r₀²m v₀².

(2)

2 c .Oscillateur amorti :λ≠0.

_α. Mouvement apériodique: ∆'0,λω0.

Les deux racines sont réelles: α1= −λω et α2=−λ−ω avec ω²=λ²−ω02. r =  A chωtBshωte^−λ^t.

A = r₀ ; v₀=−λAωB d 'où B= v₀λr₀ ω . r =



^^r⁰^ch^ω^t^^v⁰^ω^λ^^r⁰shωt



^e^−λ^t^.

Quand t ∞,r  1

2



^^r⁰^^^v⁰^λω ^^r⁰



^e^{ω−λ}^t^.

β. Mouvement critique :∆'=0,λ=ω0.

Une seule racine réelle: α= −λ=−ω₀,r =



A t^ B



e^−λ^t. r₀= B,v₀= A−λB d 'où A = v₀λr₀.

r =

[

^^r0



^^v0λr₀



^t

]

^e^−λ^t^.

Quand t ∞,r 



^^v0λr₀



^{t e}^−λ^t^.

_γ. Mouvement pseudo−périodique: ∆'0,λω0.

Les deux racines sont complexes conjuguées: α1= −λjω et α2= −λ−jω avec ω²=ω02−λ². r =



Acos^ ωtB sinωt



e^−λ^t.

A = r₀ ; v₀=−λAωB d 'où B= v₀λr₀ ω . r =



^^r⁰^cos^ω^t^^v⁰^ω^λ^^r⁰sinωt



^e^−λ^t^.

v=



^^v⁰^cos^ω^t−^λ^^v⁰^ω^ω⁰²^^r⁰sinωt



^e^−λt^.

Quand sinωt=0, ωt=nπ soit t=nT

2, n∈ ℕ, r est colinéaire à r₀ et v est parallèle à v₀.

Aux points d'intersection avec l'axe Ox, la tangente à la trajectoire est donc parallèle à v₀. La décroissance de r est caractérisée par le décrément logarithmique δ:

∥rtT∥

∥rt∥ =e^−λ^T=e^−δ ; δ=λT.

α M_O

O x

α O M_O x