Oscillateur linéaire

OSCILLATEUR LINÉAIRE 1) Définition.

Un oscillateur linéaire est un point matériel astreint à se déplacer sur une droite fixe dans (R) galiléen et soumis à une force attractive vers un point fixe O, d'intensité proportionnelle à la distance entre O et le point matériel.

f = −kOM, k0, f= −k x. f

à t=0: OM=x₀i ; dOM

dt =v₀i .

L'oscillateur n'est pas amorti si f est la seule force appliquée.

Il est amorti s'il est soumis à une force de frottement f ', par exemple un frottement fluide f '= −hv , h0 est le coefficient de frottement: f '=−hx.˙

Moment cinétique en O: L_O= OM∧mv= 0 ; dL_O

dt = MOf MO f ' = 0 .

Énergie: on peut considérer la force f comme une force intérieure au système (O,M) dérivant alors d'une énergie potentielle E_p telle quef =grad E_p ; f = −k x= −d E_p

dx ⇒ E_p=1

2k x²constante.

En choisissant E_p=0 quand x=0 : E_p=1 2k x².

Entre les abscisses x₁et x₂, l 'énergie potentielle varie de∆E_p=1

2x₂²−x₁² = −Wf. Energie mécanique totale : E=E_cE_p ; E= 1

2mx˙²1 2k x². ∆E=Wf ' = −

∫

_t^t₁^{2hv⋅vdt= −}

∫

_t^t₁^{2h v2dt0.}

L'énergie totale diminue constamment, sauf si l'oscillateur n'est pas amorti (h = 0).

2) Oscillateur non amorti : régime libre. f =ma ⇒ −k x=mx ou¨ x¨ ω0

2x=0 d 'où x=A cosω0tϕ et x˙ =−Aω0sinω0tϕ.

x⁰=Acosϕ

v₀= −Aω₀sinϕ

]

^{⇒ A=}



^{x02ωv0202 ; tanϕ= −ωv00x0.}

E=1

2k x²1

2mx˙²= 1

2k A²cos²ω0tϕ1

2m A²ω02sin²ω0tϕ = 1

2k A²=1

2m A²ω02. 3) Oscillateur amorti: régime libre.

ff '=ma ; x¨ = −k m−h

mx ; on pose : k˙

m=ω₀² et h

m =2λ=ω0

Q . D 'où x2¨ λx˙ ω0

2x=0 ou x¨ ω0

Q x˙ ω0 2x=0.

Equation caractéristique : r²2λrω0

2=0 ; ∆'=λ²−ω0 2. a .∆'0, λω₀: amortissement élevé , régime apériodique.

Les deux racines sont réelles négatives: r₁= −λω ; r₂−λ−ω avec ω=



∆'=



^λ2−ω02.

x= A e^ωtB e^−ωte^−λt avec x0 =x₀=AB et x˙0 =v₀= −λωA−λωB= −λx₀ωA−B.

AB=x₀ A−B= v₀λx₀

ω

]

^{⇒ A=12}

^

^{x0v0ωλx0}

^

^{; B= 12}

^

^{x0−v0ωλx0}

^

^.

x=e^−λt



^{x0eωte2 −ωtv0}ω^λx0

e^ωt−e^−ωt

2



^=e−λt



^{x0chωtv0λ}ω ^x0shωt



^.

b .∆'=0, λ=ω₀: régime critique.

Une racine double réelle négative: r=−λ= −ω0 ; x= A tBe^−λt. O M

x' x

c .∆'0, λω0: amortissement faible, régime pseudo−périodique.

Les deux racines sont complexes conjuguées: r₁=−λjω ; r₂−λ−jω avec ω=



^ω0 2−λ². x= Ae^jωtBe^−jωte^−λt avec A= 1

2



^{x0v0λj}ω^x0



^{; B=12}



^{x0−v0λj}ω^x0



^.

x=e^−λt



^{x0ejωte2j−jωtv0}ω^λx0

e^jωt−e^−jωt

2j



^=e−λt



^{x0cosωtv0}ω^λx0sinωt



^.

Pseudo−période : T=2π

ω = 2π



^ω0

2−λ²= T₀



¹⁻

^

^ωλ202

^

^{2 T0.}

Décrément logarithmiqueδ: xtT

xt =e^−λt=e^−δ ; δ=λT= 2π λ



^ω0 2−λ². d . Exemple: x₀=0 et v₀0.

Régime apériodique : A= v₀

2ω =−B ; x= v₀

2ω



e^r1t−e^r2t



. x˙ =A



^r1e^r1t−r₂e^r2t



^{; x˙ =0 ⇒ t=} _r ¹

1−r₂ln



^rr12



^=tm.

x¨ =A



^r1

2e^r1t−r₂²e^r2t



^{; x¨ =0 ⇒ t=} _r ¹

1−r₂ln



^rr12



^2=2tm.

x=A



^r1

3e^r1t−r₂³e^r2t



^{; x=0 ⇒ t =}_r ¹

1−r₂ln



^rr12



^3=3tm.

Régime critique :

A=v₀ ; B=0 ; x=v₀t e^−λt.

x˙ =v₀1−λte^−λt ; x˙ =0 ⇒ t= 1 λ. x¨ = −λv₀2−λte^−λt ; x¨ =0 ⇒ t= 2

λ. x=λ²v₀3−λte^−λt ; x=0 ⇒ t= 3

λ. Régime pseudo−périodique :

A= v₀

2 jω= −B. v₀

ω e^−λt x=A



^{e−λjωt−e−λjωt}



^{= v0}

ω e^−λtsinωt.

x=0 : sinωt=0 t=nT 2. x= ±v₀

ωe^−λt sinωt= ±1 t=T 4nT

2 . v= ˙x=v₀

ω e^−λtωcosωt−λsinωt v₀ω0

ω e^−λt v=v₀e^−λt



^cosωt−ω^λsinωt



v=v₀ω₀

ω e^−λtcosωtϕ avec tanϕ= λ ω.

t_m

0 t

v₀

x_m x(t)

v(t)

1 λ

0 t

v₀ v₀

v₀ e² λe

t_m t

0 x

T

0 T t

v v₀

t_m

4) Oscillateur amorti : régime sinusoïdal forcé.

L'oscillateur est soumis à une force excitatrice f ''= f₀cosωt ⇒ f = f 'f ''=ma . D' où x2λxω₀²x=f₀

mcosωt dont la solution s 'écrit xt =x₁tx₂t.

x₁t est la solution générale de l'équation sans second membre et correspond au régime libre déjà étudié.

Pour λ t≫1, e^−λt≈0 donc x₁t ≈0.

x₂t est une solution particulière de l'équation complète de la forme a cosωtϕ.

Pour λ t≫1 et en régime sinusoïdal permanent, la réponse x(t) a même pulsation que la force excitatrice (oscillations forcées).

Pour déterminer a et ϕ on peut utiliser les grandeurs complexes associées à x et f '':

f ''=f₀e^jωt et xt =a e^{jωtϕ}=X e^jωt ; a=∣X∣ et ϕ=argX.

L'équation différentielle devient: −ω²X2 jλ ωXω₀²X= f₀

m d' où X=f₀ m

1

ω₀²−ω²2 jλ ω. a=∣X∣= f₀

m

1



^ω0

2−ω²²4λ²ω² ; ϕ=argω02−ω²−2jλω.

a . Etude de l ' amplitude de la réponse. a0 = f₀

mω₀²=f₀

k ; aω₀ = f₀

2λmω₀ =Qa0 ; a ∞ =0.

da

dω= −f₀

m2ω ω²−ω₀²2λ²

[ ^

^ω02−ω2

^

^24λ2ω2

]

³²

.

Cette dérivée s'annule pour ω=0 et pour la pulsation Qf₀ k

de résonance d ' amplitudeω_r telle queω_r²=ω₀²−2λ². λ ω0



²

ω_r n 'existe que si ω₀²2λ² soit λ ω₀



^{2 ou Q}

1



^2.

f₀

k λ= ω₀



²

Amplitude à la résonance=a_r=f₀ m

1



^ω0

4−ω_r⁴= a0ω₀²



^ω0

4−ω_r⁴. λ ω₀



²

Si λ augmente ,ω_r et a_r diminuent et si λ0,ω_r ω₀ et a_rtend∞ (rupture de la liaison élastique entre les points M et O).

Bande passante: elle est définie par les deux pulsations ω1 et ω2 telles que a_r=a



^{2 .}

Ces deux pulsations n'existent que si a_r



^{2a0soit λ}

1

2ω0



²⁻

^

^2=0,383ω0.

Dans ce cas, ω₁et ω₂sont solutions de ω⁴−2ω_r²ω²2ω⁴_r−ω₀⁴=0 ⇒

[

^{ωω1222==ωωr2r2−}

^{ }

^{ωω0404−ω−ωr4r4}

On remarque que ω_r est la moyenne quadratique deω₁et ω₂ : ω_r²=1 2



^ω1

2ω₂²



^.

Si la résonance est très aigüe, λ≪ω₀,ω_r⁴=ω₀⁴



^1−2ωλ022



^2≈ω04



^1−4ωλ022



^.

ω₀⁴−ω_r⁴≈4λ²ω₀² ; ω₁²≈ω₀²−2λ²−2λ ω₀≈ω₀²−2λ ω₀ ⇒ ω₁≈ω₀−λ et de mêmeω₂≈ω₀λ. ∆ ω=ω₂−ω₁≈2λ. L'acuité de la résonance est caractérisée par ω₀

∆ ω≈ ω 2λ =Q.

ω a_r

0 a

ω_r ω ₀

b . Etude de la phase de la réponse. ϕ=argX =argω₀²−ω²−2 jλ ω. ϕ0 =0 ; ϕω₀ =−π

2 ; ϕ∞ = −π.

dϕ

dω= −2λ ω²ω₀²

ω²−ω02

²4λ²ω².



^ddϕω



0

= −2λ

ω₀² = − 1

Qω₀ ;



^ddω^ϕ



_ω0^{= −}λ¹ = −2Q ω₀ . Remarques :

•si la courbe a un point d'inflexion, l'abscisse de ce point n'est pas ω₀, niω_rsi elle existemais ω_itelle que ωi=ω0



²

^

¹⁻

^

^ωλ22

^

^2−1.

•s'il y a résonance : tanϕr= −ω_r

λ; si la résonance est aigüe ωr≈ω0 et λ≪ω0: tanϕr  −∞;ϕr π 2. Dans ce cas :ω1≈ω0−λ; tanϕ1=−



^1−2λω0



^{≈ −1 ⇒ ϕ1≈ −π4} et de même pourω2,ϕ2≈ −3π

4 . c .Etude de la vitesse.

v= ˙x=−aωsinωtϕ. amplitude de la vitesse: aω= f₀

m

ω



^ω2−ω0

2²4λ²ω². ω0 : aω0

ω ∞ : aω 0 ω=ω₀ : aω= f₀

2λm= f₀ h . daω

dω = f₀ m

ω₀⁴−ω⁴

[

^ω2−ω0

2²4λ²ω²

]

3 2

;



^ddaω^ω



0

= f₀ mω0

2= f₀ k .

L'amplitude de la vitesse est toujours maximale pour ω=ω0 et on remarque que la dérivée à l'origine est indépendante de λ toutes les courbes ont même tangente à l'origine.

Bande passante pour la vitesse : aω= 1



²

f₀

2λm ⇒ 2



^{2λ ω=}

 ^

^ω2−ω02

^

^24λ2ω2.

D' où



^ω2−ω0

22λ ω



^ω2−ω0

2−2λ ω



^{=0 ⇒}

[

^{ωω12= −=λλ}

^ 

^{λλ22ωω02}0

2 ; ∆ ω=ω₂−ω₁=2λ ; ω₀

∆ ω=Q.

ω₀est la moyenne géométrique de ω₁et ω₂:ω₀=



^ω1ω₂. 5) Notion d ' impédance mécanique.

A la vitesse v= ˙x est associé le complexe v= ˙x= jωx d' où V=jω X= f₀ m

jω ω₀²−ω²2jλ ω.

On remarque l'analogie avec l'impédance électrique d'un circuit RLC série avec les correspondances R ↔ h , L ↔m , C↔ 1

k, que l'on peut retrouver à partir des équations différentielles régissant les deux systèmes:

q¨ R Lq˙ 1

LCq= e

L et x¨ h mx˙k

mx=f '' m. On a aussi les correspondances q ↔x , i ↔ v , e ↔f ''.

π 0 ϕ

ω_o

ω

2 -π

λ faible λ élevé

ω aω

f₀ h

f₀ mω₀ 0

λ faible λ élevé

ω₀

6) Étude de l ' énergie.

a . Oscillateur libre non amorti.

L'énergie mécanique totale est constante: E=1

2mx˙²1

2k x²= 1

2k A² avec k=mω0 2. Energie cinétique moyenne: E_c= 1

T

∫

₀^TEcdt= 1

T

∫

₀^{T 1}₂^mA2ω0

2sin²ω₀tϕdt= 1

4mA²ω₀²= 1 2E.

Energie potentielle moyenne: E_p= 1

T

∫

₀^TEpdt= 1

T

∫

₀^T1₂^kA2cos2ω0tϕdt= 1

4kA²= 1 2E.

En moyenne, il y a équipartition de l'énergie totale entre les deux formes d'énergie.

Pour une molécule diatomique vibrant le long de son axe, on doit attribuer 1

2k_BT à chaque forme 2 degrés de liberté, soit k_BT pour l 'énergie de vibration k_B=constante de Boltzmann.

b . Oscillateur libre amorti.

L 'énergie initiale E₀disparaît puisque x0 et v0 quand t  ∞. ∆E= −E₀=Wf ' = −

∫

₀^{∞hv2dt0.}

Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur reçue par le milieu extérieur.

c .Oscillateur forcé en régime permanent. E=1

2mx˙²1

2k x² avec k=mω0

2, x=a cosωtϕ et x˙ =−aωsinωtϕ. L'énergie totale est périodique, de période T

2, de valeur moyenne E= 1

4ma²ω²ω₀².

Toute l'énergie fournie par la force excitatrice f '' au cours d'une période T sert à compenser l'énergie perdue par frottement :

∫

₀^{Tf ''⋅v dt}

∫

₀^{Tf '⋅v dt=0.}

−

∫

₀^Tf0cosωt aωsinωtϕdt−

∫

₀^{Tha2ω2sin2ωtϕdt=0.}

−f₀

∫

₀^T1₂

^[

^{sinϕsin2ωtϕ}

^]

^dt=haω

∫

₀^{Tsin2ωtϕdt ⇒ sinϕ= −h a}_f ^ω

0

.