Master 1 MEEF 2014-2015 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2-8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 16 Th` eme S´ eries de Fourier
L’exercice propos´e au candidat
On veut cr´eer une courbe param´etr´ee polaire pilot´ee par quatre points le long des axes. Soit f la fonction r´eelle 2π-p´eriodique d´efinie par
— f (t) = r0pour −π4 ≤ t < π4,
— f (t) = r1pour π4 ≤ t < 3π4,
— f (t) = r2pour 3π4 ≤ t < 5π4,
— f (t) = r3pour 5π4 ≤ t < 7π4.
1. Repr´esenter graphiquement la fonction f dans un rep`ere orthonormal sur l’intervalle [−π/2, 5π/2] pour r0= 2, r1= 0, r2= 1, r3= 3.
2. La fonction f satisfait-elle aux conditions de Dirichlet ? 3. Soit s(t) = a0+P∞
n=1(an cos(n t) + bn sin(n t)) le d´eveloppement de Fourier associ´e `a la fonction f . Calculer les coefficients an et bn dans le cas o`u r0= 1 et r1= r2 = r3= 0. Justifier que la somme de cette s´erie est ´egale `a f sur un ensemble qu’on d´eterminera.
4. De mˆeme, calculer les coefficients de Fourier associ´es `a la fonction f dans les trois autres cas o`u l’un seulement des quatre rayons n’est pas nul.
5. En d´eduire les coefficients de Fourier associ´es `a la fonction f dans le cas g´en´eral.
6. Application : Tracer la courbe param´etr´ee polaire Cf d´efinie par t 7→ f (t) cos(t), sin(t)
o`u f est la fonction d´ecrite en 1, puis l’allure de la courbe param´etr´ee polaire Cr d´efinie par t 7→ r(t) cos(t), sin(t) o`u
t 7→ r(t) =
4
X
n=0
(an cos(n t) + bn sin(n t))
est la s´erie de Fourier associ´ee `a f , tronqu´ee aux cinq premiers termes.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 6.
Comme il y a quatre points, les coefficients sont nuls `a partir du quatri`eme rang.
Le travail `a exposer devant le jury
1. ´Enoncer les notions et outils utilis´es pour la r´esolution de l’exercice.
2. Analyser les ´el´ements de r´eponses de l’´el`eve.
3. Utiliser un logiciel de g´eom´etrie dynamique pour illustrer cet exercice et proposer des g´en´eralisations possibles.
4. Proposer trois exercices mettant en pratique d’autres applications des s´eries de Fourier.
