Master 1 MEEF Maths 2013 - 2014 Capes Externe
UE 7 Epreuve sur dossier
DOSSIER An 16
Thème : Séries de Fourier
L’exercice
On considère la fonction f, périodique de période π, définie sur l’ensemble des nombres réels par : f (t) = 2t si 0 ≤ t <
f (t)= −2t +2π si ≤ t < π.
1. Tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [ − 2π ; 2π].
2. Les coefficients du développement de Fourier de la fonction f sont notés a0, an et bn où n désigne un nombre entier supérieur ou égalà1.
a) Déterminer la parité de la fonction f .
b) En déduire bn pour tout nombre entier n supérieur ou égal à1.
3. Déterminer a0, puis an pour n ≥ 1.
4. On considère un nombre entier k supérieur ou égal à 1 et on pose :
∑
Calculer une valeur approchée de P5 à 10-4 près.
5. On note le carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période.
a) Calculer la valeur efficace de f sur une période.
b) Déterminer la plus petite valeur de k telle que :
> 0,999.
Le travail à exposer devant le jury
1. Quels sont les savoirs et savoirs - faire mis en œuvre dans cet exercice ?
2. Réaliser, à l’aide du logiciel de votre choix, la représentation graphique de la fonction f demandée à la question 1, ainsi que celle du développement en série de Fourier de f, tronqué au fondamental et aux deux premiers harmoniques.
3. Présenter une correction de la question 3, comme vous l’exposeriez devant une classe de STS.
4. Montrer l’intérêt de l’utilisation d’un logiciel de calcul formel pour les questions 2 et 3.
5. Proposer deux ou trois exercices se rapportant au thème « Séries de Fourier », mettant en valeur différents aspects de l’utilisation des séries de Fourier.
