Master 2 EADM 2012 - 2013 Capes Externe
UE 17 Epreuve sur dossier
26/05/2013
DOSSIER An 15
Thème : Séries de Fourier
L’exercice
Soit la fonction f, définie sur IR, périodique de période 2, telle que : f (t) = t sur [0 ; 1[ et f (t) = 0 sur [1 ; 2[.
1) Représenter la courbe Cf représentative de la fonction f sur l’intervalle [-4 ; 4].
2) Soit Sf la série de Fourier associée à la fonction f. On note :
( ) ∑( ( ) ( ))
Calculer les coefficients a0, puis pour n 1, an et bn . 3) La fonction f satisfait – elle aux conditions de Dirichlet ? 4) Calculer la valeur efficace eff de la fonction f.
5) Donner une valeur approchée à 10-3 près du nombre réel A défini par : ∑ ( )
6) Soit g, h et k les fonctions définies sur IR par : g (t) = f (-t), h (t) = f (t) + g (t) et k (t) = f (t) – g (t).
a) Représenter les fonctions g, h et k sur l’intervalle [- 4 ; 4].
b) Donner les développements en série de Fourier des fonctions g, h et k.
Le travail à exposer devant le jury
1. Réaliser, à l’aide du logiciel de votre choix, une représentation graphique de la fonction h ainsi que du développement en série de Fourier de h, tronqué au fondamental et aux trois premiers harmoniques.
2. Présenter un corrigé de la question 2, comme vous le feriez devant une classe de STS.
3. Quel peut être l’intérêt de l’utilisation d’un logiciel de calcul formel dans cet exercice ? Présenter comment vous l’utiliseriez devant une classe.
4. Proposer deux ou trois exercices se rapportant au thème « Séries de Fourier ».
