series entieres Fourier

S´ eries enti` eres, s´ eries de Fourier 1 Rappels

1.1 Convergence d’une s´ erie num´ erique sur un espace de Banach

Rappelons qu’un espace de Banach est un espace vectoriel norm´e complet, c’est-`a-dire dans lequel toutes les suites de Cauchy sont convergentes.

Soit (u_n)_n≥0 une suite d’un espace vectoriel norm´e (E, k.k). On note (S_n) la suite des sommes partielles de la suite (u_n), c’est-`a-dire : S₀ = u₀ et pour tout n ≥ 0, S_n+1 = S_n+ u_n+1.

D´efinition :

– La s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente si la limite de la suite des sommes partielles (Sn) existe dans (E, k.k). On notera S la somme de la s´erie. Dans ce cas, la suite (T_n)_n = (S − S_n)_n est bien d´efinie et converge vers 0 dans (E, k.k). On dit que la queue de la s´erie tend vers 0.

– La s´erie de terme g´en´eral un est absolument convergente si la s´erie de terme g´en´eral ku_nk converge. Cette derni`ere s´erie est `a termes r´eels positifs. La suite de ses sommes partielles est donc une suite croissante sur R.

Remarque : Si la s´erie de terme g´en´eral un est convergente, il est clair que la suite (un) tend vers 0. On se sert plus souvent de la contrapos´ee de cette remarque : si la suite (u_n) ne tend pas vers 0, la s´erie de terme g´en´eral (u_n) diverge.

Proposition : Si la s´erie de terme g´en´eral (u_n) est absolument convergente sur l’espace vectoriel norm´e complet (E, k.k), alors elle est convergente dans (E, k.k).

Preuve : En effet, supposons que la s´erie de terme g´en´eral (u_n) est absolument convergente, et montrons que la suite (S_n) des sommes partielles des (u_n) est une suite de Cauchy sur (E, k.k).

Soient n et p deux entiers positifs.

On a

S_n+p− S_n=

p

X

k≥1

u_n+k On en d´eduit que

kS_n+p− S_nk = k

p

X

k≥1

u_n+kk ≤

p

X

k≥1

ku_n+kk ≤X

k≥1

ku_n+kk

Fixons un r´eel  > 0. Comme la s´erie de terme g´en´eral ku_nk est convergente, il existe un entier naturel N tel que, pour tout n ≥ N ,

X

k≥1

kun+kk ≤ .

On d´eduit que la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy sur (E, k.k) :

Pour tout  > 0, il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N et tout p ≥ 0, on ait kSn+p−S_nk ≤  Puisque (E, k.k) est un espace complet, on en d´eduit que la suite des sommes partielles

(S_n) est convergente dans (E, k.k). 

1.2 Convergence d’une suite ou d’une s´ erie de fonctions sur un espace vectoriel norm´ e complet

NB : Ce paragraphe est r´edig´e pour des suites ou s´eries de fonctions d’un espace de Banach, et `a valeurs dans un espace de Banach. Rien ne vous empˆeche, si c’est plus parlant pour vous, de le r´e´ecrire pour des fonctions de R dans lui-mˆeme ou de C dans lui-mˆeme. Il suffit de remplacer les normes k.k par des valeurs absolues ou modules !

On consid`ere une suite de fonctions (f_n: E → F ) entre deux espaces de Banach et on note (G_n) la suite des sommes partielles : G₀ = f₀, et pour tout n ≥ 0, G_n+1 = G_n+ f_n+1. Pour toute fonction h : E → F , on d´efinit la norme infinie de h par : khk∞ = sup_x∈Ekf (x)k.

D´efinition : La suite de fonctions (f_n) converge simplement ou point par point vers une fonction f si, pour tout x ∈ E, la suite (f_n(x)) converge dans F . On note alors f la fonction limite. De la mˆeme fa¸con, la s´erie de terme g´en´eral fn converge simplement si la suite des sommes partielles (G_n) converge simplement.

D´efinition : Soit D un ouvert de E. La suite (f_n) (resp. la s´erie de terme g´en´eral f_n) converge uniform´ement vers une fonction f : E → F (resp. G : E → F ) si, pour tout

 > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N et tout x ∈ D,

kf_n(x) − f (x)k ≤  (resp. kG_n(x) − G(x)k ≤ )

ce qui peut se traduire : pour tout  > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N , kfn−f k∞ ≤  (resp. kG_n− Gk∞ ≤ )

Il est facile de voir que, si (f_n) converge uniform´ement vers f sur D ⊂ E et si pour tout n, fn est continue sur D, alors f est continue : en effet, consid´erons un point x0 ∈ D et un r´eel  > 0. Il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N , kf_n− f k∞ ≤ /3 : fixons un tel N . La fonction f_N ´etant continue en x₀, il existe η tel que pour tout x ∈ D tel que kx − x0k ≤ /3, on a kfN(x) − fN(x0)k ≤ /3.

Majorons kf (x) − f (x₀)k, pour tout x ∈ D tel que kx − x₀k ≤ η :

kf (x) − f (x0)k ≤ kf (x) − fN(x)k + kfN(x) − fN(x0)k + kfN(x0− f (x0)k ≤ 

Nous pouvons donc affirmer que f est continue en x₀. 

Ce r´esultat est bien sˆur faux si on n’impose pas `a la convergence d’ˆetre uniforme. Par exemple, pla¸cons-nous sur R et consid´erons les fonctions fn affines par morceaux, nulles sur R<sup>−</sup> et constantes ´egales `a 1 sur [1/n, +∞[. Cette suite de fonctions converge point par point vers la fonction indicatrice de l’intervalle ]0, +∞[ : en effet, si x est n´egatif, f_n(x) = 0 = f (x) et si x est strictement positif, f_n(x) est ´egale `a 1 pour tout n suffisamment grand, ce qui justifie la convergence de fn vers la fonction indicatrice de ]0, +∞[.

Montrons maintenant que la convergence n’est pas uniforme. Pour cela, remarquons que f_n est lin´eaire de pente ´egale `a n sur [0, 1/n]. D’o`u, pour tout n et pour tout k ∈ N^∗, on a fn(1/n^k) = n^−k+1 donc, pour tout n,

kf_n− f k∞ ≥ |f_n(n^−k) − f (n^−k)| = 1 − n^−k+1

En prenant le supremum sur k du membre de droite, on obtient que, pour tout n, kf_n− f k∞= 1.

D´efinition : Une s´erie de terme g´en´eral f_n converge normalement sur E si la s´erie de terme g´en´eral kf_nk∞ est convergente.

La convergence normale de la s´erie P fn implique sa convergence uniforme et, pour tout x ∈ E, la convergence absolue de la s´erie de terme g´en´eral f_n(x).

Remarquons qu’une s´erie peut converger (et mˆeme converger uniform´ement) sans converger normalement. Consid´erons par exemple la suite de fonctions (fn : R → R)ⁿ d´efinie pour tout n par : f_n: x 7→ ^sin_n^2x1]nπ,(n+1)π[.

La s´erieP

nkf_nk∞diverge, mais en tout x fix´e, au plus une des valeurs des fonctions f_n est non nulle doncP

nfnconverge uniform´ement (et absolument en tout point, puisqu’elle est `a termes positifs).

Il existe d’autres mode de convergence d’une suite de fonctions : il suffit pour cela de construire une norme sur l’espace des fonctions. Par exemple, si on consid`ere les fonctions

`

a valeurs r´eelles d´efinies sur un intervalle I de R et int´egrables sur cet intervalle, une norme possible est khk1 =R

I|f (t)| dt, et si on consid`ere les fonctions de carr´e int´egrables, khk₂ = (R

I(f (t))² dt)^1/2 d´efinit une autre norme. Les normes k.k∞, k.k₁ et k.k₂ ne sont pas

´

equivalentes : on peut donc construire des suites de fonctions qui convergent pour l’une de ces normes mais pas pour les autres (notamment si I n’est pas born´e).

2 S´ eries enti` eres

Nous nous int´eressons `a partir de maintenant aux s´eries enti`eres qui sont des s´eries de fonctions de C (ou R) dans lui-mˆeme. Ces deux espaces sont bien ´evidemment des espaces de Banach.

D´efinition : Une s´erie enti`ere est une s´erie de fonctions de la forme X

n≥0

a_nzⁿ

o`u les coefficients (a_n) forment une suite r´eelle ou complexe.

Le rayon de convergence R de cette s´erie est d´efini par R = supn

|z|, o`u z ∈ C est tel que X

a_nzⁿ convergeo

∈ R⁺∪ {+∞}

Par exemple, la s´erie enti`ere P

n2ⁿzⁿ est de rayon de convergence 1/2, la s´erie enti`ere P

nzⁿ/n! est de rayon de convergence infini, et la s´erie enti`ere P

nnⁿzⁿ est de rayon de convergence nul.

Le Lemme d’Abel permet d’obtenir une minoration du rayon de convergence : Lemme d’Abel : Si, pour un r´eel r > 0 fix´e, la suite (a_nrⁿ) est born´ee, alors la s´erie P

na_nzⁿ converge absolument sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon r.

Ainsi, une s´erie enti`ere converge absolument en tout point situ´e `a l’int´erieur du disque de centre 0 et de rayon son rayon de convergence, appel´e disque ouvert de convergence, et cette convergence est uniforme sur tout disque ferm´e inclus dans le disque ouvert de convergence.

Par ailleurs, la s´erie P

na_nzⁿ diverge grossi`erement (son terme g´en´eral ne tend pas vers 0) en tout point situ´e `a l’ext´erieur du disque ferm´e de centre 0 et de rayon R.

On peut ´egalement remarquer que les s´eries P anzⁿ et P |an|zⁿ ont le mˆeme rayon de convergence. Par contre, lorsque l’on se place sur un point du bord du disque de convergence, ces deux s´eries n’ont pas n´ecessairement le mˆeme comportement.

Les deux r´esultats suivants se d´eduisent du lemme d’Abel et permettent de calculer le rayon de convergence d’une s´erie enti`ere :

– Th´eor`eme de Cauchy-Hadamard : Le rayon de convergence de la s´erieP

nanzn

est ´egal `a

R = 1/(lim sup |a_n|^1/n)

– R`egle de d’Alembert : Si, pour tout tout n suffisamment grand, a_n est non nul, le rayon de convergence de la s´erieP

na_nz_n est ´egal `a 1/(lim a_n+1/a_n), lorsque cette limite existe.

Les op´erations usuelles (somme, produit...) de s´eries enti`eres sont donc licites `a l’int´e- rieur du disque de convergence, le rayon de convergence de la s´erie somme/produit ´etant sup´erieur au minimum des deux rayons de convergence des s´eries initiales. Il est ´egalement possible de composer deux s´eries enti`eres f ◦ g, sur un petit disque de convergence inclus dans dans le disque de convergence de g.

Proposition : Toute s´erie enti`ere est de classe C^∞ sur le disque de centre 0 et de rayon le rayon de convergence de la s´erie.

La s´erie d´eriv´ee d’une s´erie enti`ere, obtenue en la d´erivant terme `a terme, est une s´erie enti`ere de mˆeme rayon de convergence.

Preuve : Consid´erons S(x) =P anxⁿune s´erie enti`ere de rayon de convergence R ∈]0, +∞]

et notons T : x 7→P na_nxⁿ. T est une s´erie enti`ere et le lemme d’Abel implique que T et S ont mˆeme rayon de convergence que S.

Montrons `a la main que T est la d´eriv´ee de S. Soit x0 ∈ C tel que |x⁰| < R et soit

 > 0 tel que |x₀| +  < R.

Pour tout h ∈ C tel que |h| < , et pour tout n ≥ 2, on a (x₀+ h)ⁿ− xⁿ₀ − nhxⁿ⁻¹₀ 

 =     

n

X

k=0

n k



h^kx^n−k₀ − xⁿ₀ − nhxⁿ⁻¹₀     

≤

n

X

k=2

n k



|h|^k|x₀|^n−k

≤ h²

n

X

k=2

n k



|h|^k−2|x₀|^n−k

≤ h²

n

X

k=0

n k



^k−2|x₀|^n−k = h²(|x₀| + )ⁿ

Par ailleurs, pour n=0 ou 1, on a (x₀+ h)ⁿ− xⁿ₀ − nhxⁿ⁻¹₀ = 0.

On en d´eduit alors que

|S(x₀+ h) − S(x₀) − hT (x₀)| ≤X

n

|a_n|

(x₀+ h)ⁿ− xⁿ₀ − nhxⁿ⁻¹₀ 

≤ h²X

n≥2

|a_n|(|x₀|+)ⁿ

Or, par choix de , le point |x₀| +  est `a l’int´erieur du disque de convergence de la s´erie P |a_n|xⁿ, donc, en divisant chacun des membres de l’in´egalit´e ci-dessus par h, on conclut que, pour tout x₀ fix´e, ^{S(x0+h)−S(x}_h ⁰⁾ converge vers T (x₀) lorsque h tend vers 0.

On peut ´egalement montrer que la convergence du taux de variation est uniforme sur tout disque ferm´e strictement inclus dans le disque de convergence.

NB : Cette propri´et´e peut se prouver un utilisant les r´esultats de d´erivation d’une s´erie :

´

enoncez le r´esultat en question, et v´erifiez son application dans ce cas !  A l’int´` erieur du disque de convergence, on peut donc d´eriver et int´egrer une s´erie enti`ere terme `a terme.

Lorsque l’on fait tendre x vers un point du bord, la convergence n’est plus assur´ee :

´

etudions trois exemples typiques : 1. La s´erie enti`ere P

n≥1xⁿ/n² est de rayon de convergence 1, et la s´erie P

n≥1xⁿ/n² est convergente en tout point du bord de ce disque (Tout se passe bien !).

2. La fonction x 7→ 1/(1 + x) est d´eveloppable en s´erie enti`ere, de rayon de convergence

´

egal `a 1, et on a, pour tout x de module strictement inf´erieur `a 1, 1

1 + x =X

n≥0

(−1)ⁿxⁿ

Lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures, 1/(1 + x) tend vers 1/2, alors que la s´erie de terme g´en´eral (−1)ⁿ est divergente (La fonction converge, la s´erie diverge).

3. La s´erie enti`ere P nx<sup>n</sup> = x/(1 − x)<sup>2</sup> est de rayon de convergence 1, et pour tout point du bord du disque de centre 0 et de rayon 1, la s´erie P nx<sup>n</sup> est divergente, ce qui n’empˆeche pas la fonction d’ˆetre continue mis `a part en 1 (La s´erie et la fonction divergent en 1).

2.1 Unicit´ e, existence

Le d´eveloppement en s´erie enti`ere, s’il existe, est unique : en effet, si f est une fonction de classe C<sup>∞</sup>, et si f admet un d´eveloppement en s´erie enti`ere de la forme f (x) =P

nanxⁿ de rayon de convergence non nul, on peut d´eriver terme `a terme ce d´eveloppement en s´erie enti`ere et on obtient, pour tout k ≥ 0 et pour tout x `a l’int´erieur du disque de convergence :

f^(k)(x) = X

n≥k

n(n − 1) · · · (n − k + 1)a_nx^n−k

En substituant x par 0, il vient : f^(k)(0) = k!a_k. Le d´eveloppement en s´erie enti`ere co¨ıncide donc avec le d´eveloppement en s´erie de Taylor.

Il existe des fonctions de classes C^∞ qui ne sont pas d´eveloppables en s´erie enti`ere. Par exemple la fonction f : x 7→ exp(−1/x²) est de classe C^∞ sur R. Ses d´eriv´ees de tout ordre en 0 sont nulles, donc la s´erie P f^k(0)x^k/k! est de rayon de convergence infini, mais pour tout x non nul, on a f (x) 6= P f^k(0)x^k/k!.

Les fonctions admettant un d´eveloppement en s´erie enti`ere sont les fonctions analy- tiques, c’est-`a-dire les fonctions d´erivables en tant que fonction d’une variable complexe.

Si nous revenons `a la fonction f : x 7→ exp(−1/x²), on peut remarquer qu’elle n’est pas continue sur C en 0. En effet, si h ∈ R, f (h) tend vers 0 lorsque h → 0, alors que f (ih) tend vers +∞, toujours lorsque h tend vers 0.

2.2 Quelques d´ eveloppements en s´ eries enti` eres ` a connaˆıtre

∀x ∈ C tel que |x| < 1, 1

1 − x =X

n≥0

xⁿ

∀x ∈ C tel que |x| < 1, 1

1 + x =X

n≥0

(−1)ⁿxⁿ

∀x ∈ R tel que |x| < 1, ln(1 + x) = X

n≥0

(−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ

∀x ∈ C tel que |x| < 1, 1

(1 − x)² =X

n≥1

nxⁿ⁻¹=X

k≥0

(k + 1)x^k

∀x ∈ [−1, 1], arctan x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

2n + 1 , et en particulier, π = 4

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2 n + 1.

∀x ∈ C, exp(x) =X

n≥0

1 n!xⁿ

∀x ∈ C, cos(x) = X

n≥0

(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ

∀x ∈ C, sin(x) =X

n≥0

(−1)ⁿ

(2n + 1)!x²ⁿ⁺¹

Il est ´egalement indispensable de savoir que si la fonction est paire (resp. impaire), son d´eveloppement en s´erie enti`ere ne comporte que des termes d’ordre pair (resp. impair).

2.3 Applications

Connaˆıtre le d´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction peut servir bien sˆur `a expliciter la valeur d’une s´erie num´erique. Une autre application beaucoup plus utile est la r´esolution des ´equations diff´erentielles : on cherche si une ´equation diff´erentielle (lin´eaire, homog`ene ou avec second membre) (E) admet une solution d´eveloppable en s´erie enti`ere, c’est-`a-dire s’il existe une suite (a_n) telle que f : x 7→ P

na_nxⁿ soit solution de (E). On calcule les d´eriv´ees de f sous forme de s´eries (sans se pr´eoccuper de justifier la convergence de ces s´eries), on r´einjecte dans l’´equation diff´erentielle, et on identifie les termes de mˆeme degr´e en x. Une fois que l’on a obtenu une suite (a_n) solution, il reste `a v´erifier que la s´erie enti`ere obtenue est de rayon de convergence strictement positif, et, le plus souvent,

`

a calculer/identifier cette s´erie.

Expliciter un d´eveloppement en s´erie enti`ere peut ´egalement ˆetre utilis´e pour calculer les d´eriv´ees successives de f en 0.

3 S´ eries de Fourier

3.1 S´ eries trigonom´ etriques

Pr´eliminaire : pour tout entier relatif ` non nul, et tout r´eel T > 0, on a Z T

0

e^2i`πt/T dt = 1

2i`π/Te<sup>2i`πt/T</sup>T 0 = 0.

Consid´erons maintenant une suite (cn)_n∈Z de nombres complexes et notons, lorsque la s´erie converge

P (t) = X

n∈Z

c_ne^2inπt/T

En posant a₀ = 2c₀, et pour tout n ≥ 1, a_n = c_n+ c_−n et b_n = i(c_n− c_−n), on peut aussi ´ecrire P sous la forme

P (t) = a₀

2 +X

n≥1



a_ncos2nπt

T + b_nsin2nπt T



On peut remarquer que, P est T -p´eriodique, continue sur tout intervalle o`u la s´erie est uniform´ement convergente et, pour peu que les s´eries ci-dessus convergent uniform´ement sur [0, T ], on a pour tout k ∈ Z

1 T

Z T 0

P (t)e^−2ikπt/Tdt = 1 T

X

n

cn

Z T 0

P (t)e2i(n−k)πt/T

dt = ck

On a ´egalement : an = 2

T Z T

0

P (t) cos2πt

T dt et bn= 2 T

Z T 0

P (t) sin2πt T dt

3.2 S´ eries de Fourier

3.2.1 Coefficients de Fourier

Soit une fonction f de p´eriode T , int´egrable sur l’intervalle [0, T ] et d´efinissons, pour tout n ∈ Z, les coefficients de Fourier de f pour tout n ∈ Z

c_n(f ) = 1 T

Z T 0

f (t)e^−2inπt/T dt et la s´erie de Fourier de f :

S_f(t) =X

n∈Z

c_n(f )e^2iπnt/T On notera ´egalement a₀(f ) = 2c₀(f ) et pour tout n ≥ 1,

a_n(f ) = c_n(f ) + c−n(f ) = 2 T

Z T 0

f (t) cos2nπt T dt b_n(f ) = i(c_n− c−n) = 2

T Z T

0

f (t) sin2nπt T dt

Il est clair que si f est `a valeurs r´eelles, c_n et c−n sont des complexes conjugu´es, et que si f est une fonction paire (respectivement impaire), les coefficients b_n(f ) (respectivement a_n(f )) sont tous nuls.

Exercice : D´eterminer les coefficients de Fourier des fonction f suivantes :

• f est de p´eriode 1, impaire et constante ´egale `a 1 sur [0, 1/2[.

• f est de p´eriode 1, paire, ´egale `a 1 sur [0, 1/4[ et ´egale `a −1 sur [1/4, 1/2[.

• f est de p´eriode 2π et pour tout x ∈ [−π, π[, f (x) = x.

• f est de p´eriode 2π et pour tout x ∈ [−π, π[, f (x) = |x|.

• f est de p´eriode 2π et pour tout x ∈ [−π, π[, f (x) = | sin x|.

3.2.2 Lemme de Riemann-Lebesgue

Enon¸cons le lemme de Riemann-Lebesgue : Soit f une fonction continue par mor-´ ceaux sur un intervalle [a, b]. On note, pour tout n ∈ Z,

αn = Z b

a

f (t)e^intdt Alors on a lim_n→+∞α_n= lim_n→−∞α_n = 0

En effet :

• Supposons que f est constante ´egale `a λ sur [a, b] : on a pour tout n non nul,

α_n(f ) = Z b

a

λe^int dt = λ

in e^inb− e^ina
La suite (α_n) tend donc bien vers 0 lorsque n tend vers +∞ ou −∞.

• Supposons maintenant que f est en escalier sur [a, b] : il existe une subdivision a = t₀ < t₁ < . . . < t_p = b de l’intervalle [a, b] telle que, pour tout k ≤ p − 1, f est constante et ´egale `a un certain λ_k sur l’intervalle ]t_k, t_k+1[. En utilisant le 1er cas, on obtient que, pour tout n 6= 0,

c_n(f ) = 1 n

p−1

X

k=0

λ_k e^intk− e^intk+1

qui tend `a nouveau vers 0 lorsque n tend vers +∞ ou vers −∞.

• On termine en ´etudiant le cas d’une fonction f continue par morceaux : on utilise pour cela la densit´e des fonctions en escalier. Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] est limite uniforme d’une suite (f_k) de fonctions en escalier.

Pour tout  > 0, il existe un rang K tel que pour tout k ≥ K, sup_[a,b]|f_k − f | ≤

/(2(b − a)). On a alors, pour tout n ∈ Z,

|α_n(f_k) − α_n(f )| ≤ Z b

a

|f_k(x) − f (x)| dx ≤ /2

Choisissons un tel k. La suite (α_n(f_k)) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, donc il existe N tel que pour tout n ≥ N , on a |α_n(f_k)| ≤ /2.

Pour tout n ≥ N , on aura :

|α_n(f )| ≤ |α_n(f ) − α_n(f_k)| + |α_n(f_k)| ≤ 

 On d´eduit imm´ediatement du lemme de Riemann-Lebesgue le corollaire suivant : Corollaire : Soit f une fonction continue par morceaux sur [0, T ], p´eriodique de p´eriode T . Alors ses coefficients de Fourier tendent vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

3.2.3 Th´eor`eme de Dirichlet

Th´eor`eme : Soit f une fonction T -p´eriodique, continue par morceaux sur [0, T ]. Si f admet, en un r´eel t fix´e, une d´eriv´ee `a droite et une d´eriv´ee `a gauche, alors la s´erie de Fourier de f converge en t et sa somme vaut (f (t+) + f (t−))/2.

Preuve : Pour simplifier l’´ecriture, on se contentera d’´etudier le cas des fonction π- p´eriodiques. Consid´erons la suite (f_n) des sommes partielles de la s´erie de Fourier de f :

f_n(t) =

n

X

k=−n

c_k(f )e^ikt

Par d´efinition de cn(f ), on en d´eduit : f_n(t) = 1

2π Z π

−π n

X

k=−n

e^ikte^−ikuf (u) du

= 1

2π Z π

−π n

X

k=−n

e^ik(t−u)f (u) du

= 1

2π Z π

−π n

X

k=−n

e^−iksf (t + s) ds Changement de variable u = t + s

= 1

2π Z π

−π n

X

k=−n

e^ik˜sf (t − ˜s) d˜s Changement de variable s = −˜s Par ailleurs, on remarque que

Z π

−π n

X

k=−n

e^−iks ds = 2π

et n

X

k=−n

e^−iks = e^ins− e^i(n+1)s

1 − e^is = sin((n + 0.5)s) sin(s/2) =

n

X

k=−n

e^iks On a donc

f_n(t) − 1

2(f (t⁺) + f (t⁻)) = 1 2π

Z π

−π

sin((n + 0.5)s)

sin(s/2) (f (t + s) + f (t − s) − f (t⁻) − f (t⁺)) ds Pour t fix´e, consid´erons la fonction

φ : s 7→ 1

sin(s/2)(f (t + s) + f (t − s) − f (t⁻) − f (t⁺))

Comme f est d´erivable `a droite en t, (f (t + s) − f (t⁺))/s converge lorsque s → 0⁺. Donc (f (t + s) − f (t⁺))/ sin(s/2) converge lorsque s → 0⁺.

De mˆeme, (f (t − s) − f (t⁻))/ sin(s/2) converge lorsque s tend vers 0 par valeurs sup´erieures. On peut donc en d´eduire que φ est continue `a droite en 0 : φ est par cons´equent une fonction continue par morceaux sur [0, π]. On peut alors lui appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue et conclure que (f<sub>n</sub>(t) − <sup>1</sup><sub>2</sub>(f (t<sup>+</sup>) + f (t<sup>−</sup>)))<sub>n</sub> converge vers 0 lorsque n tend vers +∞, c’est-`a-dire que la s´erie de Fourier de f est convergente en t, et admet pour limite (f (t⁺) + f (t⁻))/2.

3.2.4 Egalit´´ e de Parseval :

Soit f une fonction T -p´eriodique et continue par morceaux. On a alors 1

T Z T

0

|f (t)|²dt =X

n

|c_n(f )|² On en d´eduit que

• Si tous les coefficients de Fourier d’une fonction p´eriodique et continue par morceaux sont nuls, cette fonction est nulle.

• Puis que si la s´erie de Fourier d’une fonction f T -p´eriodique et continue, converge uniform´ement, alors cette fonction est la somme de sa s´erie de Fourier.

Exercice : Soit f la fonction 2π-p´eriodique telle que f (x) = x² pour tout x ∈ [0, 2π[.

D´eterminer ses coefficients de Fourier. En d´eduire la valeur de la s´erie de terme g´en´eral 1/n², puis de la s´erie de terme g´en´eral 1/n⁴.

3.2.5 Convergence normale d’une s´erie de Fourier

Th´eor`eme : Soit f une fonction T -p´eriodique, continue et de classe C¹ par morceaux sur [0, T [. Alors la s´erie de Fourier de f est normalement (donc uniform´ement) convergente et de somme f .