(on désigne park.k∞la norme de la convergence uniforme : sif est bornée surI, kfk∞=sup x∈I|f(x

1. (a) On dit que la sériePf_nconverge normalement surIlorsque :

Au moins à partir d’un certain rangn₀(ici, conformément à l’énoncé, on a n₀=0), toutes les fonctionsfnsont bornées surI, et X

n≥n₀kfnk∞converge.

(on désigne park.k∞la norme de la convergence uniforme : sif est bornée surI,

kfk∞=sup

x∈I|f(x)|) (b) Pour toutx∈I, on a

|f_n(x)| ≤ kf_nk∞

Donc, siP

kf_nk∞converge, par comparaison de séries à termes réels po- sitifs,P

|f_n(x)|converge. On a bien démontré :

Si Pf_n converge normalement sur I, Pf_n converge absolument surI

2. On suppose quePf_n converge normalement. Par la question précédente, Pf_nconverge absolument surI. Pour chaquex,Pf_n(x), absolument conver- gente, est convergente. On peut alors définir surI, pour toutn≥0,

Rn :x7→

+∞X

k=n+1

f_k(x)

Sip≥n+1, on peut écrire pour toutx∈I, par inégalité triangulaire :

¯

¯

¯

¯

¯

p

X

k=n+1

f_k(x)

¯

¯

¯

¯

¯

≤

p

X

k=n+1

|f_k(x)| ≤

p

X

k=n+1

kf_kk∞

et donc, les inégalités larges étant conservées lorsqu’on prend les limites quand p→ +∞,

∀n∈N∀x∈I |R_n(x)| ≤ρn

oùρn=

+∞X

k=n+1

kf_kk∞. La suite (ρn), suite des restes d’une série convergente, converge vers 0. Et donc la suite (R_n) converge uniformément surI vers la fonction nulle (e0). On a bien montré :

Pf_nconverge uniformément surI 3. Six∈[0, 1], on a

|fn(x)| = x² n²+1

n ce qui montre que la suite¡

|f_n(x)|¢

est décroissante et converge vers 0. Donc, par théorème spécial sur les séries alternées,

Pfnconverge simplement sur [0, 1]

On peut alors définir chaque fonction reste R_n=

+∞X

k=n+1

f_k

sur [0, 1] et, toujours d’après le théorème spécial sur les séries alternées,

∀n≥0∀x∈[0, 1] |R_n(x)| ≤ x²

(n+1)²+ 1

n+1≤ 1

(n+1)²+ 1 n+1 ce qui, la suite de terme général 1

(n+1)²+ 1

n+1convergeant vers 0, montre la convergence uniforme de la suite (Rn) verse0 sur [0, 1]. Et, par suite,

Pf_nconverge uniformément sur [0, 1]

Cela dit, on remarque que, pour toutx∈[0, 1],

|f_n(x)|_n ∼

→+∞

1 n

ce qui, par comparaison aux séries de Riemann, montre que Pfn ne converge absolument en aucun point de [0, 1]

4. Posonsf_n(x)=xⁿ pourx∈[0, 1[. La sériePf_n converge absolument surI: lesf_n(x) sont positives, et la sériePf_n(x) converge pour toutx∈[0, 1[ (série géométrique de raisonxtel que|x| <1).

La somme de la série est la fonction x7→ 1

1−x

Les f_n étant bornées, si la convergence était uniforme, la somme serait elle aussi bornée sur [0, 1[, ce qui n’est pas le cas. Donc

NON

(un raisonnement basé sur le théorème de la double limite serait une autre bonne idée).

5. Les hypothèses sur (αn) montrent que

∀n≥1 αn∈[0,α0] ce qui montre bien que

(αn) est bornée Six∈I, on a

0≤f_n(x)≤α0xⁿ

et la sériePxⁿconverge (déjà vu), donc, par comparaison de séries à termes réels positifs,

Pfnconverge simplement surI 6. (a) La fonctionfnest de classeC¹sur [0, 1[, sa dérivée est

f_n⁰ : x7→αnxⁿ⁻¹(−x+n(1−x)) ce qui permet de tracer le tableau de variations def_n

x

f_n⁰(x)

fn

0 n/(n+1) 1

+ 0 −

0 0

M_n M_n

0 0 oùMn= kfnk∞=fn(n/(n+1)). Donc

kfnk∞= αn

n+1 µ

1+1 n

¶_−n

(b) Or

µ 1+1

n

¶₋n

=exp µ

−nln µ

1+1 n

¶¶

et ln(1+1/n)∼1/n. On a donc

N_∞(fn)∼1 e

αn

n

et donc, par comparaison de séries à termes réels positifs, Pf_n converge normalement surI si et seulement siX

n≥1

αn

n converge.

7. (a) Une série géométrique de raisonxoù|x| <1 converge. Et, comme

+∞X

k=n+1

x^k= xⁿ⁺¹

+∞X

j=0

x^j, on obtient

+∞X

k=n+1

x^k=xⁿ⁺¹ 1−x (b) Par décroissance de la suite (αn), on peut écrire

∀k≥n+1 αk≤αn+1

La convergence simple nous permet de définir surIla suite (R_n) des restes : Rn :x7−→

+∞X

k=n+1

f_k(x) Et on a, pour toutx∈Ietn≥1 :

0≤R_n(x)≤αn+1(1−x)

+∞X

k=n+1

x^k

ce qui, d’après le calcul précédent, donne

0≤R_n(x)≤αn+1xⁿ⁺¹≤αn+1

On en déduit quekRnk∞≤αn+1et donc, la suite (αn) convergeant vers 0, que la suite (Rn) converge uniformément vers 0. Finalement,

La série de fonctionsX

n≥1

fnconverge uni- formément surI

(c) D’autre part la suite (αn), décroissante positive, converge vers une limite

`≥0, et est minorée par cette limite, ce qui autorise la minoration sui- vante :

∀n≥1 ∀x∈I R_n(x)≥`xⁿ⁺¹

(on l’obtient comme on a obtenu la majoration précédente). Mais

`xⁿ⁺¹−−−−−−→

x→1,x<1 `

donc`≤ kRnk∞, et donc, si la suite (Rn) converge uniformément vers 0,

`=0. Finalement :

Si la série de fonctions X

n≥1

f_n converge uniformément sur I alors la suite (αn) converge vers 0

8. (a) Définissons, sin≥1,

αn= 1 n Alors αn

n = 1

n² est le terme général d’une série de Riemann convergente, donc, d’après 6.b.,Pf_nconverge normalement surI. De plus la suite (αn) est bien décroissante à termes réels positifs. Donc :

La suite (1/n)_n≥1convient

(b) La suite constante égale à 1 est décroissante positive. Elle ne converge pas vers 0, donc, par 7.c., la série X

n≥1

f_nne converge pas uniformément surI. La suite (1)n≥1convient

(c) Considérons, sin≥2,

αn= 1 lnn

(on prendα1≥1/ ln 2 quelconque). (αn) est une suite positive décrois- sante qui converge vers 0, donc pour laquelle la sérieP

n≥1f_n converge uniformément d’après 7.b. Mais, sin≥2,αn

n =f(n) avec f :x7−→ 1

xlnx

continue par morceaux, positive, décroissante sur [2,+∞[. Comme Z x

2

f(t)d t =ln(lnx)−ln(ln 2)−−−−−→_x

→+∞ +∞

on peut dire par comparaison série - intégrale queX

αn/n diverge. Et donc, par 6.b.,Pf_nne converge pas normalement.

La suite (1/ lnn)_n≥2convient

(en définissant un terme d’indice 1 quelconque pourvu qu’il n’altère pas la décroissance)