series de Fourier -cours

Séries de Fourier : Définitions ,Propriétés et Résultats - BTS -GO 1-Polynômes trigonométriques et série de Fourier

Définition. Soit ^f une fonction périodique de période ^T2_^ , et continue par morceaux sur ^R . On appelle série de Fourier associée à ^f : La série trigonométrique ( forme « cosinus et sinus »)

   

       

0 1 1

( ) cos sin ... _ncos _ncos

S t a  a t b t   a nt b nt qui peut s'écrire

 

0

 

1

cos( ) sin( )

k n

k k

k

S t a ^ a kt B kt



 



 . Les constantes a0, ^a_n et ^b_n ; n1;2;...n s'appellent les coefficients de Fourier associé à ^f . Où 0

1 ^{a T} ( ) a a f t dt

T





 ^aR , quelconque ; et sur



^{a a T; }



, pour tout ^{nN *} an ² a^{a T} f t^{( )cos}

 

n t dt

T ^ 





^et bn ² a^{a T} f t^{( )sin}

 

n t dt

T ^ 





^{avec aR et  2}_T^{ .}

Si de plus la série ⁰

 

1

( ) cos( ) sin( )

2 _n ^{n k}

S t a ^ a n t b n t



 



 converge vers une fonction ^{f t( )},cette série s'appelle la série de Fourier associée à la fonction f.

Nous utiliserons souvent la notation 0

 

1

( ) _ncos( ) _nsin( )

n

f t a ^ a n t b n t



 



 ^.

(1) Remarque préliminaire :

Pour tout nombre entier ^n0et ^{T2 / }



₀^Tsin



^{n t}



^_n^_^1_^cos



^{n t}



^{ }_^T_{0 n}^_¹



^cos



^{n T}



^{ 1}



_n^_¹



^{cos 2}

^

^n

^

^{ 1}



⁰



₀^Tcos



^{n t}



^_n¹_^_^sin



^{n t}



^{ }_0^T _n¹_



^sin



^{n T}



^0



^_n¹_^{sin 2}

^

^n

^

^0

Si ^n0 :



_^_^cos

 

^{nt dt}



_^_^{1dt2 . Si n0}

^{ }

0

1 1 1

cos nt dt 0 sinnt sinn sin 0 0

n n n

 

 



 

     



Si ⁿ⁰ : ^sin

 

^{nt dt 1cosnt 1cosn 1cos n 1}

 

^{1 0}

n n n

 

 

 

 

 

          



(2) pour ^{n m}



_^_^cos

 

^{mt cos}

 

^{nt dt0} et



_^_^sin

   

^{mt sin nt dt0}

(3) pour tous entiers m et n on a



_^_^sin

 

^{mt cos}

 

^{nt dt0}

(4) pour ^{n1et m n}



_^_^cos2

 

^{nt dt et }^sin2

^{ }

^{nt dt} 

 



On utilise les identités trigonométriques : sin( )cos( ) ¹



sin(( ) sin( )



mt nt 2 m n t  m n t ;

 

cos( )cos( ) 1 cos(( ) cos( )

mt nt 2 m n t  m n t ; sin( )sin( ) ¹



cos(( ) cos( )



mt nt 2 m n t  m n t pour prouver les formules intégrales

   

¹

 

¹

 

¹

 

cos cos cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

2 2 2

In ^ mt nt dt ^ m n t m n t dt ^ m n t dt ^ m n t dt

   

   









   



 





   

¹

 

¹

 

sin sin cos(( ) cos(( )

2 2

Jn ^ mt nt dt ^ m n t dt ^ m n t dt

  

  









 





   

¹

 

¹

 

sin cos sin(( ) sin(( )

2 2

kn ^ mt nt dt ^ m n t dt ^ m n t dt

  

  









 





D’après (1) on obtient : ^cos

 

^cos

 

^{si n}

0 si n mt nt dt m

m









 

  



^{; }^sin

^{   }

^{mt sin nt dt} _{0 si n}^{si n m}_m





 

  



^.

^sin

 

^cos

 

^{0 si n}

0 si n mt nt dt m

m







 

  



-Si ^{m n cos2}

 

¹



^{1 cos(2 )}



^{1 1}



^{cos(2 )}



⁰

2 2 2

en ^ nt dt ^ n t dt ^ dt ^ n t dt

    

   









 







 

^sin2

 

¹



^{1 cos(2 )}



^{1 1}



^{cos(2 )}



⁰

2 2 2

fn ^ nt dt ^ n t dt ^ dt ^ n t dt

    

   









 







 

2.Cas particulier : fonction continue sur R et de période 2

Théorème :. Soit f une fonction ² - périodique intégrable sur



^{ ;}



. On définit ₀ ¹ ( )

a 2 f t dt

 



^ et pour n1 : an ¹ f t^{( )cos}

 

nt dt





^ ; bn ¹ f t^{( )cos}

 

nt dt





^

On peut aussi définir les intégrales sur l’intervalle



^0;2



en écrivant : ₀ ¹ ₀^{2 ( )}

a 2_



^ f t dt et pour ^n1 : ^a_n^_¹



₀^{2 f t( )cos}

 

^{nt dt} ; ^b_n^_¹



₀^{2 f t( )cos}

 

^{nt dt}

Remarque : La fonction f étant périodique de période ^2, il en est de même des fonctions : ^{g t:}  ^{f t( )cos( )nt} et ^{h t:}  ^{f t( )sin( )nt}

En effet : ^{g t(   2 ) f t(  2 )cos( (n t  2 )) f t( )cos}



^{nt 2n}



car f admet ^2 pour période ^{g t(   2 ) f t( )cos}

 

^nt car la fonction cosinus a pour période ^{2 g t(   2 ) g t( )}, La démonstration est analogue pour la fonction ^t ^{f t( )sin( )nt} .

Nous déduisons : Si f est continue sur ^R , de période T, alors pour tout réel ^



^{T f t dt( ) }



₀^{T f t dt( )}

Sur



^{ ; 2}



: ₀ ^{1 2 ( )}

a 2



^{ } f t dt et pour ^n1 :^a_n¹



^{ 2 f t( ) cos}

 

^{nt dt} et ^b_n ^¹



^{2 f t( )cos}

 

^{nt dt}

Démonstration du théorème : Nous allons calculer 0

 

1

( ) _ncos( ) _nsin( )

n

f t dt a ^ a nt b nt dt

 



 

    









^



^

On admettra que l’on peut intervertir le signe



^et



^donc

 

0 0

1 1 1

( ) _ncos( ) _nsin( ) _ncos( ) _n sin( )

n n n

f t dt a a nt b nt dt a dt a nt dt b nt dt

    

    

  

       

 

       







 

    

0 0 0 0

1 1 1 1

( ) _n cos( ) _n sin( ) _{n n} 2

n n n n

f t dt a dt a nt dt b nt dt a dt a I b J a dt a

     

  ^  ^   ^{ }  

         

 







 







 

     

On en déduit : ₀ ^{1 ( )}

a 2 f t dt

 



^ . Nous allons calculer an: pour tout entier ^m0

 

0 1

( )cos _ncos( ) _nsin( ) cos

n

f t mt dt a ^ a nt b nt mt dt

  

  

     

 









^



^ .

0

1 1

0

1 1

( )cos cos cos( )cos sin( )cos

cos cos( )cos sin( )cos

n n

n n

n n

n n

f t mt dt a mtdt a nt mt dt b nt mtdt

a mtdt a nt mtdt b nt mt dt

   

   

  

  

 

   

 

 

  

 

  

  

 

   

 

  

 

0

1 1

0 0

1 1 1 1

( )cos cos cos( )cos sin( )cos

cos

n n

n n

n n n n n n n n n n n

n n n n

f t mt dt a mtdt a nt mtdt b nt mtdt

a mt dt a I b k a I a I b k a e a

   

   



 

 

     

   

    

  

         

 

   

   



D’après ce qui précède : si ^{m n} , on a : ^{I 0} ; kn ⁰ et In ⁰sauf si ^{m n} et on a an ¹ f t^{( )cos}

 

nt dt





^ .

On fait de même pour bn. 0

1 1

( )sin( ) sin _n cos( )sin _n sin( )sin

n n

f t mt dt a mtdt a nt mtdt b nt mtdt

   

   

 

     

 







   

0 0

1 1 1 1

( )sin( ) sin _{n n n n n n n n n n n}

n n n n

f t mt dt a mt dt a k b J a J a k b J b f b

 

  ^{   } 

 

   

 







  







  

 

^.

1

 

( )sin bn ^ f t nt dt

 ^





Théorème admis

Si une série de Fourier de terme général

 

1

cos( ) sin( )

n n n

n

u ^ a nt b nt







 converge vers f , alors la fonction f est périodique de période ^{T 2}_^ .c’est – à – dire de pulsation ²

T

  . 3-Cas général : fonction continue par morceaux sur R de période T . Soit f une fonction de période T .En posant

2 x T t

 , on peut écrire ^{f x( )} ^f₂^T^t, on obtient alors Une nouvelle fonction g de la variable réelle x avec : ^{g t( ) f }₂^T^t^{ f x( )}.

On remarque que ^{( 2 ) ( ( 2 ) )}

2 2

T T

g t f  t  f t T 

            , la fonction f étant de période T , on obtient : ( 2 ) ( )

g t  g t . La fonction g est donc une fonction périodique de période ^2.

En supposant que cette fonction soit développable en série de Fourier , on peut écrire :

 

⁰

     

1

( ) _ncos _nsin

n

f x g t a ^ a t b t



  



 , en utilisant ^x ₂^T_^t, on obtient : ^{t 2 x}

T

  .Posons : ²

T

 

On en déduit :

 

⁰

     

1

( ) _ncos _nsin

n

f x g x a ^ a n x b n x



   



  

Le calcul de ^a₀ nous a donné : ₀ ¹ ( )

a 2 f t dt

 



^ , donc 0

1 1

2 2 2

T t

a ^ f t dt ^ f dt

 

 ^   ^ 

   

     

   

 

On procède par un changement de variable ^{u t}

, on obtient ^{t u} donc ^{dt du}. Pour ^{t } ;

2 u  T

 

 et pour ^{t } ;

2 u  T

   

 , donc ₀ ¹ ( )

a 2 g t dt

 



^

     

2 2 2

0

2 2 2

1 1 1

2 2 2

T T T

T T T

a f t dt f u du f u du f u du

T





 

 ^   ^  ^{ }

      



 

  

^.

on a : ^a_n^¹



_^^{g t( )cos}

 

^{nt dt} donc

             

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2

cos cos cos cos

2

T T T T

n T T T T

a f T t nt dt f u n u du f u n u du f u n u du

T

    

 ^   ^  ^{ }

 





  











De la même manière on obtient :

             

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2

sin sin sin sin

2

T T T T

n T T T T

b f T t nt dt f u n u du f u n u du f u n u du

T

    

 ^   ^  ^{ }

 





  











Cas particuliers :

f est une fonction paire :

Si f est une fonction paire , alors pout tout ^nN . on a : ²

0

4 ( )cos( )

T

an f t n t dt

T





Le développement en série de Fourier d’une fonction paire , s’il existe, est 0 1

( ) _ncos( )

n

f t a ^a n t



 



En effet : soit f une fonction périodique développable en série de Fourier .

La fonction g définie par ^{g t( ) f t( )sin(n t )}est telle que ^{g t( )  f( )sin(t    n t) f t( )sin(n t  ) g t( )} Cette fonction g est donc impaire , sa représentation graphique admet l’origine comme centre de symétrie dans un repère orthogonal .Toute intégrale de g sur un intervalle du type ^{[a a; ]}est donc nulle , il en résulte que tous les coefficient bnsont nuls.

 f est une fonction impaire :

Si f est une fonction impaire , alors pout tout ^nN . on a : ²

0

4 ( )sin( )

T

bn f t n t dt

T





Le développement en série de Fourier d’une fonction paire , s’il existe, est

1

( ) _nsin( )

n

f t ^b n t







En effet : soit f une fonction périodique développable en série de Fourier .

La fonction g définie par ^{g t( ) f t( )sin(n t )}est telle que ^{g t( )  f( )cos(t    n t) f t( )cos(n t  ) g t( )} Cette fonction g est donc impaire , sa représentation graphique admet l’origine comme centre de symétrie dans un repère orthogonal .Toute intégrale de g sur un intervalle du type ^{[a a; ]}est donc nulle , il en résulte que tous les coefficient ^a_nsont nuls

4-Théorème de Dirichlet

Si f est fonction définie sur ^R , périodique de période T, continue , dérivable et à dérivée f’ continue Sur un intervalle ^{[ ;a a T ]}, sauf éventuellement en un nombre fini de points de cet intervalle où f et sa dérivée f’ admettent une limite à gauche et une limite à droite alors :

pour tout réel t, la série

 

1

cos( ) sin( )

n n

n

a n t b n t







 est convergente

pour tout réel t0 où la fonction f est continue on a : 0 0



0 0



1

( ) _ncos( ) _nsin( )

n

f t a ^ a n t b n t



 





pour tout réel ^ où la fonction f n’est pas continue on a :

0

 

1

cos( ) sin( ) 1 ( ) ( )

n n 2

n

a ^ a n b n f ^ f ^



 





    ^{.où f() et f()} représentent respectivement les limites à droite et à gauche de f en ^.

5-Analyse spectrale ( spectres)

Soit une fonction périodique f et sa série de Fourier associée 0

 

1

cos( ) sin( )

n n

n

a ^ a n t b n t









Pour ^n0, on peut écrire un an^cos(n t ⁾bn^sin(n t ⁾An^sin(n t  n⁾avec An ⁰. Or An^sin(n t  n⁾ An^sin(n t ^{) cos}nAn^cos(n t ^)sinn par identification , on obtient :

sin cos

n n n

n n n

a A

b A





  

 

 et on en déduit

2 2 2

2 2 2

sin cos

n n n

n n n

a A

b A





 



  , en additionnant membre à membre : ^{a2nb2n A2nsin2nA2ncos2nA2n}



^{sin2ncos2n}



^{A2n, donc} a²nb²n An. Définition :

La série de Fourier associée à f peut s’écrire 0

 

1

( ) _nsin _n

n

f t a ^ A n t 



 



 ^avec An  an²bn² .

a0est la valeur moyenne de f sur une période .Les termes suivants An^sin



n t n



sont les harmoniques Remarque : le premier harmonique est parfois appelé le fondamental.

Définition

On appelle spectre de fréquence d’une fonction périodique du temps, le diagramme en bâtons obtenu en représentant |An | en fonction de n.

Le spectre de fréquence est la représentation graphique par un diagramme en bâtons de la suite ^{( )}An

6-Formule de PARSEVAL Théorème admis

Soit une fonction périodique f et sa série de Fourier associée 0

 

1

cos( ) sin( )

n n

n

a ^ a n t b n t









On a : ^{2 2}0 ^{2 2}

1

1 1

( ) ( )

2

T

n n

n

f t dt a a b

T

 

 

 







^{ R} quelconque ( Formule de PARSEVAL)

Interprétation graphique de la formule de PARSEVAL

   

0 0

1 1

cos( ) sin( ) sin

n n n n

n n

a ^ a n t b n t a ^ A n t 

 





  



 ^.

Calculons la valeur efficace En des harmoniques

 

²

 

2 2 2 2

0 0

1 ^T sin ^{n T}sin

n n n n

E A n t dt A n t dt

T   T  





 



 . En appliquant la formule trigonométrique

2 1

sin (1 cos 2 )

x2  x , donc ^{2 2} 0



1 cos 2

  

² 0 0cos 2

^{ }

2 2

T T T

n n

n n n

A A

E n t dt dt n t dt

T   T    





   







 