Algèbre
Ensembles et applications
Denis Vekemans∗
Solution 8 f ◦f◦f =f.
1. Montrer quef injective induit f surjective.
Soit y∈E, on cherche x∈E tel quey =f(x).
On sait que pour tout y ∈ E,f(f(f(y))) = f(y). Comme f est injective, on déduit f(f(y)) = y. Et, en posant x=f(y)∈E, on ay=f(x).
2. Montrer quef surjective induit f injective.
Soient x1 etx2 deux éléments de E teks que f(x1) =f(x2). On cherche à montrer que x1 =x2. Comme f est surjective, il existe y1 ∈ E tel que x1 = f(y1) et il existe y2 ∈ E tel que x2 = f(y2).
De même, il existe z1 ∈ E tel que y1 = f(z1) et il existe z2 ∈ E tel que y2 = f(z2). D’où, f(x1) = f(f(y1)) = f(f(f(z1))) = f(z1) = y1 et f(x2) = f(f(y2)) = f(f(f(z2))) = f(z2) = y2. Ainsi, de f(x1) =f(x2), on déduity1 =y2 puisf(y1) =f(y2) ou encorex1 =x2.
Solution 10
1. SoitP1 =f([
i∈I
Ai)etQ1 =[
i∈I
f(Ai).
x∈P1 ⇐⇒ ∃u∈[
i∈I
Ai tel que f(u) =x
⇐⇒ ∃i∈I,∃u∈Ai tel que f(u) =x
⇐⇒ ∃i∈I, x∈f(Ai)
⇐⇒ x∈Q1.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Soit P2 =f(\
i∈I
Ai)etQ2 =\
i∈I
f(Ai).
x∈P2 ⇐⇒ ∃u∈\
i∈I
Ai tel quef(u) =x
⇐⇒ ∃u∈E tel que ∀i∈I, u∈Ai etf(u) =x
=⇒ ∀i∈I, x∈f(Ai)
⇐⇒ x∈Q2.
P2 ⊂ Q2. Cette inclusion est stricte : si on prend E = {a, b}, F = {c}, f : E −→ F;a 7→ c;b 7→ c, A1={a},A2={b}, on a alorsf(A1∩A2) =f(∅) =∅ etf(A1)∩f(A2) =F ∩F =F.
2. SoitP3 =f−1([
i∈I
Bi) etQ3=[
i∈I
f−1(Bi).
x∈P3 ⇐⇒ ∃u∈[
i∈I
Bi tel quef−1(u) =x
⇐⇒ ∃i∈I,∃u∈Bi tel que f−1(u) =x
⇐⇒ ∃i∈I, x∈f−1(Bi)
⇐⇒ x∈Q3. Soit P4 =f−1(\
i∈I
Bi) etQ4=\
i∈I
f−1(Bi).
x∈P4 ⇐⇒ ∃u∈\
i∈I
Bi tel que f−1(u) =x
⇐⇒ ∃u∈F tel que ∀i∈I, u∈Bi etf−1(u) =x
⇐⇒|{z}
Cette fois, il y a équivalence car u=f(x)
∀i∈I, x∈f−1(Bi)
⇐⇒ x∈Q4.
D’autre part,
x∈f−1(B) ⇐⇒ f(x)∈/B
⇐⇒ x /∈f−1(B)
⇐⇒ x∈f−1(B).
Contrairement à f, l’applicationf−1 est compatible avec les trois lois ensemblistes usuelles : inclusion, intersection, passage au complémentaire.
On dit que l’application f−1 est un morphisme de (P(F),∪,∩,·) dans(P(E),∪,∩,·).
On en conclut, par exemple, que
f−1(B1\B2) = f−1(B1∩B2)
= f−1(B1)∩f−1(B2)
= f−1(B1)∩f−1(B2)
= f−1(B1)\f−1(B2)
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
ou que
f−1(B3∆B4) = f−1((B3∩B4)∪(B4∩B3))
= f−1(B3∩B4)∪f−1(B4∩B3)
= (f−1(B3)∩f−1(B4))∪(f−1(B4)∩f−1(B3))
= f−1(B3)∆f−1(B4)
3.
t∈X =⇒f(t)∈f(X) =⇒t∈f−1(f(X)).
u∈f(f−1(Y)) =⇒ ∃x∈f−1(Y) tel que u=f(x)∈Y.
Cas où f n’est pas injective. Si on prendE ={a, b},F ={c},f :E−→F;a7→c;b7→c,X={a}, on a alors f−1(f(X)) =f−1(F) =E6=X. La première inclusion est stricte.
Cas où f n’est pas surjective. Si on prend E={a},F ={b, c},f :E −→F;a7→b,Y =F, on a alors f(f−1(Y)) =f(E) ={b} 6=Y. La deuxième inclusion est stricte.
–3/3– Mathématiques
