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1. Ensembles
Définitions :
Un ensemble est une collection d’objets différents. Un objets d’un ensemble appelé élément de et on dit que appartient a et on note . Si n’appartient pas a l’ensemble , on note .
Exemple :
Soit l’ensembles des diviseurs positifs de 6 alors . On dit que 3 est un élément de et on écrit : .
4 n’appartient pas a l’ensemble donc on écrit : . Comment définir un ensemble ?
Il y’a deux façons pour définir un ensemble :
a- Les ensembles n’ayant qu’un nombre fini d’éléments peuvent être définis par la liste de leurs éléments, souvent indiqués en écrivant ces éléments entre accolades et on appelle le nombre de ces éléments le cardinal de , et on le note . Exemple :
alors .
alors . alors .
b- Une autre façon pour définir un ensemble, si on connait une relation qui lient leurs éléments.
Exemple :
, Remarque :
Si contient une infinité d’éléments, on dit qu’il est de cardinal infini.
Par exemple : - L’ensemble des nombres naturels .
- L’ensemble des nombres entiers . - L’ensemble des nombres entiers .
Egalité de deux ensembles :
Deux ensembles et sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments, et on écrit :
Par exemple l’ensemble des nombres naturels et l’ensemble des nombres entiers positifs sont égaux, et on écrit .
Cas particulier :
1/ Un ensemble est vide s’il n’a pas d’éléments, on le note et on a
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2/ Si un ensemble qui contenant un seul élément, on dit que est un et
Partie d’un ensemble :
On dit que l’ensemble est un sous-ensemble ou partie de (ou inclus dans ) notée si chaque élément de est un élément de , et on écrit :
Donc l’égalité de deux ensembles peut être écrite sous la nouvelle forme :
Exemple :
Soient les deux ensembles : et On voit que car .
Définition :
L’ensembles de toutes les parties d’un ensemble est notée . Si un ensemble alors et .
Et on a aussi tels que : . Exemple :
Soit l’ensemble .
On a donc : .
Et on a : . Opérations sur les ensembles :
Soient et deux ensembles non vide.
L’intersection : L’intersection de et notée est l’ensemble des éléments communs à et , on écrit : .
La réunion : La réunion de et notée est l’ensemble des éléments qui appartiennent à ou à , et on écrit : .
Après les définitions précédente, on obtient les propositions suivantes :
Remarque :
Si , on dit que et sont deux ensembles disjoints.
Partition d’un ensemble :
On dit que la collection des ensembles est une partition d’un ensemble non vide, si la collection des ensembles vérifie les conditions suivantes : a- les ensembles ne sont pas vide, c'est-à-dire : .
b- les ensembles sont disjoints deux a deux, c'est-à-dire :
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c- la réunion des ensembles égale a l’ensemble , c'est-à-dire :
Exemple 1 :
1/ Soient les ensembles :
, , .
Déterminer les sous-ensembles suivantes : . Solution :
, . .
On voit que donc et sont deux ensembles disjoints, et donc l’ensemble forme une partition de l’ensemble .
Exemple 2 :
Soient les deux ensembles : et Alors : et .
Propositions :
Soit et des parties d’un ensemble non vide , on a les propositions (vraies) suivantes :
Le complémentaire d’un ensemble :
Définition : Soit un sous-ensemble d’un ensemble . On définit le complément de dans notée par l’ensemble des éléments de qui n’appartient pas à et on écrit : .
Si est un ensemble fini et un sous ensemble de , alors :
Exemples :
1/ Soit et . Donc .
On voit que
. 2/ Le complémentaire de l’ensemble des nombres rationnels dans est l’ensemble des nombres irrationnels.
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Propositions :
Soient et deux sous-ensembles d’un ensemble non vide , on a les propositions (vraies) suivantes :
Produit cartésien :
Soient et deux ensembles non vide. On définit le produit cartésien par l’ensembles des couples tels que : .
Remarque :
Si alors . Exemple 1 :
Soient les ensembles et . Alors : , et . Exemple 2 :
Soient les deux ensembles Donc
1
-2 -1 1 2
Différence de deux ensembles :
Soient et deux parties d’un ensemble .
On définit la différence de et notée par l’ensemble des éléments de qui n’appartiennent pas à , c'est-à-dire :
différence symétrique de deux ensembles :
Soient et deux parties d’un ensemble .
On définit la différence symétrique de et notée par l’ensemble des
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éléments qui appartiennent à un seul des ensembles et , c'est-à-dire la réunion de et . Et on écrit :
Exemple :
Soient et . Alors on trouve : et .
. Propositions :
Soient et des sous-ensembles d’un ensemble non vide , on a les propositions (vraies) suivantes :
2. Applications
Définition :
Soient et deux ensembles non vide. Une application de domaine et de codomaine est une relation associe chaque élément un unique élément que l’on note , c'est-à-dire :
ce qui est équivalent a :
et on écrit :
tels que : s’appelle l’ensemble de départ.
s’appelle l’ensemble d’arrivée.
s’appelle l’antécédent de . s’appelle image de .
Remarque :
Si , on dit que est une transformation.
Cas particulier :
soit un ensemble non vide. L’application de dans qui a tout élémént associe s’appelle l’application identité de notée et on écrit :
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Egalité de deux applications :
On dit que deux applications et sont égaux si et seulement si :
Exemple :
Soit les deux applications : et
Les applications et ne sont pas égaux parce que . Le graphe d’une application :
Soit l’application , on appelle graphe de notée le sous-ensemble du produit cartésien défini par :
. Compositions d’applications :
Soient et deux applications. Si , on peut définir l’application composée par : .
Exemple :
Soit les deux applications : et
. Donc :
Propriétés :
1/ La composition de deux applications n’est pas commutatives en général, c'est-à-dire : .
2/ La composition des applications est associative, c'est-à-dire :
Prolongement et restrictions : Définition :
Soit une application. On appelle restriction de dans une partie , l’application définie par : . L’application est notée .
Définition :
Soit une application. On appelle prolongement de a un ensemble tels que , l’application définie par : .
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Exemple :
Soit l’application
La restriction de a est l’application On voit que est est un prolongement de . Propositions :
Soit l’application et A, B deux parties de E, on a les propositions (vraies) suivantes :
Applications injectives, surjectives, bijectives : Applications injectives :
Soit une application. On dit que est injective si deux éléments de distincts ont pour image par deux éléments distincts de . C'est-à-dire :
ou bien :
Exemple :
Soit l’application définie par . est elle injective ? Pour que soit injective, il faut que :
On a : Donc est injective.
Applications surjectives :
Soit une application. On dit que est surjective si pour chaque élément a au moins un antécédent . C'est-à-dire :
Exemple :
Soit l’application définie par . est elle surjective ? Pour que soit surjective, il faut que :
On voit que est surjective car l’équation admet une solution a , tels que
.
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Applications bijectives :
Une application est dite bijective si est injective et surjective a la fois, autrement dit est bijective si pour chaque élément de a un unique antécédent de , c'est-à-dire : .
Exemple :
Soit l’application définie par . est elle bijective ? Pour que soit bijective, il faut que soit injective et surjective a la fois.
On voit que n’est pas injective parce que . Donc n’est pas bijective.
Applications réciproque :
Soit une application. Si est bijective, on peut définir une application telle que pour tout dans ; est l’unique antécédent de par . est appelé l’application réciproque de , on la note .
Exemple :
Soit l’application définie par . est-elle bijective ?
Si est bijective, déterminer l’application réciproque.
Solution :
Pour que soit bijective, il faut que soit injective et surjective a la fois.
a/ est elle injective ?
Pour que soit injective, il faut que :
On a : Donc est injective.
b/ est elle surjective ?
Pour que soit surjective, il faut que :
On voit que est surjective car l’équation admet une solution a , tels que
.
Donc est bijective et on peut déterminer l’application réciproque définie de dans .
On a c'est-à-dire donc alors on trouve :
