Algèbre Applications linéaires

Applications linéaires

Exercice 1 Soit f une application de E dans F. Parmi les applications ci-dessous, trouver celles qui sont linéaires. Puis, pour ces dernières, déterminer le noyau et l’image et préciser si elles sont injectives, surjectives ou bijectives.

(1) Soit (a, b)∈R² donné. E=F =R,f(x) =ax+b.

(2) E=F =R,f(x) = cosx.

(3) E=R²,F =R³,f(x, y) = (0,2x+y, x+ 3y).

(4) E=R²,F =R³,f(x, y) = (x−y, x+y, xy).

(5) E=F =R³,f(x, y, z) = (x, x+y, x−z).

(6) E=F =C(R),f(α) =α+ 1.

(7) Soit τ ∈R⁺ donné.E =F =C(R),f(α) =ατ, où ατ(x) =α(τ+x).

Exercice 2 (1) Soitf une application de R² dansR³ définie par f(x, y) = (x,2x+y, y).

(a) Montrer que f est linéaire.

(b) Déterminer ker(f) et Im(f).

(2) Soit g une application deR³ dansR² définie par

g(x, y, z) = (x+y,5x−2y+z).

(a) Montrer que g est linéaire.

(b) Déterminer ker(g) et Im(g).

(3) Montrer que g◦f est un automorphisme de R².

Exercice 3 Soientf etg les applications de R³ dansR³ définies par f(x, y, z) = (x+y+z, x+ 2y−z,2x−y+z),

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

1

www.al3abkari-pro.com

L1 Maths - Info Algèbre 2008 et

g(x, y, z) = (x+ 2y+ 3z,4x+ 5y+ 6z,7x+ 8y+ 9z).

(1) Montrer que f est linéaire. Montrer que g est linéaire.

(2) Déterminer le noyau et l’image de f. f est-elle injective ? Est-elle surjective ? Déterminer le noyau et l’image de g.g est-elle injective ? Est-elle surjective ?

(3) Montrer que ker(f)⊕Im(f) =R³. Montrer que ker(g)⊕Im(g) =R³.

Exercice 4 Soit R²[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. Soit f : R²[X] → R³ définie par f(P) = (P(−1), P(0), P(1)). Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Exercice 5 Soit R³[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. Soit f : R³[X] → R² définie par f(P) = (P(−1), P(2)). Montrer que f est un morphisme d’espaces vectoriels. Déterminer ker(f) et Im(f).

Exercice 6 SoitR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels,f etg les applications de R[X]

dans R[X]définies par

(∀P ∈R[X]) (f(P) =P^′, g(P) =X·P).

(1) Vérifier que f etg sont linéaires.

(2) Montrer que f est surjective et non injective.

(3) Montrer que g est injective et non surjective.

Exercice 7 Soit R²[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.f l’application de R²[X]dansR[X]définie par

(∀P ∈R²[X]) (f(P) = (X+ 1)P^′+P.

1. Démontrer quef est un endomorphisme de l’espace vectoriel R²[X].

2. Démontrer quef est inversible et calculerf⁻¹.

Exercice 8 Soitf l’application de R³ dansR³ définie par

f(x, y, z) = (x,−3y+ 4z,−2y+ 3z).

(1) Montrer que f est linéaire.

(2) Soit(e1, e2, e3) la base canonique deR³. Montrer que la famille(f(e1), f(e2), f(e3))est une base deR³. En déduire que f est bijective.

(3) Calculer f◦f. En déduire l’expression def⁻¹.

–2/4– Mathématiques

www.al3abkari-pro.com

Exercice 9 Soit a = (a1, a2, a3) un vecteur non nul de R³. Soit L l’application de R³ dans R définie par

L(x1, x2, x3) =x1a1+x2a2+x3a3. (1) Montrer que L est un épimorphisme.

(2) Déterminer ker(L).

Exercice 10 SoitV ={a∈R^N ; ∀n≥0, aⁿ+2= 2aⁿ+1+ 3aⁿ}.

(1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R^N.

(2) Montrer que dim^RV = 2 puis que les suites (3^k)^k∈N et((−1)^k)^k∈N forment une base deV. Exercice 11 SoitE un espace vectoriel et soitp un endomorphisme deE vérifiant p◦p=p.

Montrer que E = ker(p)⊕Im(p).

Exercice 12 Septembre 2004.

On considère les fonctions réellesh1 eth2 définies par :

∀x∈R, h1(x) =e^x, h2(x) =e^−x. On définit l’ensemble

E ={f ∈R^R tel que∃(a, b)∈R², f =ah1+bh2}.

(1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R^R. (2) Déterminer une base de E et en déduire que dimRE= 2.

(3) Soit φ : E →R² l’application définie par φ(f) = (f(0), f(1)). Montrer que φest un isomorphisme.

(4) Soit ψ l’application qui, à une applicationf deE associe sa dérivéef^′. (a) Vérifier que ψest un endomorphisme de E.

(b)Calculer ψ◦ψ. En déduire queψ est bijective.

Exercice 13 SoitE unR-espace vectoriel et soitf un endomorphisme de E vérifiantf²−Id= 0.

Montrer queE = ker(f+Id)⊕ker(f−Id).

Exercice 14 SoitE unR-espace vectoriel et soitf un endomorphisme de E vérifiantf²−3f−4Id= 0.

Montrer queE = ker(f+Id)⊕ker(f−4Id).

Exercice 15 Soit E un R-espace vectoriel et soit b ∈ R donné. Soit p un projecteur de E donné (i.e.

p²=p).

Résoudre enx l’équation x+p(x) =b.

Exercice 16 Soit E un R-espace vectoriel et soit b ∈ R donné. Soit s une symétrie de E donnée (i.e.

s² =Id).

–3/4– Mathématiques

www.al3abkari-pro.com

L1 Maths - Info Algèbre 2008

Résoudre enx l’équation x+ 2s(x) =b.

Exercice 17 Soit E un R-espace vectoriel, soit a ∈ R\{−1} donné et soit u ∈ E donné. Soit f une application linéaire de E dansE telle que f³ =Id.

Résoudre enx l’équation x+af(x) =u.

Références

[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.

[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.

[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.

–4/4–

Mathématiques

www.al3abkari-pro.com

Applications linéaires

Solution 10 SoitΦ : V −→R²;a= (an)7−→(a₀, a₁).

1. ∀λ∈R, ∀µ∈R, ∀a= (an)∈V, ∀b= (bn)∈V,

Φ(λa+µb) = ((λa+µb)₀,(λa+µb)₁) = (λa₀, λa₁) + (µb₀, µb₁) =λ(a₀, a₁) +µ(b₀, b₁) =λΦ(a) +µΦ(b), donc Φ est une applicationlinéaire.

Soit (α, β) ∈R², si on pose a₀ =α eta₁ =β, puis qu’on définitai pour i≥2 parai = 2ai−1+ 3ai−2

(récurrence), on obtient une suite a= (a_n) de V telle que Φ(V) = (α, β). Donc Φest surjective. On a Im(Φ) =R².

Soit a= (an)∈V un élément deker(Φ), on a alorsΦ(a) = (0,0), puisa₀= 0,a₁ = 0, et comme pour i ≥2 para_i = 2a_i−1+ 3a_i−2 (récurrence), on déduit pour i≥ 2 par a_i = 0 (récurrence) puis a = 0.

Donc, ker(Φ) ={0}etΦ estinjective.

Ainsi, Φ est un isomorphisme d’espace vectoriels et V = Φ⁻¹(R²) est par conséquent un espace vectoriel de même dimension queR² (dimV = dimR² = 2).

Remarque. De plus, si on considère {(1,0),(0,1)} la base canonique de R², on peut déduire que {Φ⁻¹(1,0),Φ⁻¹(0,1)}est une base deV. [Cette propriété souvent bien utile est ici inutile carΦ⁻¹(1,0) etΦ⁻¹(0,1)ne sont pas évidents à extraire].

2. u= ((−1)ⁿ)∈V (en effet,2∗(−1)ⁿ⁺¹+ 3(−1)ⁿ= (−1)ⁿ⁺²(−2 + 3) = (−1)ⁿ⁺²) etv= ((3)ⁿ)∈V (en effet, 2(3)ⁿ⁺¹+ 3(3)ⁿ= (3)ⁿ⁺²(²₃+³₉) = (3)ⁿ⁺²).

u etvsont libres : en effet, s’il existeµ∈Retν ∈Rtels queµu+νv = 0, alorsµ+ν= 0 (pourn= 0) et−µ+ 3ν = 0 (pourn= 1), ce qui induit aisément que µ=ν = 0.

Comme dimV = 2, deux vecteurs libres deV forment forcément une base de V, donc {u, v} est une base deV.

Remarque. De plus, si on considère{(1,−1),(1,3)}comme base deR² [il serait aisé de montrer qu’il s’agit effectivement d’une base de R²], on peut déduire que{Φ⁻¹(1,−1),Φ⁻¹(1,3)}est une base deV. Φ⁻¹(1,−1) =u etΦ⁻¹(1,3) =v [ces résultats sont faciles à montrer également (récurrence)].

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

1

www.al3abkari-pro.com

L1 Maths - Info Algèbre 2008

Solution 13

1. E est somme deker(f +Id) etker(f −Id).

x∈ker(f+Id) ⇐⇒ (f +Id)(x) = 0 ⇐⇒ f(x) =−x.

x∈ker(f −Id) ⇐⇒ (f−Id)(x) = 0 ⇐⇒ f(x) =x.

Si on peut écrire x ∈ E sous la forme x = y+z avec y ∈ ker(f +Id) et z ∈ ker(f −Id), alors f(x) =f(y) +f(z) =−y+z puisy = ^x−f(x)₂ etz= ^x+f₂^(x).

Or, on a bien

y= x−f(x)

2 =⇒ f(y) = f(x)−

=x

z }| { f(f(x))

2 =−y

et

z= x+f(x)

2 =⇒ f(z) = f(x) +

=x

z }| { f(f(x))

2 =z

donc y∈ker(f +Id) etz∈ker(f −Id).

2. La somme est directe. D’autre part, six∈ker(f+Id) et six∈ker(f−Id), alors d’une partf(x) =x et d’autre part f(x) =−x, puis x= 0.

Solution 14

1. E est somme deker(f +Id) etker(f −4Id).

x∈ker(f+Id) ⇐⇒ (f +Id)(x) = 0 ⇐⇒ f(x) =−x.

x∈ker(f−4Id) ⇐⇒ (f−4Id)(x) = 0 ⇐⇒ f(x) = 4x.

Si on peut écrire x ∈ E sous la forme x = y+z avec y ∈ ker(f +Id) et z ∈ ker(f −4Id), alors f(x) =f(y) +f(z) =−y+ 4z puis y= ^4x−₅^f(x) etz= ^x+f(x)₅ .

Or, on a bien

y= 4x−f(x)

5 =⇒ f(y) =

=4f(x)

z }| { f(4x)−

=3f(x)+4x

z }| { f(f(x))

5 = f(x)−4x

5 =−y

et

z= x+f(x)

5 =⇒ f(z) = f(x) +

=3f(x)+4x

z }| { f(f(x))

5 = 4f(x) +x 5 = 4z donc y∈ker(f +Id) etz∈ker(f −4Id).

2. La somme est directe. D’autre part, six∈ker(f+Id)et six∈ker(f−4Id), alors d’une partf(x) =x et d’autre part f(x) =−4x, puisx= 0.

–2/3–

Mathématiques

www.al3abkari-pro.com

Solution 15











x+p(x) =b p(x) +p(p(x))

| {z }

=p(x)

=p(b) =⇒

( x=b−^p(b)₂

p(x) = ^p(b)₂ =⇒ x=b−p(b) 2 .

Solution 16







x+ 2s(x) =b s(x) + 2s(s(x))

| {z }

=x

=s(b) =⇒

( x= ^b₃ −2^s(b)₃

s(x) = ^s(b)₃ −2₃^b =⇒ x= b

3 −2s(b) 3 .

–3/3–

Mathématiques

www.al3abkari-pro.com