Ensembles & Applications
Ces notes ne constituent pas un cours - elles ne sont ni exhaustives, ni rigoureuses, et ne contiennent que trop peu d’exemples et à peu près aucune preuve. Il ne s’agit que d’une fiche de brefs rappels.
Prérequis : notions de base de logique (assertion, connecteurs logiques NON/ET/OU, implication et équivalence) ; quantificateurs.
Un peu de théorie des ensembles
Premières définitions
• Unensemble est une collectionE (finie ou infinie) d’objets, que l’on appelle leséléments deE.
Quelques exemples :
– l’ensemble Zdes entiers relatifs,
– l’ensemble {e} composé du seul élément e,
– l’ensemble {2; 3; 4; 5} des entiers compris entre 2 et 5,
– l’ensemble M3,5(R) des matrices à 3 lignes et 5 colonnes, et à coefficients réels, – l’ensemble C0(R,R) des fonctions continues de RdansR,
– l’ensemble {z∈C;|z|= 1} des complexes de module 1, – l’ensemble vide∅, qui ne contient aucun élément.
• On notee∈E, le fait que eest un élément de E; on dit aussi queeappartient à E.
•On dira que F est unepartie, ou unsous-ensemble deE si tout élément deF appartient aussi àE.
On noteF ⊂E, le fait que F est une partie de E; on dit aussi queF est inclus dansE.
• On noteP(E) l’ensemble des parties deE : c’est lui-même un (nouvel) ensemble.
Deux ensemblesE etF sont égaux si et seulement s’ils sont inclus l’un dans l’autre : E=F ⇔ E ⊂F etF ⊂E
(c’est en pratique une stratégie commune pour montrer que deux ensembles sont égaux).
Attention. Une erreur commune est de mélanger les symboles ∈ (appartenance) et ⊂ (inclusion) - notamment lorsque l’on commence à manipuler des ensembles d’ensembles commeP(E).
Par exemple, sieest un élément de l’ensembleE, on a :e∈E, mais{e} ⊂E, et{e} ∈ P(E).
Opérations sur les ensembles
SoitA, B deux parties d’un ensembleE. On définit les (nouvelles) parties deE suivantes :
•Le complémentaire deA dansE, notéAcou A, est l’ensemble formé de tous les éléments deE qui n’appartiennent pas àA :
Ac:={e∈E;e /∈A}.
(En particulier, on aEc=∅et∅c=E.)
• L’union, ou réunion, de A etB, notée A∪B, est l’ensemble formé de tous les objets qui appar- tiennent àA ou à B (ou aux deux, le ou étant toujours inclusif...) :
A∪B :={x∈E;x∈A OUx∈B}.
• L’intersection de A etB, notéeA∩B, est l’ensemble formé de tous les objets qui appartiennent à la fois àAet à B :
A∪B :={x∈E;x∈A ETx∈B}.
Ces 3ensembles sont représentés dans la figure ci-dessous, que l’on appellediagrammes de Venn :
• Ladifférence de A et de B, notéeA\B, est l’ensemble formé de tous les objets qui appartiennent àA, mais pas à B :
A\B :={x∈E;x∈A ETx /∈B}=A∩Bc.
• Le produit Cartésien de deux ensembles E et F, notée E ×F, est l’ensemble formé de tous les couples (ordonnés !)(e, f) tels quee∈E etf ∈F.
Notez que les opérations ensemblistes complémentaire/union/intersection sont définies par les connec- teurs logiques NON/OU/ET (voir fiche Logique et Raisonnement) : les lois de ces connecteurs logiques nous donnent les règles suivantes sur les opérations ensemblistes.
SoitA, B, C trois parties d’un ensemble E. On a :
◦ Idempotence. A∪A=A et A∩A=A
◦ Commutativité. A∪B=B∪A et A∩B =B∩A
◦ Associativité. (A∪B)∪C =A∪(B∪C) et (A∩B)∩C =A∩(B∩C)
◦ Distributivité. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
◦ Involutivité. (Ac)c=A
◦ Lois de De Morgan. (A∪B)c=Ac∩Bc et (A∩B)c=Ac∪Bc Cardinal d’un ensemble fini
• Lecardinal d’un ensemble fini E, notéCard(E), est le nombre d’éléments deE.
Quelques exemples :
Card({e}) = 1; Card({2; 3; 4; 5}) = 4; Card(∅) = 0.
SiE etF sont deux ensembles finis, alors on a
◦ Union. Card(E∪F) =Card(E) +Card(F)−Card(E∩F),
◦ Produit Cartésien. Card(E×F) =Card(E)×Card(F).
◦ Nombre de parties d’un ensemble. Card(P(E) = 2Card(E).
Une conséquence du premier point est que, pour toutA⊂E (E fini), Card(A) +Card(Ac) =Card(E).
Applications
•Une application f entre deux ensemblesE etF, associe àtout élémentx deE, un unique élément deF, que l’on notef(e) et appelleimage de x par f. L’application f est définie par son graphe
Γf :={(x, f(x));x∈E} ⊂E×F.
• Unantécédent d’un élémenty de F est un x∈E tel que f(x) =y.
Remarque. La différence entre une fonction et une application est qu’une application est définie sur tout son ensemble de départ – une fonction sur E peut a priori avoir un domaine de définition qui n’est pasE tout entier.
Images directes et indirectes
•Soit Aune partie deE. L’image directe deA est la partie deF, notéef(A), constituée des images de tous les éléments deA :
f(A) :={f(x);x∈A}.
• Soit B une partie de F. L’image réciproque de B est la partie deE, notéef−1(B), constituée de tous les éléments deE dont l’image est dansB :
f−1(B) :={x∈E;f(x)∈B}.
Par exemple, soit f l’application de {1; 2; 3} dans {4; 5; 6} définie par f(1) =f(2) = 4 etf(3) = 6.
Si on prendA={1; 2}, alors f(A) ={4}, et si on prendB ={4; 5}, alors f−1(B) ={1; 2}.
Attention. La notationf−1(B)est trompeuse, car elle suggère quef possède une réciproquef−1 : ce n’est le cas que sif est bijective (voir plus bas). Mais l’image réciproque d’une partie de F esttoujours définie, quef soit bijective ou non.
Dans le même ordre d’idée, on n’a pas, en général, d’égalité du typef f−1(B)
=B – dans l’exemple ci-dessus, avecB ={4; 5}, on a en effet f f−1(B)
={4}.
Surjectivité, injectivité, bijectivité
• L’applicationf estsurjective si tout élément de F admet au moins un antécédent dans E :
∀y∈F,∃x∈E;f(x) =y.
Autrement dit,f est surjective si l’image directe de E estF tout entier :f(E) =F.
•L’application f estinjective si des élément différents deE ont toujours des images différentes dans F. Par contraposée, f est injective si
∀x, x0 ∈E,f(x) =f(x0)⇒x=x0.
Autrement dit,f est injective si tout élément deF admetau plus un antécédent dans E.
• Une application qui est injectiveet surjective est dite bijective.
Autrement dit,f est bijective si tout élément deF admetun et un seul antécédent dans E.
Wikipedia résume très bien tout cela dans la figure suivante :
Application réciproque
Revenons sur la caractérisation d’une bijection :f est bijective si
∀y∈F,∃!x∈E;f(x) =y.
Donc, si (et seulement si)f est bijective, on peut construire une nouvelle application, deF versE, qui à chaque élementy∈F associe son unique antécédent parf : cette application est l’application réciproque def, notéef−1.
Sif est bijective, on a :
◦ L’application réciproque f−1 est bijective, et f−1−1
=f,
◦ ∀x∈E,f−1(f(x)) =xet∀y ∈F,f f−1(y)
=y.
Cas d’ensembles finis
SiE est un ensemble fini, et sif est surjective, alors
◦ F est fini, et Card(E)≥Card(F),
◦ f est bijective si et seulement si Card(E) =Card(F).
SiF est un ensemble fini, et sif est injective, alors
◦ E est fini, et Card(E)≤Card(F),
◦ f est bijective si et seulement si Card(E) =Card(F).
En particulier, siE etF sont deux ensembles finis tels que Card(E) =Card(F), alors f surjective⇔f injective⇔f bijective.
Autres relations
Une relation binaire R sur l’ensemble E est la donnée d’un sous-ensemble ΓR de E ×E, qui est l’ensemble des couples(x, y)d’éléments de E qui sont en relation :xRy⇔(x, y)∈ΓR.
Une application de E dansE est un exemple de relation sur E, dite fonctionelle. On peut aussi définir sur E des relations permettant de comparer (relation d’ordre) ou identifier (relation d’équivalence) ses éléments entre eux.
Relations d’équivalence
Une relation d’équivalence surE est une relation binaire∼ qui est :
• Réflexive ∀x∈E,x∼x,
• Symétrique ∀x, y∈E,(x∼y)⇒(y∼x),
• Transitive ∀x, y, z∈E,(x∼y ety∼z)⇒(x∼z).
Quelques exemples :
– la relation=sur n’importe quel ensemble,
– la relation de parallelisme sur les droites du plans, – la congruence≡n modulon surZ(nous y reviendrons).
SiEest muni d’une relation d’équivalence∼, laclasse d’équivalenced’un élémentx∈Eest l’ensemble [x]des éléments de E qui sont équivalents à x :
[x] :={y∈E;y ∼x} ⊂E.
L’ensemble quotient de E pour la relation ∼, est l’ensemble E/ ∼ composé de toutes les classes d’équivalence (c’est donc un sous-ensemble deP(E)) :
E/∼:={[x]∈ P(E);x∈E}.
L’application deE dansE/∼qui à tout élémentx∈E associe sa classe d’équivalence[x], est surjective.
L’ensemble de toutes classes d’équivalence pour la relation∼forme une partition de E.
En général, une partition de E est une famille de parties Ai de E telle que ∪iAi = E (les parties re- couvrentE totalement) etAi∩Aj =∅ sii6=j (les parties sont disjointes deux à deux).
Inversement, toute partition de E définit une relation d’équivalence sur E : deux éléments de E sont équivalents si et seulement s’ils sont dans la même partie de cette partition.
Relations d’ordre
Une relation d’órdre sur E est une relation binaire≺qui est :
• Réflexive ∀x∈E,x≺x,
• Antisymétrique ∀x, y∈E,(x≺y ety≺x)⇒(x=y),
• Transitive ∀x, y, z∈E,(x≺y ety≺z)⇒(x≺z).
Une relation d’ordre ≺ est une relation d’ordre total si deux éléments sont toujours comparables :
∀x, y∈E,x≺y ou y≺x.
Quelques exemples :
– la relation≤est une relation d’ordre total sur R(mais<n’est pas reflexive, donc pas une relation d’ordre sur R),
– l’inclusion⊂est une relation d’ordre (non total) sur les parties P(E) deE,
– la divisibilité |est une relation d’ordre (non total) surN(nous y reviendrons aussi).
SiE est muni d’une relation d’ordre ≺, et siA est une partie deE, on définit :
• Unmajorant de Aest un élementM ∈E tel que a≺M pour touta∈A.
Un minorant de A est un élementm∈E tel quem≺apour touta∈A.
La partieAestbornée si elle est majorée (ie admet un majorant)et minorée (ie admet un minorant).
• Leplus grand élément de A est un élement deA qui est majorant deA.
Le plus petit élément de A est un élement de Aqui est minorant de A.
Attention. Une partie deE peut ne pas avoir de plus grand/petit élément (par exemple l’intervalle ]0; 1[⊂Rpour la relation≤), mais s’il en existe un, il est nécessairement unique.
• Laborne supérieure de A, notéesup(A), est le plus petit des majorants deA (c’est-à-dire, le plus petit élément de l’ensemble des majorants de A, s’il existe).
La borne inférieure de A, notéeinf(A), est le plus grand des minorants deA.
On vérifie facilement les propri´tés suivantes :
◦ SiA a un plus grand (resp. petit) élément M, alors M est la borne supérieure (resp. inférieure) de A,
◦ SiAa une borne supérieure (resp. inférieure) a, alors aest un majorant (resp. minorant) de A,
◦ Si A a une borne supérieure (resp. inférieure) qui appartient à A, alors c’est aussi le plus grand (resp. petit) élément de A.
