la fonction définie par :

Soit a un réel et f

_a

la fonction définie par :

( ) ^cos

⁴₂

^sin

⁴₂

cos sin

a

a a

f x

x x

= +

1. Donner, suivant les valeurs du réel a, le domaine de définition de la fonction f

_a

.

2. Discuter, suivant les valeurs des réels a et m, le nombre de solutions de l’équation : f

a

( ) x = m .

Analyse

Des fonctions trigonométriques, des puissances paires … voilà de bons ingrédients pour combiner étude de fonction et théorème des valeurs intermédiaires. La premières question permet d’identifier deux cas particuliers dont l’étude, dans la deuxième question, facilite l’étude du cas général.

Résolution

Question 1.

On va distinguer deux premières situations particulières correspondant aux annulations respectives des numérateurs des deux fractions apparaissant dans l’expression de fa

( )

x .

On a : cos⁴ 0 cos 0 ,

a= ⇔ a= ⇔ = +a

π

2 k

π

k∈ . Considérons alors le 1^er cas :

1^er cas : ,

a= +

π

2 k

π

k∈ .

Il vient alors :

sin

a

= ± 1

et donc : sin⁴a=1 puis

( )

¹₂

a sin f x

= x .

Dans ces conditions, fa

( )

x existe si, et seulement si : sin²x≠0, soit

sin

x

≠ 0

, soit encore ,

x≠k

π

k∈ .

Alors :

{ } ( )

\ , ; 1

fa

k

x k

π

k k

π

k

π

= ≠ ∈ =

∪∈

⎤ ⎦ + ⎡ ⎣

D

On a ensuite : sin⁴a= ⇔0 sina= ⇔ =0 a k

π

,k∈ . Considérons alors le 2^ème cas : 2^ème cas : a=k

π

,k∈ .

Il vient alors :

cos

a

= ± 1

et donc : cos⁴a=1 puis

( )

¹₂

a cos f x

= x.

Dans ces conditions, fa

( )

x existe si, et seulement si : cos²x≠0, soit

cos

x

≠ 0

, soit encore 2 ,

x≠ +

π

k

π

k∈ . Alors :

( )

\ , ; 1

2 2 2

fa

k

x

π

k

π

k

π

k

π π

k

π

∈

⎧ ⎫ ⎤ ⎡

= ⎨⎩ ≠ + ∈ ⎬⎭= ∪ ⎥⎦ + + + ⎢⎣

D

Dans tous les autres cas, c'est-à-dire quand , a_≠k

π

2 k_∈

, les deux fractions sont non nulles.

3^ème cas : , a_≠k

π

2 k_∈

.

On a alors : cos 0 et sin 0 ,

2

fa

x_∈

D

_⇔ x_≠ x_{≠ ⇔ ≠}x k

π

k_∈ ^.

( )

\ , ; 1

2 2 2

fa

k

x k

π

k k

π

k

π

∈

⎧ ⎫ ⎤ ⎡

= ⎨⎩ ≠ ∈ ⎬⎭= ∪ ⎥⎦ + ⎢⎣

D

Question 2.

1^er cas : ,

a= +

π

2 k

π

k∈ .

On a vu que l’on avait :

( )

2

1

a sin f x

= x et f_a ^\

{

^,

}

^;

(

¹

)

k

x k

π

k k

π

k

π

= ≠ ∈ = ∪∈ ⎤⎦ + ⎡⎣

D

^.

Pour tout x de

fa

D

^,

⁻

^x est également dans

fa

D

et il vient :

( )

₂

¹ ( ) ¹

₂

( )

sin sin

a a

f x f x

x x

− = = =

−

La fonction f_a est donc paire.

Par ailleurs, pour tout x réel, on a :

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1 2

sin 1 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin

2 2 2

x+

π

= ⎡⎣ − x+

π

⎤⎦= ⎡⎣ − x+

π

⎤⎦= ⎡⎣ − x ⎤⎦= x Ainsi, la fonction x sin²x est

π

-périodique et il en va de même pour la fonction f_a sur son domaine de définition.

En définitive, on peut étudier la fonction f_a sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦^.

On a :

( )

0 0

lim sin sin 0 0

x x

x ^{+ +}

→>

= = et ₀ ²

( )

²

0

lim 0 0

x x

x ^{+ +}

→>

= = . D’où (composition) : ²

0 0

lim sin 0

x x

x ⁺

→>

= .

Par ailleurs :

0 0

lim1

x

x^→_> x = +∞. D’où (composition) : ₂

0 0

lim 1 sin

x

x^→_> x = +∞. Finalement :

( )

₂

0 0

0 0

lim lim 1

a sin

x x

x x

f x

→ → x

> >

= = +∞

On a aussi :

2

1 1

2 sin 1 1

2

fa

π

⎛ ⎞ = π = =

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

^.

La fonction sinus est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

. La fonction carrée est strictement croissante sur l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

et définit une bijection de cet intervalle dans lui-même. La fonction inverse est strictement

décroissante sur l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

On en déduit finalement que la fonction f_a est strictement décroissante sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ ^et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

On a aussi :

( )

^{2 cos}₃

' sin

a

f x x

x

= −

D’où, sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ ^{: '}

( )

^{0 2 cos 0}

a 2

f x _{= ⇔ −} x_{= ⇔ =}x

π

.

A titre de complément, nous fournissons page suivante la courbe représentative de la fonction f_a sur l’intervalle 0 ;

2

⎤

π

⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ (en bleu), puis sur l’ensemble ; 0 0 ;

2 2

π π

⎡− ⎡ ⎤ ⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎥

⎣ ⎣ ⎦∪ ⎦ grâce à une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées (en pointillés) et enfin sur

fa

D

(en tirets).

Pour compléter notre étude, nous allons montrer que la courbe représentative de la fonction f_a est symétrique par rapport à la droite d’équation

x₌

π

2 . Soit donc un réel x dans

fa

D

^{et soit y= −}

^π

^{x. On a :}

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

car est périodique car est paire

a a

a a

a a

f y f x

f x f

f x f

π

π

= −

= − −

=

En particulier, pour tout réel x de l’intervalle

] ^{0 ; π} [

^{, on a y= −}

^π

^x qui appartient à ce même intervalle et fa

( )

y

=

fa

( )

x .

En tenant compte de la périodicité de la fonction f_a, on en déduit que sur tout intervalle de la forme

( )

; 1

k

π

k+

π

⎤ ⎡

⎦ ⎣ ^:

• La fonction f_a est strictement décroissante sur l’intervalle ; k

π π

k

π

2

⎤ + ⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ et prend ses

valeurs dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

• La fonction f_a est strictement croissante sur l’intervalle ^;

(

¹

)

k

π π

2 k

π

⎡ + + ⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ et prend ses

valeurs dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

• La courbe représentative de la fonction admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=k

π

+

π

2.

On a finalement :

• Si m

< 1

, l’équation fa

( )

x

=

m n’admet pas de solution.

• Si m

= 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions, ce sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée f_a' s’annule. Il s’agit de l’ensemble : ,

2 k k

π π

⎧ + ∈ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭^.

• Si m

> 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions. Elle admet exactement deux solutions

α

_k et

β

_k sur chaque intervalle ^⎤_⎦^k

^π

^;

(

^k+1

) ^π

^⎡_⎣ et ces valeurs vérifient :

k k

π

2 k

α

+

β

= +

π

.

2^ème cas : a=k

π

,k∈ .

Ce deuxième cas est similaire au premier et nous ne redonnons pas tous les détails de l’étude.

On a vu que l’on avait :

( )

¹₂

a cos f x

= x et

( )

\ , ; 1

2 2 2

fa

k

x

π

k

π

k

π

k

π π

k

π

∈

⎧ ⎫ ⎤ ⎡

= ⎨⎩ ≠ + ∈ ⎬⎭= ∪ ⎥⎦ + + + ⎢⎣

D

^.

Pour tout x de

fa

D

^,

⁻

^x est également dans

fa

D

et il vient :

( )

₂

¹ ( ) ¹

₂

( )

cos cos

a a

f x f x

x x

− = = =

−

La fonction f_a est donc paire.

Par ailleurs, pour tout x réel, on a :

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1 2

cos 1 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2 cos

2 2 2

x+

π

= ⎡⎣ + x+

π

⎤⎦= ⎡⎣ + x+

π

⎤⎦= ⎡⎣ + x ⎤⎦= x Ainsi, la fonction x cos²x est

π

-périodique et il en va de même pour la fonction f_a sur son domaine de définition.

En définitive, on peut étudier la fonction f_a sur l’intervalle 0 ; 2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣^.

On a :

2, 2

lim cos cos 0

2

x x

π π x

π

⁺ +

→ <

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =

^et ₀ ²

( )

²

0

lim 0 0

x x

x ^{+ +}

→>

= = . D’où (composition) :

2 2, 2

lim cos 0

x x

π π x

+

→ <

= .

Par ailleurs :

0 0

lim1

x

x^→_> x = +∞. D’où (composition) : ₂

2, 2

lim 1 cos

x→^π x<^π x

= +∞. Finalement :

( )

₂

, ,

2 2 2 2

lim lim 1

a cos

x x x x

f x

π π π π x

→ < → <

= = +∞

On a aussi :

( ) ^{0 1}

₂

^{1 1}

cos 0 1

fa

= = =

.

La fonction cosinus est strictement décroissante sur l’intervalle 0 ; 2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

. La fonction carrée est strictement croissante sur l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

et définit une bijection de cet intervalle dans lui-même. La fonction inverse est strictement

décroissante sur l’intervalle

] ] ^{0 ; 1}

et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

On en déduit finalement que la fonction f_a est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; 2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ ^et définit une bijection de cet intervalle dans l’intervalle

[ ^{1; + ∞} [

^.

On a aussi :

( )

^{2 sin}₃

' cos

a

f x x

= x D’où, sur l’intervalle 0 ;

2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ ^: fa^'

( )

x = ⇔^{0 2 sin}x= ⇔ =⁰ x ⁰.

A titre de complément, nous fournissons page suivante la courbe représentative de la fonction f_a sur l’intervalle 0 ;

2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ (en bleu), puis sur l’ensemble ; 2 2

⎤−

π π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ grâce à une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées (en pointillés) et enfin sur

fa

D

(en tirets).

On a alors :

• Si m

< 1

, l’équation fa

( )

x

=

m n’admet pas de solution.

• Si m

= 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions, ce sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée f_a' s’annule. Il s’agit de l’ensemble :

{

^k

^π

^,k∈

}

^.

• Si m

> 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions. Elle admet exactement deux solutions

α

_k et

β

_k sur chaque intervalle ^;

(

¹

)

2 k 2 k

π π π π

⎤ + + + ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ et ces valeurs vérifient :

(

1

)

k k k

α

+

β

= +

π

.

3^ème cas : , a_≠k

π

2 k_∈

.

On a :

( )

^cos4₂ ^sin4₂

cos sin

a

a a

f x

x x

= + et ^{\ , ;}

(

¹

)

2 2 2

fa

k

x k

π

k k

π

k

π

∈

⎧ ⎫ ⎤ ⎡

= ⎨⎩ ≠ ∈ ⎬⎭= ∪ ⎥⎦ + ⎢⎣

D

^.

Les démarches précédentes relatives à la parité et à la périodicité restent valables pour chacun des deux termes apparaissant dans l’expression de fa

( )

x . La fonction f_a est paire et

π

-périodique.

On étudie la fonction f_a sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣^.

D’après ce qui a été vu dans les deux cas précédents, on a immédiatement :

( ) ( )

0 ,

0 2 2

lim _a lim _a

xx x x

f x _{π π} f x

→> → <

= = +∞

Par ailleurs, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣^{, on a :}

( )

( )

( )( )

4 4

3 3

4 4 4 4

3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 sin cos 2 cos sin

' cos sin

2 sin cos cos sin

sin cos

2 sin cos cos sin sin cos cos sin

sin cos

a

x a x a

f x

x x

x a x a

x x

x a x a x a x a

x x

= +−

= −

= − +

Comme

cos

a

≠ 0

,

sin

a

≠ 0

,

cos

x

> 0

et

sin

x

> 0

, le rapport

(

^{2 2 2 2}

)

3 3

2 sin cos cos sin sin cos

x a x a

x x

+

ne peut s’annuler sur l’intervalle 0 ;

2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣^. On a donc :

( )

^{2 2 2 2 sin2}₂ ^sin2₂ ^{2 2}

' 0 sin cos cos sin 0 tan tan

cos cos

a

x a

f x x a x a x a

x a

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Or, on a : ^{tan2x=tan2a⇔}

(

^tanx−tana

)(

^tanx+tana

)

^{⇔tanx=tanaou tanx= −tana.}

Nous distinguons les deux situations.

tanx=tana

On a alors : x= +a n

π

. Comme on travaille dans l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on cherche l’entier n tel que : 0< +a n

π

<

π

2

En posant : a=

απ

(où

α

n’est pas de la forme 2

m avec m entier), cette inéquation devient :

0<

απ

+n

π

<

π

2, soit : 1

0< + <

α

n 2, soit encore : 1 n 2

α α

− < < − +

Finalement, on cherche un entier n tel que : 1

2 n

α

− < − <

α

.

Notons que l’on cherche un entier dans un intervalle ouvert de longueur 1

2. Un tel entier peut donc ne pas exister !

tanx=tana

On a alors : x= − +

π

a n

π

. Comme on travaille dans l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on cherche l’entier n tel que :

0< − +

π

a n

π

<

π

2

Posant à nouveau : a=

απ

, cette inéquation devient : 0

n

π

2

π απ π

< − + < , soit : 1 0 1< − + <

α

n 2 , soit encore :

1 1 n 2

α

− < < −

α

Finalement, on cherche un entier n tel que : 1

1 n 2

α

− < < −

α

.

Comme précédemment, notons que l’on cherche un entier dans un intervalle ouvert de longueur 1 2^. Un tel entier peut donc ne pas exister ! En revanche, comme on considère les intervalles

1 ; 1

α α

2

⎤ − − ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ ^et

1;

α

2

α

⎤ − ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ ^{et comme}

1

α − 2

n’est pas un entier, la partie entière de

α

appartient à l’un de ces deux intervalles et c’est le seul entier s’y trouvant !

En définitive, l’équation tan²x=tan²a admet une solution unique

λ

₀ sur l’intervalle 0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣

(remarque : la monotonie stricte et la continuité de la fonction x tan²x−tan²a sur cet intervalle permet de conclure plus rapidement mais la démarche précédente permet de préciser davantage les choses …).

En tenant compte de tan²

λ

₀ =tan²a, on a : cos

λ

₀= ±cosa et sin

λ

₀= ±sina. Il vient alors :

( )

0 ⁴2 ⁴2 ^{2 2}

cos sin

cos sin 1

cos sin

a

a a

f a a

a a

λ

= + = + =

On a enfin :

( ) ( )( )

( )

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 2 2

2

2 2 2 2 2 2

3

' 2 sin cos cos sin sin cos cos sin

sin cos

2 cos cos sin sin

sin cos cos sin

sin cos cos cos

2 cos

tan tan sin cos cos sin

sin cos

fa x x a x a x a x a

x x

x a x a

x a x a

x x x a

a x a x a x a

x x

= − +

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟ +

⎝ ⎠

= − +

Le signe de fa^'

( )

x est donc celui de la différence tan²x−tan²a. Sur l’intervalle 0 ;

2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, la fonction tangente est strictement croissante et prend des valeurs strictement positive. La fonction carrée étant strictement croissante sur ^*₊, on en déduit immédiatement que la fonction x

tan

²x

− tan

²a est strictement croissante sur l’intervalle

0 ; 2

⎤

π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣. D’où le signe de fa^'

( )

x puis les variations de la fonction f_a' :

• Si x∈

]

0 ;

λ

0

]

, on a fa^'

( )

x ≤⁰ et la fonction f_a' est strictement décroissante.

• Si ₀; x_{∈ ⎢}^⎡

λ π

2^⎡_⎢

⎣ ⎣^{, on a} fa^'

( )

x ≥⁰ et la fonction f_a' est strictement croissante.

A titre de complément, nous fournissons page suivante la courbe représentative de la fonction f_a pour

a₌

π

3

sur l’intervalle 0 ; 2

⎡

π

⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ (en bleu), puis sur l’ensemble ; 2 2

⎤−

π π

⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ grâce à une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées (en pointillés) et enfin sur

fa

D

(en tirets).

On a alors :

• Si m

< 1

, l’équation fa

( )

x

=

m n’admet pas de solution.

• Si m

= 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions, ce sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée f_a' s’annule. Il s’agit de l’ensemble :

{ λ

0+k

π

,k∈

} {

∪ − +

λ

0 k

π

,k∈

}

.

• Si m

> 1

, l’équation fa

( )

x

=

m admet une infinité de solutions. Elle admet exactement deux solutions

α

_k et

β

_k sur chaque intervalle ^;

(

¹

)

2 2

k

π

k

π

⎤ + ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣^.