1S1:doc 5 Correction ex 2 TD 5 2015-2016
Le plan est muni d’un repère orthornormé (O;−→ i;−→
j).
Les pointsA,B etC sont de coordonnées respectives (8 ; 2), (4 ;−2) et (0 ; 2).
C est le cercle de centreA et passant parB.
P est le point de coordonnées (p; 0) oùpest un réel quelconque et on appelleDpla droite (CP).
I Préliminaires
1. Déterminer une équation cartésienne deC.
SoitM(x;y)∈ C. Alors (x−8)2+ (y−2)2= (4−8)2+ (−2−2)2⇔(x−8)2+ (y−2)2= 32.
2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercleC avec chacun des axes de coordonnées.
Cherchons d’abord l’ensemble des intersections deCavec l’axe des abscisses (Ox).
SoitM(x;y)∈ C ∩(Ox). Alors les coordonnées deM sont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
y= 0 ⇔
(x−8)2+ (0−2)2= 32
y= 0 ⇔
x2−16x+ 36 = 0
y= 0 ⇔
x= 8−2√
7 oux= 8 + 2√ 7 y= 0
On a doncC ∩(Ox) =
(8−2√
7 ; 0) ; (8 + 2√ 7 ; 0) .
Cherchons ensuite l’ensemble des intersections deC avec l’axe des ordonnées (Oy).
SoitM(x;y)∈ C ∩(Oy). Alors les coordonnées deM sont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
x= 0 ⇔
(0−8)2+ (y−2)2= 32
x= 0 ⇔
y2−4y+ 36 = 0 x= 0
Or le trinômey2−4y+ 36 a un discriminant égal à−128, donc négatif donc il n’a pas de racine. On a donc C ∩(Oy) =∅.
II Deux cas particuliers
1. On posep=−6.
(a) Déterminer une équation cartésienne de la droiteD−6. D−6= (CP) oùC(0 ; 2) et P(−6 ; 0).
M(x; y)∈(CP) ⇔ −−→
CP(−6 ;−2) et−−→
CM(x; y−2) colinéaires
⇔ −6×(y−2)−(−2)×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔ 2x−6y+ 12 = 0
⇔ x−3y+ 6 = 0
Une équation cartésienne deD−6 est doncx−3y+ 6 = 0.
(b) Déterminer l’ensemble des intersections deD−6 et de C.
SoitM(x;y)∈ C ∩ D−6. Alors les coordonnées deM sont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
x−3y+ 6 = 0 ⇔
(3y−6−8)2+ (y−2)2= 32
x= 3y−6 ⇔
10y2−88y+ 168 = 0 x= 3y−6
Or le trinôme 10y2−88y+ 168 a deux racines :y1= 6 ety2= 2,8, ce qui donne x1= 3y1−6 = 12 et x2= 3y2−6 = 2,4. On a doncC ∩ D−6={(12 ; 6) ; (2,4 ; 2,8)}.
2. Mêmes questions avecp= 1.
(a) Cherchons d’abord une équation cartésienne de D1.
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D1= (CP) oùC(0 ; 2) etP(1 ; 0).
M(x;y)∈(CP)⇔−−→
CP(1;−2) et−−→
CM(x;y−2) colinéaires
⇔1×(y−2)−(−2)×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔2x+y−2 = 0
Une équation cartésienne de D1 est donc 2x+y−2 = 0.
(b) Cherchons ensuite l’ensemble des intersections deD1 et deC.
SoitM(x;y)∈ C ∩ D1. Alors les coordonnées deM sont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
2x+y−2 = 0 ⇔
(x−8)2+ (−2x+ 2−2)2= 32
y=−2x+ 2 ⇔
5x2−16x+ 32 = 0 y=−2x+ 2 Or le trinôme 5x2−16x+ 32 a discriminant égal à −384, donc négatif, il n’a donc pas de racines.
On a doncC ∩ D1=∅.
III Cas général
Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entreDp et de Cselon les valeurs de p.
1. Cherchons d’abord une équation cartésienne deDp. Dp= (CP) oùC(0 ; 2) etP(p; 0).
M(x;y)∈(CP) ⇔ −−→CP(p;−2) et−−→CM(x;y−2) colinéaires
⇔ p×(y−2)−(−2)×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔ 2x+py−2p= 0
Une équation cartésienne deDp est donc 2x+py−2p= 0.
2. Cherchons ensuite l’ensemble des intersections deDp et deC.
SoitM(x;y)∈ C ∩ Dp. Alors les coordonnées deM sont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
2x+py−2p= 0 ⇔
(x−8)2+
2−2x p −2
2
= 32 y= 2−2x
p etp6= 0
⇔
(x−8)2+4x2 p2 = 32 y= 2−2x
p etp6= 0
⇔
1 + 4 p2
x2−16x+ 32 = 0 y= 2−2x
p etp6= 0
Examinons le discriminant du trinôme pourp6= 0 ;
1 + 4 p2
x2−16x+ 32 = 0
∆ = (−16)2−4×32
1 + 4 p2
= 256−128−512 p2
= 128−512 p2
• ∆>0⇔128−512
p2 >0⇔p2>4⇔p∈]− ∞;−2[∪]2 : +∞[ :C ∩ Dp={2points}
• ∆ = 0⇔128−512
p2 = 0⇔p2= 4⇔p=−2 oup= 2 : C ∩ Dp={1point}
• ∆<0⇔128−512
p2 <0⇔p2<4⇔p∈]−2; 2[− {0}:C ∩ Dp=∅ .
• Par ailleurs, pourp= 0, la droite (CP) est l’axe des ordonnées et vu à la question 1.b, la droite ne coupe pas le cercleC. DoncC ∩ Dp=∅pour toutp∈]−2; 2[.
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