= P (A) , cas particuliers

Exponentielle

1 Exponentielle dans M

( C )

Soit

M = a c

0 b

Calculerexp (M). Indications

Plusieurs méthodes :

- diagonaliserM (sia6=b) - résoudreX⁰ =M.X

- chercherP ∈C1[X]tel queP(M) = exp (M) - calculerM^k pourk∈N

Réponse Sia6=b

exp (M) =

"

e^{a eb}_b−a^−ea.c

0 e^b

#

sinon

exp (M) =

e^a e^a.c 0 e^a

2 e

= P (A) , cas particuliers

SoitA∈M_n(C); trouverP ∈C[X]tel queP(A) = exp (A) 1- dans le cas oùA³=A²

2- dans le cas où(A−I_n)²(A−2I_n) = 0 Réponse

1-P = 1 +X+ (e−2)X² (calcul direct).

2- Cas particulier : A=I_n+N avecN²= 0; d'après la formule de Taylor : P(A) =P(I_n+N) =P(1)I_n+P⁰(1)N on chercheP tel queP(1) =e, P⁰(1) =e.

Cas général : on chercheP tel que

P(2) =e², P(1) =e, P⁰(1) =e

3 e

= P (u)

SoitE unC−espace vectoriel de dimension nie.

Soitu∈L(E). Montrer que

{P ∈C[X]/ P(u) =e^u} est non vide et contient un unique polynôme de degré minimal.

1

4 e

.e

On noteE=Mn(R).

PourG, sous-groupe deGLn(R)fermé dansE, on note EG=

X ∈E/∀t∈R, e^tX ∈G 1- DéterminerE_G pourG=O_n(R).

2- Montrer que pour une norme subordonnée :

∀A, H ∈E,

(A+H)^k−A^k

≤(kAk+kHk)^k− kAk^k 3- Montrer que

∀A, B∈E,lim

k

e^Ak.e^Bkk

=e^A+B

4- Montrer queEG est un sous-espace vectoriel deE. Indications

1-EG est l'ensemble des matrices antisymétriques.

2- On peut procéder par récurrence surn.

5 Coecients non diagonaux positifs

1- SoitA∈Mn(R). Montrer l'équivalence entre - Tous les coecients non diagonaux deAsont positifs.

- Pour toutt≥0, les coecients de exp (tA)sont positifs.

2- On suppose cette condition vériée ; soitX solution de

X⁰(t) =A.X(t) +B(t)

avecB continue sur un intervalle I, à coecients positifs, et X(0)également à coecients positifs.

Montrer que pour toutt≥0, les coecients de X(t)sont positifs.

Indications

1- Soit B une matrice quelconque ; pour simplier, on noteB≥0si tous les coecients deB sont positifs ; il est clair que siB≥0, alorsexp (B)≥0.

Donc, siA≥0et t≥0, alorsexp (tA)≥0.

Supposons maintenant que tous les coecients non diagonaux deAsont positifs.

On peut trouver un réelt≥0tel que

B =A+t.In≥0 Alors :

exp (A) =e^−t.exp (B)≥0 carB ett.In commutent.

Réciproque

On suppose queexp (tA)≥0pour toutt≥0.

exp (tA)−In

t

a pour limiteAquandttend vers 0, donc, par passage à la limite, les coecients non diagonaux deAsont positifs.

2- On applique la méthode de variation de la constante : X(t) = exp (tA).X(0) +

ˆ t 0

e^(t−s)AB(s)ds DoncX(t)≥0 sit≥0.

2

6 Solutions de signe positif

SoitI=R+.

1- SoitA∈M_n(R+) ; soit(E)l'équation

X⁰(t) =A.X(t) SoitX ∈C¹(I,Rⁿ)une solution de(E)telle queX(0)≥0. Montrer que

∀t≥0, X(t)≥0 2- Soita0, ..., a_n−1 des réels positifs. Soity une solution surI de

y⁽ⁿ⁾=

n−1

X

k=0

ak.y^(k)

On suppose que : ∀k∈J0, n−1K, y^(k)(0)≥0. Montrer quey estC^∞sur Iet

∀t∈I,∀k∈N, y^(k)(t)≥0

Indications

1-∀t≥0, exp (tA)≥0.

2- Utiliser le système associé et la question 1.

7 e

.B.e

SoitAet B éléments deM_n(C); on suppose que

z→e^zA.B.e^−zA est bornée surC.

Montrer queAB=BA. Indications

Utiliser un théorème hors-programme sur les séries entières.

8 X

= AX + Bu

SoitT >0. SoitA∈Mn(R)etB ∈Mn,p(R). SoitC la matrice par blocs C=

B, AB, ..., Aⁿ⁻¹B Montrer l'équivalence entre

1-C est de rangn.

2- Pour toutV ∈Rⁿ, il existe u∈C⁰([0, T],R^p)et X∈C¹([0, T],Rⁿ)telles que X⁰(t) =AX(t) +Bu(t)

X(0) = 0, X(T) =V

3