1.1 Matrice de dimensions (n, p)
matrice à n lignes et p colonnes. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
j p
j p
np
i i ij ip
n n nj np
=
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
a
ijj = N° de colonne
i = N° de ligne L2
Cj
1.2 Matrices carrées et vecteurs
A
−
=
−
1 3 1
3 4 5 2 0 2
matrice carrée :
nb lignes = nb colonnes
diagonale principale
vecteur :
une seule colonne
V
=
−
1 5 3
dimension 3
1.3 Matrices carrées particulières
symétrique
A
−
= −
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
A
A
−
=
= −
1 1 4 0 2 8 0 0 3
1 0 0 6 2 0 5 0 4
triangulaire
inférieure supérieure
diagonale
A
= −
1 0 0 0 2 0 0 0 4
identité
I
=
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1.4 Matrice transposée
1.
A
=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
A
=
T
1 2 3
4 5 6
7 8 9
V
=
−
1 5 3 B
= −
3 8 1 2 7 1
B −
=
T
3 1 7
8 2 1
TV = ( 1 5 − 3 )
2.1 Multiplication d’une matrice par un scalaire
2.
A
−
=
−
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
5 15 5
5 15 10 25
5 25 20
− −
− = −
−
− −
A
A
−
=
−
−
1 5 1
6 6
5
1 1
3 6
2 2
2 3 3
A
=
− −
−
1 5 6
1 2 6 5
6 12 4 4
V
=
−
1 5 3
V
=
−
3 3 15
9
2.2 Addition matricielle
Elément neutre :
2.
A
−
= −
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
B
= − −
− −
2 2 5 4 7 3 2 1 1
A B
+ = −
−
3 5 4 1 5 2 3 6 3
V
=
−
1 5 3
W
= −
3 1 2
V W
+ =
−
4 4 1 la matrice nulle « O » = [0]
Opposée de A : « -A » telle que A + (-A) = O Donc : « -A » = -1 × A
2.3 Produit matriciel
3.
−
− =
3 8 2 1 4
1 3 2 1 2
7 1
35 18 14 16
−
=
−
1 3 5 7
2 4 6 8
−
−
23 17 14 46
−
=
−
5 7 1 3
6 8 2 4
19 13
10 50
2.3 Produit matriciel
4.
−
=
1 3 5
2 4 6
−
13 34
−
− − =
−
1 3 1 3
3 2 5 4
1 5 4 2
−
−
11 27
15
2.3 Produit matriciel
5.
− −
=
1 3 1 0 1 3
2 4 0 1 2 4
− −
=
1 0 1 3 1 3
0 1 2 4 2 4
− −
− = −
−
−
1 3 1 1 0 0 1 3 1
3 2 5 0 1 0 3 2 5
1 5 4 0 0 1 1 5 4
− −
− = −
−
−
1 0 0 1 3 1 1 3 1
0 1 0 3 2 5 3 2 5
0 0 1 1 5 4 1 5 4
=
1 0 5 5
0 1 3 3
2.3 Produit matriciel
inverse d’une matrice carrée
5.
a c a c
b d b d
− −
= =
1 3 1 3 1 0
2 4 2 4 0 1
A A
-1A
-1A I
A
−
=
1
0,4 0,3
-0,2 0,1
2.4 Déterminant d’une matrice carrée
SARRUS
6.
A −
=
1 3
2 4 det ( ) A = ∆ ( ) A = 1 − 3 = 1 4 2 . − . ( ) − = 3 10
2 4
−
− − =
− −
1 3 1 1 3
3 2 5 3 2
1 5 4 1 5
1.(-2).4 + 3.5.(-1) + (-1).3.5
–
(-1).(-2).(-1)–
5.5.1–
4.3.3 = -97+ – +
-2 5 5 4 3 5 -1 4 3 -2 -1 5
2.4 Déterminant d’une matrice carrée
7. −
−
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
+ – + – + – + – +
−
−
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
facteurs : 1 3 -1
cofacteurs :
= -33
= -17
= 13
det(A) =
Σ
(fact.cof) = 1.(-33) + 3.(-17) + (-1).13 = -97COFACTEURS
3 5 -1 4 1 -1 -1 4 1 -1 3 5
– + –
2.4 Déterminant d’une matrice carrée
7. −
−
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
+ – + – + – + – +
−
−
−
1 3 1
3 2 5
1 5 4
facteurs : 3 -2
5
cofacteurs :
= -17
= 3
= -8
det(A) =
Σ
(fact.cof) = 3.(-17) + (-2).3 + 5.(-8) = -97COFACTEURS
2.5 Matrice inverse
8.
AA
−1= I
A−1 = det A1 ( )
TCom A( )
A
−
=
−
3 2 1
1 4 3
2 1 2
( )
det A = −10
( )
4 3 1 3 1 4
1 2 2 2 2 1
5 8 9
2 1 3 1 3 2
5 4 7
1 2 2 2 2 1
10 10 10
2 1 3 1 3 2
4 3 1 3 1 4
+ − +
− −
−
− −
= − + − − − = − − −
− −
+ − +
Com A
( )
T
5 5 10
8 4 10
9 7 10
−
= − −
−
Com A
( )
, ,
, ,
, ,
1 T
0 5 0 5 1
1 0 8 0 4 1
10 0 9 0 7 1
−
− −
= − = − − −
A Com A
COFACTEURS
2.5 Matrice inverse
9.
A L L L
L L L
−
= ← −
− ← +
2 2 1
3 3 1
3 2 1
1 4 3 3
2 1 2 3 2
I L L L
L L L
= ← −
← +
2 2 1
3 3 1
1 0 0
0 1 0 3
0 0 1 3 2
GAUSS
L L L
L L L
− ← −
← +
−
1 1 3
2 2 3
15 0 15 2
0 10 10 3
0 0 30
L L L
L L L
− ← −
← −
1 1 2
3 3 2
3 2 1 5
0 10 10
0 7 4 10 7
L L L
L L L
− ← −
− ← +
−
1 1 3
2 2 3
6 3 0 2
1 3 0 3
27 21 30
L L L
L L L
← −
−
← −
1 1 2
3 3 2
1 0 0 5
1 3 0
2 0 3 10 7
2.5 Matrice inverse
9.
/ / / L L L L
L L
←
←
− ← −
1 1
2 2
3 3
30 0 0 30
0 30 0 30
0 0 30 30
/ / /
L L
L L
L L
− − ←
− ←
− ← −
1 1
2 2
3 3
15 15 30 30
24 12 30 30
27 21 30 30
GAUSS
I
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
, ,
, ,
, ,
A−
− −
− =
− −
1
0 5 0 5 1 0 8 0 4 1
0 9 0 7 1
3.1 Résolution d’un système d’équations
Si on nomme le vecteur inconnu et le vecteur ,
10. On appelle matrice du système la matrice A composée des coefficients aij.
...
: : : : : : :
...
n n n n
n n nn n n
x x x
x x x
+ + + =
=
+ + + =
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
a a a b
a a a b
Si det(A) ≠ 0, alors le système admet un unique vecteur solution.
alors le système est équivalent à l’égalité matricielle
X B
:
n
x x
x
1 2
: b b
bn
1 2
.
A X = B
3.1 Résolution d’un système d’équations
x y
x y
+ =
′ + ′ = ′
a b c
a b c
= ′ ′ a b A
a b dimension 2
det(A) = 0 ssi proportion
dimension 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
′ + ′ + ′ = ′
′′ + ′′ + ′′ = ′′
a b c d
a b c d
a b c d
det(A) = 0 ssi proportion ou liaison
3.1 Résolution d’un système d’équations
Méthode de Cramer
11.
x y z
x y z
x y z
+ + = −
− + =
− − + =
3 4 1
5 2 4 4
6 2 12
-1 4 12
( ) ( )
det A det A
i
xi =
= −
− −
3 4 1
5 2 4
1 6 2
A det(A) = -28
x
−
−
= −
−
1 4 1
4 2 4
12 6 2
28 = = −
−
140 5 28
y
−
= −
−
3 1 1
5 4 4
1 12 2
28 = − = ,
−
42 1 5 28
z
−
−
− −
= −
3 4 1
5 2 4
1 6 12 28
= − =
−
224 8 28
3.1 Résolution d’un système d’équations
Méthode par l’inversion de A
11.
2 3 1
5 9 2
x y
x y
+ =
− − =
=
−1X A B
, ,
2 3 1
5 9 2
x y
= = =
− −
A X B
det(A) = -3
1 1 9 3
5 2 3
− − −
=
−
A
1
1 9 3 1
5 2 2
3
−
− −
= =
−
X A B
15 5
1
9 3
3
−
= =
− −
3.1 Résolution d’un système d’équations
pivot de gauss simplifié : triangularisation
12.
= − ← −
− − ← +
2 2 1
3 3 1
3 4 1
5 2 4 3 5
1 6 2 3
A L L L
L L L
−
3 4 1
0 26 7 0 0 42
−
− ← −
3 3 2
3 4 1
0 26 7
0 14 7 L 13L 7L
Les transformations s’appliquent également aux coordonnées de !
Le système devient :
x y z
y z
z
+ + = −
− + =
=
3 4 1
26 7 17 42 336
B
3.2 Changements de base
13.
. ; .
i i i u
ij uv
j j j v
u v u v
= =
m m
M P M
m m M
ij= [ ] u v
ij. M
uv14.
15.
1 1
.
ij. .
uv uv−
=
−=
P M P P M M
Multiplions l’égalité [14] par P-1 à gauche :
Echangeons uv et ij dans l’égalité [14] :
uv
= i j
uv.
ijM M
3.2 Changements de base
16. exemple en dimension 2
, ,
ij , ij
u v −
= =
1 3 0 2
0 4 1
[ ]
, ,ij ,
u v −
= =
1 3 0 2 0 4 1 P
i j uv
=
P−1 = ,
, ,
,
−
1 0 2 1
0 4 1 3 1 38
uv
= i j
uv.
ijM M
,
, ,
,
, ,
, ,
,
=
−
= ≈
1 0 2 2 1
0 4 1 3 2 1 38
2 4 1 739 1
1 8 1 304 1 38
4.1 Définition application vectorielle f linéaire X ֏
fY = f ( ) X = F X .
exemple
F
−
=
1 3
3 1
( )
;
X f X
−
= = +
1 1
3 3 3
1 3 3 1
( )
;
X f X
− −
= − = − −
2 2
2 2 3 2
2 2 3 2
4.2 Changement de base
Or l’expression de f dans la base est : , donc :
17.
Y
ijk= F X
ijk ijk⇔
(
u v w, ,) Y
uvw= F
uvwX
uvwuvw ijk
=
−F P F P
1( )
Y
uvwP F P X
− ijk uvw⇔ =
1P PY
− uvwP F PX
− ijk uvw⇔
1=
1PY
uvw= F PX
ijk uvw4.2 Changement de base
18. exemple
ij
=
−
F 1 2
4 1
ij ij
u v −
= =
3 1
1 et 1
3 1 1 1 P −
=
1
1 1 1
1 3 P
−4
=
−
uv ij
−
−
= = =
− − − −
− −
= =
− −
F P F P
11 1 1 1 2 3 1 1 1 1 5 1
1 3 4 1 1 1 1 3 11 5
4 4
16 4 4 1
1
28 16 7 4
Tr = 0
4
4.2 Changement de base
18. vérifions
ij
=
−
F 1 2
4 1
3 1 1 1 P −
=
1
1 1 1
1 3 P
−4
=
−
uv−
=
−
F 4 1
7 4
ij
;
ij= = X 2 Y
3
ij.
ij
= =
−
F X 1 2 2
4 1 3
uv
=
X P X
−1 ij= Y
uv= F X
uv uv=
ij
=
Y PY
uv= 8 5
8
5
1 5
7 4
1 13 7 4
4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
Vecteur propre = vecteur colinéaire à son image
F V . = λ V
ij
=
−
F 1 2
4 1
ij
=
F 2 8
3 5
ij
=
F 3 5
1 11
ij
=
F 2 6
2 6
ij
=
−
F 2 0
1 9
ij
−
=
−
F 1 3
2 6
ij− −
=
− −
F 1 7
3 1
λ = 3 λ = -3
4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
( )
det F − λ I = 0
19.
.
F V = λ V
1. Résoudre l’équation
det F ( − λ I ) = 0
pour obtenirλ
2. Utiliser la définition pour déterminer
V
Méthode :
4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
20. exemple
ij
=
−
F 1 2
4 1
Soit
V
et=
1
1
1 V
=
−
2
1 2
.
F V
= =
−
1
1 2 1
4 1 1
=
3
3 3 V
1F V .
= =
− −
2
1 2 1
4 1 2
−
=
3
6
−3V2V
et=
1
1
1 V
=
−
2
1
2
sont deux vecteurs propres de f.4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
20. recherche des vecteurs propres ij
=
−
F 1 2
4 1
1. Recherche des valeurs propres
( )
det F − λ I = ⇔ 0 λ
λ
− = ⇔
− −
1 2
4 1 0 λ
2− = ⇔ 9 0 λ = ± 3
F possède deux valeurs propres : 3 et -3
4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
20. recherche des vecteurs propres ij
=
−
F 1 2
4 1
2. Recherche des vecteurs propres
* vecteurs propres associés à la valeur propre
V
p1 λ1 = 3 :x = y
.
p pF V
1= 3 V
1⇔ x x
y y
= ⇔
− 1 2
4 1 3
x y x
x y y
+ =
⇔
− =
2 3
4 3
Vecteurs propres associés à la valeur propre 3 :
= α α ∈
*1
1 , 1
p
ℝ
V
4.3 Valeurs propres, vecteurs propres
20. recherche des vecteurs propres ij
=
−
1 2
4 1
F
2. Recherche des vecteurs propres
* vecteurs propres associés à la valeur propre
V
p2 λ2 = -3 :y = − 2 x
.
p23
p2F V = − V ⇔ x x
y y
= − ⇔
−
1 2 4 1 3
x y x
x y y
+ = −
⇔
− = −
2 3
4 3
Vecteurs propres associés à la valeur propre -3 :
= α α ∈
*−
2
1 , 2
p
ℝ
V
4.4 Diagonalisation d’une matrice carrée
Si, dans un espace de dimension n, un endomorphisme f possède n valeurs propres réelles distinctes, alors :
21.
A chaque valeur propre correspond un groupe de vecteurs propres colinéaires.
On peut choisir un vecteur propre représentant chaque groupe.
La liste de ces n vecteurs propres est une base de l’espace : une « base propre » « V
p» de f.
On peut envisager un changement de base pour écrire F dans sa base propre.
La matrice F
Vp= P
-1.F
ij.P est diagonale
et composée de ses valeurs propres.
4.4 Diagonalisation d’une matrice carrée
exemple
22.
ij
=
−
1 2
4 1
F
λ1 = 3 :
= α
1
1
p
1 V
λ2 = -3 :
= α
−
2
1
p
2 V
choix :
choix :
1
1 V 1
=
2
1 V 2
=
−
base propre :
V
p= ( ) V V
1,
24.4 Diagonalisation d’une matrice carrée
matrices de passage
22.
ij
−
= = =
− − −
1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 4 1 1 2
3
Vp
F P F P
de Vp vers ij :
1 1 1 2
P
=
−
de ijvers Vp : 1
1 2 1 1 1 P
−3
=
−
matrice de f dans sa base propre :
2 1 3 3
1
1 1 3 6
3
−
−
2 1 1 1
1 1 1 2
−
= =
−
3 0
0 3
−
La matrice F est diagonalisée
Elle est constituée des valeurs propres
