D20370. Courbes dérivées
On donne, dans un plan, une courbe (C) et un point O. A chaque point M de (C) on fait correspondre sur une droite D, passant par M mais de direction fixe, deux points M1 etM2 tels queOM =M M1 =M M2. Montrer que les tangentes en M, M1 et M2 à leurs lieux respectifs sont concourantes en un point T situé sur la perpendiculaire menée par O à OM.
Préciser la nature de ces lieux dans les cas particuliers où : a/ (C) est une droiteD0 quelconque,
b/ (C) est un cercle passant parO.
Solution
SoitT le point de la tangente enM qui se projette enO surOM. Le vecteur M T représente la vitesse de M sur (C), l’échelle de cette représentation résultant de ce que la vitesse radiale dr/dt (notant r =|OM|= |M M1|=
|M M2|) a pour mesure M O=−r, projection deM T sur OM.
Dans le repère en translation lié àM, les vitesses relativesdr/dtdeM1etM2 sont représentées par les vecteursM1M etM2M. Composées avec la vitesse d’entraînementM T du repère, les vitesses totales sont respectivementM1T etM2T; cela prouve que les tangentes aux deux lieux passent parT, CQFD.
SiOM est normale à (C),r est stationnaire, les vitesses enM1 et M2 sont égales à la vitesse en M en grandeur et en direction : le point de concours T est à l’infini.
Pour l’application proposée, prenons Ox parallèle à la direction fixe des droitesD. Si (C) a pour équationf(x, y) = 0, le lieu deM1 etM2 s’obtient en éliminant m (abscisse de M) entre f(m, y) = 0 et (x−m)2 =m2+y2, ce qui donne f x2−y2
2x , y
!
= 0.
a/ (C) est la droite D0 d’équation ax+by +c = 0 : le lieu, d’équation a(x2−y2) + 2x(by+c) = 0, est une hyperbole équilatère, tangente en O à Oy, centrée à la projection de O surD0.
b/ (C) est le cerclex2+y2= 2ax+2bypassant parO: le lieu est la quartique bicirculaire d’équation (x2 +y2)2 = 4x(ax2−ay2+ 2bxy), dont O est un point triple.
