D162 – Un prix de beauté dans un triangle acutangle [***** à la main]
Soit ABC un triangle acutangle dont l’angle au sommet C est le plus petit des trois angles.
Soient O et I les centres des cercles circonscrit et inscrit. Sur AC et BC, on porte respectivement les points P et Q tels que AP = BQ = AB.
1ère partie : Démontrer que les droites IO et PQ sont perpendiculaires.
2ème partie : L’angle en C vaut 30°. Démontrer que IO = PQ et que O est l’orthocentre du triangle IPQ.
Solution de Hidetosi Fukagawa tirée de l’ouvrage « From Erdös to Kiev » de Ross Honsberger
1ère partie : l’angle au sommet C le plus petit des trois angles est quelconque
La bissectrice de l’angle en A du triangle ABC coupe le cercle circonscrit au point D qui est au milieu de l’arc BC.Le segment OD est donc perpendiculaire au côté BC.
Comme AB = AP, le triangle ABP est isocèle de sommet A. Il est semblable au triangle OBD qui lui aussi est isocèle de sommet O avec OB = OD = rayon du cercle circonscrit et BOD
= 2BAD = BAC.
AD est la médiatrice de BP. Il en résulte que DB = DP. A partir des relations d’angles:DBI
= DBC + CBI = DAC + ABC/2 = (BAC + ABC)/2 et DIB = ABI +
BAI = (BAC + ABC)/2, on déduit que DBI = DIB et que le triangle DBI est isocèle de sommet D.
Par ailleurs, on a IDO + 90° = ABC + BAD. D’où IDO = ABC + BAC/2 – 90° et PBQ = ABC - ABP = ABC – 90°+BAC/2. D’où IDO =PBQ. En raison de la similitude des triangles ABP et OBD, on a BP/BQ = BP/AB = DB/DO = DI/DO.
Comme les côtés BP et BQ du triangle BPQ sont respectivement perpendiculaires aux côtés
DI et DO du triangle DIO, le triangle DIO se déduit du triangle BPQ par une similitude d’angle 90° et de rapport = rayon du cercle circonscrit/ côté AB et les troisièmes côtés PQ et IO sont eux-mêmes perpendiculaires entre eux.
2ème partie : l’angle au sommet C vaut 30°.
Par hypothèse, ACB = 30°. Il en résulte que BDP = 2BDA = 2ACB = 60°. Le triangle isocèle BDP est alors équilatéral et l’on a BP = BD = BI. Les deux triangles semblables BPQ et DIO qui ont chacun un côté de même longueur avec le même angle opposé sont donc isométriques et IO = PQ.
Nous allons démontrer que PO est perpendiculaire à IQ. Comme le triangle DBI est isocèle,
BID = (180°-30°)/2 = 75°.Il en résulte que AIB = 180°- BID = 105°. Or les triangles ABI et QBI sont isométriques car ils ont le même angle (ABI = QBI) compris entre un côté commun (BI) et un deuxième côté de même dimension (BA = BQ). Dès lors BIQ = 105° et DIQ = BIQ – 75° = 30°. les droites IQ et BD sont donc parallèles. Comme PB = PD et OB = OD, la droite PO est médiatrice de BD. Elle est perpendiculaire à IQ. O qui est à l’intersection des deux hauteurs issues de P et I dans le triangle IPQ en est donc l’orthocentre.
