261 – Fonction caractéristique et transformée de Laplace d’une variable aléatoire. Exemples et applications.

261 – Fonction caractéristique et transformée de Laplace d’une variable aléatoire. Exemples et

applications.

2013 – 2014

Question.

Soit Xi des variables aléatoires i.i.d. de Bernoulli, N ∼ P(λ) et Z :=

PN

i=1X_i. Déterminer la loi de Z.

Réponse.

Calculons la fonction caractéristique deZ.

ϕZ(t) =E(e^itZ)

=E





N

Y

j=1

e^itXj





=E



E





N

Y

j=1

e^itXj |N









=E





N

Y

j=1

ϕX_j(t)





=E(ϕX1(t)^N)

=E((1−p+pe^it)^N)

=GN(1−p+pe^it)

=e^λp(eit−1),

qui est la fonction caractéristique d’une variable suivant une loi de Poisson P(λp).

1

Question.

SoitX une v.a. à valeurs dansZ, montrer qu’il existectel queϕX(c) = 1.

Réponse.

ϕX(2π) =E(e^2iπ) = 1.

Question.

Soit X une v.a. à valeurs dansa+bZ, montrer qu’il existec ∈ R^∗ tel que

|ϕX(c)|= 1.

Réponse.

On poseX=a+bY,

|ϕX(c)|=|E(e^ic(a+bY))|=|e^icaE(e^icbY)|.

On pose doncc:=^2π_b .

Question.

Montrer que s’il existec6= 0 tel que|ϕX(c)|= 1, alorsX est à valeurs dans a+bZ.

Réponse.

On a

|ϕX(c)|=|E(e^icX)|= 1 et

|ϕX(c)| ≤E(|e^icX|) = 1

2

donc|E(e^icX)| =E(|e^icX|). Montrons que cX est constant modulo 2π. Pourf intégrable, tel que|R

f|=R

|f|, il existe αtel que

Z

fdx

=e^iα Z

fdx

= Z

e^iαfdx

=<

Z

e^iαfdx

= Z

<(e^iαf) dx

= Z

|f|dx.

On a donc|f|=<(e^iαf) car|f| − <(e^iα)≥0. On en déduit que l’argument de f est constant.

On a donc quecX≡θ[2π], d’oùX∈ ^θ_c+^2π_c Z.

Question.

Montrer que s’il existe c, d6= 0 avec ^c_d ∈/ Qtels que|ϕX(c)|=|ϕX(d)|= 1, alorsX est constante.

Réponse.

SupposonsXnon constante, alors par la question précédente il existek16=k2

etl16=l2tels que

( _θ

c +^2π_c k₁= ^θ_d⁰ +^2π_d l₁

θ

c +^2π_c k₂= ^θ_d⁰ +^2π_d l₂.

D’où 2π

c (k1−k2) =2π

d (l1−l2), or ^c_d ∈/Q, donc c’est absurde.

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