Leçon 261 : Fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Exemples et applications.

Leçon 261 : Fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Exemples et applications.

On se donne un espace probabilisé (Ω,A,P). On considèrera des variables aléatoires à valeurs dans (R^d,B(R^d)). On notera〈· | ·〉le produit scalaire canonique surR^d.

1 Définitions et premières propriétés

Définition 1. Soitµune mesure de probabilité surR^d, on appelle fonc- tion caractéristique de µ la fonction ϕµ : R^d → C définie par ϕµ(t) = R

R^de^i〈t|x〉dµ(x).

SiX est une v.a. on appelle fonction caractéristique deX la fonction ca- ractéristique de sa loi.

Proposition 2. Par le théorème de transfert,ϕX(t)=E[e^i〈t|X〉].

Proposition 3. Soit X une v.a. dansR^d, de fonction caractéristiqueϕ. 1. ϕ(0)=1

2. ∀t∈R^d,|ϕ(t)|6¹ 3. ∀t∈R^d,ϕ(−t)=ϕ(t)

4. Soient A ∈Mn,d(R) et b ∈Rⁿ. Notons Y = AX+b, alors ϕY(t)= ϕX(^tAt)e^i〈b|t〉.

5. La fonctionϕest uniformément continue.

Proposition 4(formule d’inversion). Soitµune mesure de probabilité sur R. Alors :

µ(]a,b[)+µ({a})+µ({b})

2 = lim

T→∞

1 2π

Z T

−T

e^{−it a}−e^{it b}

it ϕµ(t) dt

Théorème 5. La fonction caractéristique caractérise la loi : siµetνsont deux probabilités surR^d, alorsϕµ=ϕν ⇐⇒µ=ν.

Corollaire 6. Soient X une v.a. dansR^det Y une v.a. dansR^p. Alors X et Y sont indépendantes ssi pour tout(t,s)∈R^d×R^p,ϕ(X,Y)(t,s)=ϕX(t)ϕY(s).

Remarque7. Dans le cas oùX admet une densité f par rapport à la me- sure de Lebesgue surR^d, alorsϕX(t)=fˆ(−t) où ˆf est la transformée de Fourier def, définie par ˆf(ξ)=R

R^d f(x)e^{−i〈ξ|x〉}dx.

Exemple 8.

1. SiX∼U([−1, 1]), alorsϕX(t)=^sin_t^t. 2. SiX∼E(λ), alorsϕX(t)=_λ−it^λ .

3. SiX∼N(m,σ²), alorsϕX(t)=e^imte^−t

2σ2 2 . 4. SiX∼C(1), alorsϕX(t)=e^−|t|.

Proposition 9. Soient X et Y deux v.a. indépendantes. AlorsϕX+Y(t)= ϕX(t)ϕY(t).

Application 10. SoitN v.a. entière de loiG(p) avecp∈]0, 1[ et soit (Xn) une suite i.i.d. avecXnde loiE(λ). NotonsSn=X1+ · · · +Xn, alorsSNsuit la loiE(λp).

2 Vecteurs gaussiens

Définition 11. On dit qu’une v.a.X est un vecteur gaussien si pour tout a∈R^d,〈X|a〉suit une loi gaussienne.

Exemple 12. SiX1, . . . ,Xdsont des v.a. i.i.d. de loiN(0, 1) alors (X1, . . . ,Xd) est un vecteur gaussien, de moyenne 0 et de matrice de covariance I_d.

1

Proposition 13. L’image d’un vecteur gaussien d’espérance m et de matrice de covarianceΓpar une application affine x7→Ax+b et encore un vecteur gaussien, d’espérance Am+b et de matrice de covariance AΓ^tA.

Théorème 14. Soit X une v.a.L²d’espérance m et de matrice de covariance Γ. Alors X est un vecteur gaussien ssiϕX(t)=e^i〈m|t〉e^{−12〈Γt|t〉}.

Corollaire 15. Si deux vecteurs gaussiens ont même espérance et même matrice de covariance, alors ils ont la même loi. On noteN(m,Γ)la loi d’un vecteur gaussien d’espérance m et de matrice de covarianceΓ.

Théorème 16. Des variables gaussiennes sont indépendantes ssi elles sont deux à deux non corrélées, c’est-à-dire ssi leur matrice de covariance est diagonale.

3 Moments d’une v.a.r.

Théorème 17. Soit X une v.a.r. et soitϕsa fonction caractéristique.

1. Si X admet un moment d’ordre n ∈N^∗, alorsϕest de classe Cⁿ et pour tout16k 6n,ϕ^(k)(t)=i^kE(X^ke^{it X}). En particulier,ϕ^(k)(0)= i^kE(X^k).

2. Siϕest k fois dérivable en0(avec k>2), alors X admet des moments jusqu’à l’ordre2b^k₂c.

Application 18. SoitXde loiN(0, 1). AlorsXadmet des moments de tout ordre et ceux-ci sont donnés par :

E(X^2k+1)=0, E(X^2k)=1×3×5× · · · ×(2k−1)

Remarque 19. Les moments ne suffisent pas à caractériser une loi en général : par exemple, si Z suit la loi log-normale (c’est-à-dire log(Z) suit une loiN(0, 1)), notons Z_a la v.a. admettant pour densité f_a(x)= f(x)(1+asin(2πlogx)) surR^∗₊oùa∈[−1, 1] etf est la densité deZ. Alors Z etZaont les mêmes moments.

Théorème 20(des moments). Soit X une v.a.r. de fonction caractéristique ϕ.

1. Si X admet un moment d’ordre n, alorsϕadmet un développement limité à l’ordre n en0:

ϕ(t)=

n

X

k=0

(it)^k

k! E[X^k]+(it)ⁿ n! εn(t) avec|εn(t)|6^2E(|X|ⁿ)etlimt→0εn(t)=0.

2. Si X admet des moment à tout ordre et silim sup_n^E(|X_n^n|)1/n =_R¹ < ∞ alorsϕest développable en série entière au voisinage de tout réel avec un rayon de convergence supérieur à ^R_e. En particulier, les moments caractérisent la loi.

4 Convergence en loi

Définition 21. Soit (µn) une suite de probabilités. On dit que (µn) converge étroitement vers la probabilitéµsi pour toute fonction f conti- nue bornée,R

R^dfdµn→R

R^dfdµ.

On dit qu’une suite de v.a. (Xn) converge versX en loi si la suite des lois des (Xn) converge étroitement vers la loi de X, c’est-à-dire si pour toute fonction continue bornéef,E[f(X_n)]→E[f(X)].

Définition 22. On dit qu’une familleMde mesures de probabilité surR^d est tendue si pour toutε>0, il existe un compactK deR^dtel que∀µ∈M, µ(R^d\K)6ε.

Théorème 23(Prohorov). Si une suite(µn)de mesures de probabilité est tendue, alors on peut extraire une sous-suite qui converge étroitement vers une mesure de probabilitéµ.

Corollaire 24. Soit(µn) une suite tendue de mesures de probabilité telle que toute sous-suite de(µn)qui converge étroitement converge versµ. Alors (µn)converge étroitement versµ.

2

Théorème 25(Lévy). Soit(X_n)une suite de v.a. et X une v.a. Alors X_n−→^L X ssi∀t∈R^d,ϕXn(t)→ϕX(t).

Théorème 26(loi faible des grands nombres L¹). Soit(Xn)une suite de v.a.r.L¹. Notons m=E(X₁)et Xn=¹_nPn

i=1Xi. Alors(Xn)converge vers X en probabilité :∀ε>0,P(|X_n−m|>ε)→0.

Théorème 27(théorème central limite). Soit (Xn)n>¹ une suite de v.a.r.

i.i.d. de carré intégrable. Notons m leur espérance etσ²leur variance. No- tons Xn=¹_nPn

i=1X_i. Alors : pn¡

Xn−m¢ L

−−−−→_n

→∞ N(0,σ²)

Lemme 28. Soit(Xn)une suite de vecteurs aléatoires et X un vecteur aléa- toire. Si pour tout a∈R^d,〈X_n|a〉converge en loi vers〈X |a〉, alors(X_n) converge en loi vers X .

Théorème 29(TCL multidimensionnel). Soit(Xn)une suite de vecteurs aléatoires i.i.d.L². On note m leur espérance etΓleur matrice de covariance.

Alors :

pn¡

Xn−m¢ L

−→N(0,Γ)

Application 30(intervalle de confiance asymptotique). Soit (Xn)n>¹une suite de v.a.r. i.i.d. de carré intégrable. Notonsmleur espérance etσ²leur variance. SoientXn = _n¹Pn

i=1Xi et ˆσ²n = _n¹Pn

i=1(Xi−Xn)². On se donne α∈]0, 1[. Alors :

1. X_net ˆσ²n convergent p.s. versmetσ². On dit que ce sont des esti- mateurs consistants demetσ².

2. Soit ˆIn=£

Xn−q_αp^σˆn

n;Xn+q_αp^σˆn n

¤oùq_αvérifieP(Z 6^qα)=1−^α₂ pourZ de loiN(0, 1). Alors :

nlim→∞P(m∈Iˆ_n)=1−α

Application 31(formule de Stirling). On a l’équivalentn!∼p

2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿ.

Développements

1. Fonction caractéristique de la loi normale et de la loi de Cauchy.[8]

2. Fonction caractéristique et moments.[17]

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Références

— BARBEet LEDOUX,Probabilités.

— BERCUet CHAFAÏ,Modélisation stochastique et simulation.

— CARRIEU,Probabilité – Exercices corrigés.

— GARETet KURTZMAN,De l’intégration aux probabilités.

— OUVRARD,Probabilités 2.

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