MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 7 (pour le 21/12) 24 avril 2020 Pour tout entier naturel

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 7 (pour le 21/12) 24 avril 2020

Pour tout entier natureln, on considère deux fonctions polynomiales dénies dansR f_n(x) = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ

gn(x) = 1 + 2x+ 3x²+· · ·+nxⁿ⁻¹

On se xe un réela >1 et on s'intéresse à une suite de nombres réels strictement positifs (α_n)_{n∈N−{0,1}} telle que

∀n∈N− {0,1}:g_n(α_n) =a

1. a. Montrer que pour tout entiern ≥2, il existe un unique réel strictement positif αn tel que gn(αn) =a.

b. Montrer que la suite(αn)_{n∈N−{0,1}} est strictement décroissante.

c. Montrer qu'il existe un entierN tel que

∀n≥N :αn<1

d. Montrer que la suite(αn)_{n∈N−{0,1}} converge. On note αsa limite. Montrer que 0≤α <1

e. Montrer que les trois suites (αⁿ_n)_{n∈N−{0,1}}, (nαⁿ_n)_{n∈N−{0,1}} et (n²αⁿ_n)_{n∈N−{0,1}}

convergent vers0.

2. a. Montrer que, pour toutxdiérent de1,

g_n(x) = 1

(1−x)² −(n+ 1)xⁿ

1−x − xⁿ⁺¹ (1−x)²

b. Montrer que pour toutx∈[0,1[xé, la suite (g_n(x))_{n∈N−{0,1}} est croissante et converge vers

1 (1−x)² 3. a. Montrer que

1

(1−α)² ≤a b. Montrer qu'il existe unβ ∈]0,1[tel que

1

(1−β)² =a

c. Montrer que β≤αet en déduire

α= 1− 1

√a

4. Dans cette questiona= 4doncα= ¹₂. On se propose de trouver un équivalent pour la suite(ε_n)_{n∈N−{0,1}} telle que

∀n∈N− {0,1}:αn= 1

2(1 +εn) a. Montrer que, pour tous lesnnon nuls,

−2εn+ε²_n=−1−εn

2 (n+ 1)αⁿ_n−αⁿ⁺¹_n b. Montrer que

ε_n ∼1 4nαⁿ_n c. Montrer que (nεn)_{n∈N−{0,1}} converge vers0.

En déduire la limite de ((1 +εn)ⁿ)_{n∈N−{0,1}} et une suite simple équivalente à (εn)_{n∈N−{0,1}}.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1207E