PanaMaths
[1 - 2]Février 2005
Déterminer :
2 5
lim 3 7
x x x
e
→−∞
e +
− − et 2 5
lim 3 7
x x x
e
→+∞
e +
− −
Analyse
L’exercice requiert de bien connaître le comportement de l’exponentielle en −∞ et en +∞.
Résolution
On a lim x 0
x e +
→−∞ = et donc : xlim 2→−∞
(
ex+5)
=5 et xlim→−∞(
−3ex−7)
= −7.D’où, finalement :
2 5 5
lim 3 7 7
x x x
e
→−∞ e
+ =
− − −
On a : lim x
x e
→+∞ = +∞ et donc : xlim 2→+∞
(
ex+5)
= +∞ et xlim→+∞(
−3ex−7)
= −∞.Pour ce qui est de la deuxième limite, on a donc affaire à une forme indéterminée du type
« ∞
∞ » (au signe près).
Mais au numérateur et au dénominateur, c’est l’exponentielle qui conduit à une limite infinie.
En factorisant, il vient alors :
5 5
2 2
2 5
7 7
3 7 3 3
x
x x x
x
x
x x
e e e e
e e
e e
⎛ + ⎞ +
⎜ ⎟
+ = ⎝ ⎠ =
− − ⎛⎜⎝− − ⎞ − −⎟⎠
Comme lim x
x e
→+∞ = +∞, il vient : 5 lim x 0
x e
+
→+∞ = et 7
lim x 0
x e
−
→+∞
⎛− ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
2 5 2
lim 3 7 3
x x x
e
→+∞ e
+ =
− − −
PanaMaths
[2 - 2]Février 2005
Résultat final
2 5 5
lim 3 7 7
x x x
e
→−∞ e
+ = −
− − et 2 5 2
lim 3 7 3
x x x
e
→+∞ e
+ = −
− −
