PanaMaths
[1 - 1]Février 2005
Déterminer :
( )
lim 2
x7
x→+∞
e − x
Analyse
Un exercice simple sur le thème des croissances comparées.
S’il y a forme indéterminée, on ne doit pas hésiter quant aux rapidités de croissance comparées des fonctions exponentielles et linéaires …
Résolution
On a lim x
x e
→+∞ = +∞ et lim
x x
→+∞ = +∞ mais l’exponentielle croît beaucoup plus vite ! On peut donc écrire :
Pour tout x réel : 7
2 7 2 1
2
x x
x
e x e x
e
⎛ ⎞
− = ⎜⎝ − ⎟⎠.
Comme : lim x 0
x
x e
+
→+∞ = , on a : 7 7
lim 1 1 0 1
2 x 2
x
x
→+∞ e
⎛ − ⎞= − × =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Par ailleurs, lim 2 x
x e
→+∞ = +∞
Donc, finalement : 7
lim 2 1 2
x x x
e x
→+∞ e
⎛ − ⎞= +∞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C’est à dire : xlim 2→+∞
(
ex−7x)
= +∞Résultat final
( )
lim 2 x 7
x e x
→+∞ − = +∞
